\documentclass{article}
\usepackage{fontspec}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsfonts} 
\usepackage{wrapfig}
\usepackage{graphicx}
\usepackage[margin=0.25in]{geometry}
\setmainfont{FreeSans}
\graphicspath{ {../images} }
\everymath{\displaystyle}

\DeclareMathOperator{\sh}{sh}
\DeclareMathOperator{\ch}{ch}

\begin{document}

\begin{wrapfigure}[6]{r}{0.4\textwidth}
	\includegraphics[scale=3]{ang0212_1}
\end{wrapfigure}

Эллипс (продолжение прошлой лекции): \\
\begin{math}
	\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \\
	\left \{ \begin{aligned}
		x = a \cos t \\
		y = b \sin t
	\end{aligned} \right ., t \in [0; 2\pi)
\end{math}

\begin{wrapfigure}{r}{0.4\textwidth}
	\includegraphics[scale=2]{ang0312_2}
\end{wrapfigure}
\subsection*{Гипербола}
\begin{math}
	\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \\
	y = b\sqrt{\frac{x^2}{a^2} - 1},\quad x \geq a\quad\quad\quad y' = \frac b {a^2} \cdot \frac{x}{\sqrt{\frac{x^2}{a^2}-1}} > 0 \\
	$Рассмотрим $ \tilde{y} = \frac b a x,\quad \tilde{y} - y = \frac a b x - \frac b a \sqrt{x^2 - a^2} = \frac b a \frac{x^2-x^2+a^2}{x - \sqrt{x^2-a^2}} = \frac b a \frac{a^2}{x + \sqrt{x^2-a^2}}. \\
	\lim_{x \rightarrow \infty} \tilde{y} = 0 \implies $наклонная касательная $ \frac b a \\
	$Директрисы: $ \pm \frac a \varepsilon,\quad
	$Фокусы: $ \pm a \varepsilon \\
	\left \{ \begin{aligned}
		x = \pm a \ch t \\
		y = \pm b \sh t
	\end{aligned} \right ., t \in \mathbb{R}
\end{math}

\subsection*{Парабола}
\begin{math}
	y^2 = 2px,\quad $Есть вертикальная симметрия относительно $ Ox \implies F(x,y)=F(x,-y) \\
	y = \sqrt{2px}, \quad x \geq 0
\end{math}

\subsection*{Фокальные СВОйства}

\begin{wrapfigure}{l}{0.4\textwidth}
	\includegraphics[scale=2]{ang0312_3}
\end{wrapfigure}
.
\\\\\\\\\\\\

\subsubsection*{Теорема (фокальное СВОйСтВО эллипса)}
Сумма расстояний от любой точки эллипса до фокусв - величина постоянная и равна $2a$

ДокатательСтВО
Обозначим расстояние от точки до директрис $d1, d2$. $ \frac {f_1} {d_1} = \varepsilon = \frac {f_2} {d_2} \implies f_1 = \varepsilon d_1,\,f_2 = \varepsilon d_2.\; f1+f2 = \varepsilon(d_1+d_2) = \varepsilon(\frac a \varepsilon - \left(- \frac a \varepsilon\right)) = 2a = const$
$\\\blacksquare$

Получим уравнение эллипса из фокального СВОйства:
$f_1 + f_2 = 2a \\ f_1 = \sqrt{(x+c)^2 + y^2},\quad f_2 = \sqrt{(x-c)^2+y^2} \\
(\not x+\not c)^2 + \not y^2 - (\not x-\not c)^2 - \not y^2 = 2a\sqrt{(x+c)^2 + y^2} - 2a\sqrt{(x-c)^2+y^2} \\
\sqrt{(x+c)^2 + y^2} - \sqrt{(x-c)^2+y^2} = \frac {2xc} a;\quad\quad \sqrt{(x+c)^2 + y^2} = (a+ \frac{xc}a)\\
x^2+c^2 + 2xc+y^2=a^2+\frac{c^2}{a^2}x^2 + a + 2cx \implies x^2(\frac{a^2-c^2}{a^2}) +y^2 = a^2-c^2 \implies \frac{b^2}{a^2}x^2 + y^2=b^2,\\
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \\
{}\hspace{1in}\blacksquare$

\subsubsection*{Теорема (фокальное СВОйСтВО гиперболы)}
Модуль разности расстояний от любой точки до фокусов постоянен и равен $2a$

ДоказательСтВО аналогично доказательству для эллипса и остаётся на упражнение читателю.

\subsection*{касательные к кривым второго порядка}
Эллипс:\\
\begin{math}
	\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1,\hspace{2cm}y = \pm \sqrt{1 - \frac{x^2}{a^2}},\hspace{2cm} y' = \mp \frac b {a^2}\frac{x}{\sqrt{1 - \frac{x^2}{a^2}}} = \mp\frac{\frac x {x^2}}{\pm\frac y {b^2}} = -\frac{b^2}{a^2}\frac x y \\
	$Уравнение касательной: $ Y-y_0 = k(X-x_0) = -\frac{b^2}{a^2}\frac {x_0} {y_0} (X-x_0) \implies \frac {Yy_0}{b^2} + \frac{Xx_0}{a^2} = \frac{y_0^2}{b^2} + \frac{x^2_0}{a^2} = 1 \\
	X\frac{x_0}{a^2} + Y\frac{y_0}{b^2} = 1
\end{math}

Гипербола:\\
\begin{math}
	X\frac{x_0}{a^2} - Y\frac{y_0}{b^2} = 1
\end{math}

Парабола:\\
\begin{math}
	y_0Y = P(x_0+X)
\end{math}

\subsection*{Оптические СВОйства кривых второго порядка}

\subsubsection*{Теорема (оптическое СВОйСтВО эллипса)}

\begin{wrapfigure}{r}{0.4\textwidth}
	\includegraphics[scale=3]{angem0312_4}
\end{wrapfigure}

Фокальные радиусы образуют с касательной к эллипсу равные углы

ДоказательСтВО:\\
\begin{math}
	X\frac{x_0}{a^2} + Y\frac{y_0}{b^2} = 1\\
	\delta = \beta \left|x\frac{x_0}{a^2} + y\frac{y_0}{b^2} - 1\right| \hspace{1cm} \beta $ - норм каеф (нормировочный коэфициент)$ \\
	F_1(-a\varepsilon, 0),\, F_2(a\varepsilon,0) \implies \delta_1 = \frac \beta a{\varepsilon x_0 + a},
	f_1 = \varepsilon d_1 = x_0\varepsilon + a \\
	\sin\alpha_1 = \frac {\delta_1} {f_1} = \frac{\frac b a (\varepsilon x_0 + a)}{x_0 \varepsilon + a} = \frac b a
\end{math}

\end{document}
