\documentclass{article}
\usepackage{fontspec}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsfonts} 
\usepackage{wrapfig}
\usepackage{graphicx}
\usepackage[margin=0.25in]{geometry}
\setmainfont{FreeSans}
\graphicspath{ {../images} }
\everymath{\displaystyle}

\DeclareMathOperator{\sh}{sh}
\DeclareMathOperator{\ch}{ch}
\DeclareMathOperator{\tr}{tr}
\DeclareMathOperator{\ctg}{ctg}
\DeclareMathOperator{\sgn}{sgn}
\begin{document}

\subsection*{Инварианты кривых 2 порядка в матричном представлении}

$
\begin{pmatrix} A & B \\ B^+ & C \end{pmatrix}, z = \begin{pmatrix}x\\1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x \\ y \\ 1\end{pmatrix}
	\hspace{1cm}P = \begin{pmatrix}R & X_0 \\ 0 & 1\end{pmatrix},\quad D' = P^TDP, A'=R^TAR. \\
	|A'| = |R^TAR| = |R^T|\cdot|R|\cdot|A| = |A| = \delta \\
	|D'| = |P^T|\cdot|P|\cdot|D| = \left[|P| = (-1)^{3+3}|R|\cdot 1 = |R| = 1\right] = |P| \\
	$Введём след матрицы: $\tr A = \sum_{i=1}^n a_{ii},\hspace{1cm}\tr \underset{n\times m}{A}\cdot\underset{m\times n}{B} = \tr B\cdot A \\
	\tr A' = \tr R^T A R = \tr RR^TA = \tr A = S \\
	$Мы доказали: $ \delta = |A|, \Delta = |D|, S=\tr A $ являются инвариантами уравнения кривой 2 порядка$
$

\subsection*{Клавсюфикация кривых 2 порядка}

Уравнение кривой: $a_{11}x^2 + 2a_{12}xy + a_{22}y^2 + \dots$. Избавимся от говна: $a_{12}' = 0$!

$
	A = \begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{pmatrix}.\hspace{5mm}A' = R^TAR = 
	\begin{pmatrix} a_{11}' & a_{12}' \\ a_{21}' & a_{22}'\end{pmatrix} = 
	\begin{pmatrix} \cos\alpha & \sin\alpha \\ -\sin\alpha & \cos\alpha \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos\alpha & -\sin\alpha \\ \sin\alpha & \cos\alpha \end{pmatrix} = \\
	= \begin{pmatrix} * & -\cos\alpha\sin\alpha \cdot a_{11} - \sin^2\alpha \cdot a_{12} + \cos^2\alpha \cdot a_{12} + \cos\alpha\sin\alpha \cdot a_{22} \\ * & * \end{pmatrix}, a_{12}' = \cos\alpha\sin\alpha(a_{22} - a_{11}) + (\cos^2\alpha - \sin^2\alpha)a_{12} = \\
	= (a_{22} - a_{11}) \frac {\sin2\alpha} 2 + a_{12}\cos2\alpha = 0 \implies \ctg2\alpha = \frac{a_{11} - a_{22}}{2a_{12}} $ - то есть от этого говна ТООООЧНО можно избавиться!))))))))$ \\
	A' = \begin{pmatrix}a_{11} & 0 & b_1 \\ 0 & a_{22} & b_2 \\ b_1 & b_2 & c \end{pmatrix}\quad a_{11} \neq 0 \lor a_{22}, $ получаем $ 
	a_{11}x^2 + 2b_1x + \dots = a_{11}\left(x + \frac {b_1} {a_{11}}\right)^2 - \frac{b_1^2}{a_{11}} + \dots = [x = x' - \frac{b_1}{a_{11}}, y=y'] \\
	$Если$ a_{11} \neq 0 \implies b\rightarrow b_1 = 0,\quad
	$ Аналогично можем занулить $ b_2, $ и получить $ \begin{pmatrix} \alpha & 0 & 0 \\ 0 & \beta & 0 \\ 0 & 0 & \gamma\end{pmatrix} \lor \begin{pmatrix} \alpha & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \beta \\ 0 & \beta & \gamma\end{pmatrix} \lor \begin{pmatrix} 0 & 0 & \beta \\ 0 & \alpha & 0 \\ \beta & 0 & \gamma\end{pmatrix}, \\
	$При этом последние 2 записи аналогичны при повороте на $ \frac \pi 2 \\ \\
	$Для случая 2 получаем уравнение:$ \alpha y^2 + 2\beta x + \gamma = 0 = [x' = x + \frac \gamma {2\beta}], \gamma' = 0, $ Матрица: $
	\begin{pmatrix}0&0&\beta\\0&\alpha&0\\\beta&0&0\end{pmatrix} (\beta \neq 0) \\
	\beta = 0: \begin{pmatrix}0&0&0\\0&\alpha&0\\0&0&\gamma\end{pmatrix}
$

То есть все случаи вместе:\\
$
	1. \begin{pmatrix} \alpha & 0 & 0 \\ 0 & \beta & 0 \\ 0 & 0 & \gamma\end{pmatrix}, \begin{aligned} \delta &= \alpha\beta \neq 0 \\ \Delta & = \alpha\beta\gamma \\ S &= \alpha + \beta \end{aligned} \hspace{1cm}
	2.1. \begin{pmatrix}0&0&\beta\\0&\alpha&0\\\beta&0&0\end{pmatrix} \begin{aligned} \delta &= 0 \\ \Delta & = -\alpha\beta^2 \\ S &= \alpha \end{aligned}\hspace{1cm}
	2.2. \begin{pmatrix}0&0&0\\0&\alpha&0\\0&0&\gamma\end{pmatrix} \begin{aligned} \delta &= 0 \\ \Delta & = 0 \\ S &= \alpha \end{aligned}
$

\begin{enumerate}
	\item Центральная кривая: $\delta = |A| \neq 0$, уравнение: $\alpha x^2 + \beta y^2 = -\gamma$
		\subitem 1.1 $\delta = 0, \sgn \alpha = \sgn \beta [$обозначаем как $\alpha \sim \beta]$ - эллиптический тип
			\subsubitem 1.1.1 $\alpha \sim \beta \not \sim \gamma \equiv \Delta\cdot S \leq 0$: И ЭТО \textbf{ЭЛЛИПС}! \hspace{1cm}
				$\frac{x^2}{\frac \gamma \alpha} + \frac{y^2}{-\frac \gamma \beta} = 1$
			\subsubitem 1.1.2 $\alpha \sim \beta \sim \gamma \equiv \Delta\cdot S \geq 0: \emptyset$ - то есть кривой не существует! (на $\mathbb{R}^2$), а ещё это \textbf{мнимый эллипc}
			\subsubitem 1.1.3 $\gamma = 0 \equiv \Delta = 0$: и это \textbf{точка} $\{0, 0\}$ (выоржденный эллипс)
		\subitem 1.2 $\delta < 0, \alpha \not \sim \beta$ - гиперболический тип
			\subsubitem 1.2.1 $\gamma \neq 0 \Leftrightarrow \Delta \neq 0$ - и это \textbf{гипербола}
			\subsubitem 1.2.2 $\gamma = 0 \Leftrightarrow \Delta = 0: \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 0 \Leftrightarrow \left(\frac x a - \frac y b\right)\left(\frac x a + \frac y b\right) = 0$ - то есть это \textbf{две пересекающихся прямых}
	\item $\delta = 0$, Нецентральные кривые
		\subitem 2.1 Уравнение $\alpha y^2 + \beta x = 0, y^2 = - \frac \beta \alpha x$, И это \textbf{парабола}
			\subsubitem 2.1.1 $ -\frac \beta \alpha > 0$ : Ветви параболы вправо
			\subsubitem 2.1.2 $ -\frac \beta \alpha < 0$ : Ветви параболы влево
		\subitem 2.2 $\Delta = 0, \alpha y^2 = \gamma = 0, y^2 = -\frac \gamma \alpha$
			\subsubitem 2.2.1 $\gamma \not \sim \alpha: y = \pm c$ - \textbf{две параллельных прямых}
			\subsubitem 2.2.2 $\gamma = 0: y = 0$ - две "слипшихся" прямых - \textbf{1 прямая}
			\subsubitem 2.2.3 $\gamma = 0: y = \emptyset$ - Пустое множество, \textbf{мнимая прямая}
\end{enumerate}

\end{document}
