\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{fontspec}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsfonts} 
\usepackage{wrapfig}
\usepackage{graphicx}
\usepackage[margin=0.25in]{geometry}
\setmainfont{FreeSans} % Посмотреть, что такое font impact))))))))))))
\graphicspath{ {../images} }

\begin{document}

\subsection*{Уравнение плоскости }
\begin{math}
	\left \{ \begin{aligned}
		x &= x_0 &+ \alpha a_1 &+ \beta b_1 \\
		y &= y_0 &+ \alpha a_2 &+ \beta b_2 \\
		z &= z_0 &+ \alpha a_2 &+ \beta b_3 \\
	\end{aligned} \right . \\
	Ax + By + Cz + D = 0 \\
	$Получим ФСР$
	\begin {pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} 
	= \begin {pmatrix} x_0 \\ y_0 \\ z_0 \end{pmatrix} 
	+ \alpha \begin {pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} 
	+ \beta \begin {pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} \\
\end{math}

\subsection*{Прямая в пространстве}
\begin{math}
	\vec{r} = \vec{r}_0 + \vec{a}t $, a - направляющий вектор$ \\
	\vec{r} - \vec{r}-0 \parallel \vec{a} \implies [\vec{r} - \vec{r}_0 \times \vec{a}] = 0 \\
 	. [\vec{r} \times \vec{a}] = \vec{b}, \vec{b} = [\vec{r}_0 \times \vec{a}] $ - уравнение плоскости в форме Плюккера$ \\
	$Если $ \vec{b} \not \perp \vec{a} $ - не существует$ \\
\end{math}

\subsubsection*{Пример: есть перпердикуляр к прямой и направляющий вектор}
\begin{math}
	\left \{ \begin{aligned}
		(\vec{r}_0 \cdot \vec{a}) &= 0 \\
		[\vec{r}_0 \times \vec{a}] &= \vec{b} 
	\end{aligned} \right . \\
	. [\vec{a} \times [\vec{r_0} \times \vec{a}]] = [\vec{a} \times \vec{b}] \\
	\vec{r_0} \cdot (\vec{a} \cdot \vec{a}) - \vec{a} \cdot (\vec{a} \cdot \vec{r_0}) = [\vec{a} \times \vec{b}] \\
	\vec{r_0} = \frac{[\vec{a} \times \vec{b}]}{(\vec{a} \cdot \vec{a})} \\
	\vec{r} = \frac{[\vec{a} \times \vec{b}]}{(\vec{a} \cdot \vec{a})} + \vec{a}t \\
\end{math}

\subsubsection*{Пример: пересечение прямой и плоскости}
\begin{math}
	\begin{aligned}
		l &: \vec{r} = \vec{r}_0 + \vec{a}t \\
		\alpha &: (\vec{r} \cdot \vec{n}) = D
	\end{aligned} \implies 
	\vec{r}_0 = (\vec{a}t \cdot \vec{n}) = D \implies (\vec{a} \cdot \vec{n})t = D - (\vec{r}_0 \cdot \vec{n}) \implies t = \frac{D - (\vec{r}_0 \cdot \vec{n})}{(\vec{a} \cdot \vec{n})} \\
	r_{*} = \vec{r}_0 + \frac{D - (\vec{r}_0 \cdot \vec{n})}{(\vec{a} \cdot \vec{n})}\vec{a} \\
	$Если $ \alpha : (\vec{r} - \vec{r}_1 \cdot \vec{n}) = 0 \\
	r_{*} = \vec{r}_0 + \frac{((\vec{r_1} - \vec{r_0}) \cdot \vec{n})}{(\vec{a} \cdot \vec{n})}\vec{a} \\
\end{math}
случаи взаимного расположение прямой и плоскости: \begin{enumerate}
	\item Пересекаются (): $\implies (\vec{a} \cdot \vec{n}) \neq 0$ 
	\item Прямая лежит в плоскости: $(\vec{a} \cdot \vec{n}) = 0$ и $(\vec{r_0} \cdot \vec{n}) = D$
	\item Прямая параллельна: $(\vec{a} \cdot \vec{n}) = 0$, но $(\vec{r_0} \cdot \vec{n}) \neq D$
\end{enumerate}

\subsubsection*{Пример: Проекция точки на плоскость}
\begin{math}
	M_0(\vec{r}_0), \alpha : (\vec{r} \cdot \vec{n}) = D \\
	$Проведём$ l : M_0 \in l , l \perp \alpha \\
	\displaystyle \vec{a} = \vec{n} \implies \vec{r} = \vec{r_0} + \frac{D - (\vec{r_0} \cdot \vec{n})}{(\vec{n} \cdot \vec{n})} 
	= [\vec{n}_e = \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|}] = \vec{r_0} + [P - (\vec{r}_0 \cdot \vec{n}_e)]\vec{n}_e, $ гдe $ P = \frac{D}{(\vec{n} \cdot \vec{n})} \\
\end{math}

\subsubsection*{Пример: проекция точки на прямую}
\begin{math}
	M_0(\vec{r}_0), l : \vec{r} = \vec{r}_1 + \vec{a}t \\
	$Проведём плоскость $ \alpha : M \in \alpha , l \perp \alpha \implies \vec{n} = \vec{a} \implies 
	\vec{r}_{*} = \vec{r}_1 + \frac{((\vec{r}_0 - \vec{r}_1) \cdot \vec{a})}{(\vec{a} \cdot \vec{a})}\vec{a}\\
	\displaystyle |\vec{r}_{*} - \vec{r}_1| = |\vec{r}_0 - \vec{r}_1|\cos\varphi = [\varphi = \angle(\vec{a}, \vec{r_0} - \vec{r_1}), \vec{a}_e = \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}] = ((\vec{r}_0 - \vec{r}_1), \vec{a}_e) \\
\end{math}

\subsubsection*{Пример: Расстояние между скрещивающимися}
\begin{math}
	\begin{aligned}
		l_1 &: \vec{r} = \vec{r}_1 + \vec{a}_1 t \\
		l_2 &: \vec{r} = \vec{r}_2 + \vec{a}_2 t \\
	\end{aligned}, $ Построим $ \alpha : l_1 \in \alpha, l_2 \parallel \alpha \implies \vec{n} = [\vec{a}_1 \times \vec{a}_2] \\
	\alpha : ((\vec{r} - \vec{r}_1) \cdot [\vec{a}_1 \times \vec{a}_2]) = 0 \\
	$Запишем в виде $ (\vec{r} \cdot \vec{n}) = D, $ где $ D = (\vec{r}_1 \cdot \vec{n}): \\
	. [\vec{n}_e = \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|}, P = \frac{D}{|\vec{n}|}] \\ (\vec{r} \cdot \vec{n}_e) = P \implies d(\vec{r}_2) = |(\vec{r} \cdot \vec{n}_e) - P|, $ где $ d $ - расстояние от $ l_1 $ до $ \alpha \\
\end{math}

\subsubsection*{Пример: В прошлой задаче, построим прямую, которая перпендикулярная двум скрещивающимся прямым}
\begin{math}
	\begin{aligned}
		l_1 &: \vec{r} = \vec{r}_1 + \vec{a}_1 t \\
		l_2 &: \vec{r} = \vec{r}_2 + \vec{a}_2 t \\
		l_3 &: l_1 \perp l_3, l_2 \perp l_3
	\end{aligned} \implies \left \{ \begin{aligned}
		\vec{a} &= [\vec{a}_1 \times \vec{a}_2] \\
		\alpha &: l_3, l_2 \in \alpha.
	\end{aligned} \right .,  M_2 \in \alpha, \vec{n} = [\vec{a}_2 \times [\vec{a}_1 \times \vec{a}_2]] = [bac-cab] = \vec{a}_1 \cdot (\vec{a}_2 \cdot \vec{a}_2) - \vec{a}_2 \cdot (\vec{a}_2 - \vec{a}_1) \implies \\
	\implies \alpha : ((\vec{r} - \vec{r}_2) \cdot \vec{n}) = 0 \\
	{M}_0 = \alpha \cap l_1 , \vec{r}_0 = \vec{r}_1 + \frac{((\vec{r}_2 - \vec{r}_1) \cdot \vec{n})}{(\vec{a} \cdot \vec{n})}\vec{a}_1  \\
	\displaystyle l_3 : \vec{r} = \vec{r}_1 + \frac{((\vec{r}_2 - \vec{r}_1) \cdot [\vec{a}_2 \times [\vec{a}_1 \times \vec{a}_2]])}{(\vec{a} \cdot [\vec{a}_2 \times [\vec{a}_1 \times \vec{a}_2]])}\vec{a}_1 + [\vec{a}_1 \times \vec{a}_2]t
\end{math}

\subsubsection*{Пример: пересечение 2 плоскостей}
\begin{math}
	\left \{ \begin{aligned}
		(\vec{r}_1 \cdot \vec{n}_1) &= D_1 \\
		(\vec{r}_2 \cdot \vec{n}_2) &= D_2 \\
	\end{aligned} \right . \\
	\vec{a} = [\vec{n}_1 \times \vec{n}_2] \\
	. [\vec{r}_1 \times [\vec{n}_1 \times \vec{n}_2]] = \vec{n}_1 \cdot (\vec{r}_1 \cdot \vec{n}_2) - \vec{n}_2 \cdot (\vec{r}_1 \cdot \vec{n}_1) = \vec{n}_1D_2 - \vec{n}_2D_1 = \vec{b} \\
	l : \vec{x} = \frac{[\vec{a} \times \vec{b}]}{(\vec{a} \cdot \vec{a})} + \vec{a}t
\end{math}

Возможные взаимные расположение плоскостей: \begin{enumerate}
	\item $\alpha_1 \cap \alpha_2 = l$ : $[\vec{n_1} \times \vec{n_2}] \neq 0$
	\item $\alpha_1 = \alpha_2$ : $[\vec{n_1} \times \vec{n_2}] = 0$, $(\vec{n}_1 \parallel \vec{n}_2) \equiv (\vec{n}_2 = \lambda\vec{n}_1)$
	\item $\alpha_1 \parallel \alpha_2$ : $[\vec{n_1} \times \vec{n_2}] = 0$, $(\vec{n}_1 \not \parallel \vec{n}_2) \equiv (\vec{n}_2 \neq \lambda\vec{n}_1)$
\end{enumerate}



\end{document}
