\documentclass{article}
\usepackage{fontspec}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsfonts} 
\usepackage{wrapfig}
\usepackage{graphicx}
\usepackage[margin=0.25in]{geometry}
\setmainfont{FreeSans}
\graphicspath{ {../images} }
\everymath{\displaystyle}

\begin{document}
	
\section*{Взаимное расположение плоскостей}

\subsection*{Случай 2 плоскостей}
\begin{math}
	\begin{aligned}
		a_1^1 x &+ a_2^1 y &+ a_3^1 z &= d_1 \\
		a_1^2 x &+ a_2^2 y &+ a_3^2 z &= d_2 \\
	\end{aligned} \\
	A = \begin{pmatrix} 
		a_1^1 & a_2^1 & a_3^1 \\ 
		a_1^2 & a_2^2 & a_3^2 
	\end{pmatrix}, 
	D = \begin{pmatrix} d_1 \\ d_2 \end{pmatrix}, 
	x = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}. \\
	AX = D, r = rk(A)_{[2\times3]}, R = rk(AD)_{[2\times4]} \\
	1 \leq r \leq R \leq 2: \left[\begin{aligned}
		r = 1, R = 1 &: A_1 = A_2\\
		r = 1, R = 2 &: A_1 \parallel A_2 (A_1 \cap A_2 = \emptyset) \\
		r = 2, R = 2 &: A_1 \cap A_2 = (*)
	\end{aligned}\right. \\
	(*) - $ в случае $ (2, 2) $ размерность $ = n-r = 3-2 = 1 \\
	$Общее решение:$\\
	\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_0 \\ y_0 \\ z_0 \end{pmatrix}  + t\begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \end{pmatrix}  \\
	$Из чего мы узнаём уравнение прямой$ \\
\end{math}

\subsection*{Случай 3 плоскостей}

\begin{math}
	\begin{aligned}
		a_1^1 x &+ a_2^1 y &+ a_3^1 z &= d_1 \\
		a_1^2 x &+ a_2^2 y &+ a_3^2 z &= d_2 \\
		a_1^3 x &+ a_2^3 y &+ a_3^3 z &= d_3
	\end{aligned} \\
	A = \begin{pmatrix} a_1^1 & a_2^1 & a_3^1 \\ a_1^2 & a_2^2 & a_3^2 \\ a_1^3 & a_2^3 & a_3^3 \end{pmatrix}, 
	D = \begin{pmatrix} d_1 \\ d_2 \\ d3 \end{pmatrix}, 
	x = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}. \\
	AX = D, r = rk(A)_{[3\times3]}, R = rk(AD)_{[2\times4]} \\
	1 \leq r \leq R \leq 3, \; 0 \leq |R-r| \leq 1: \left[\begin{aligned}
		r = 1, R = 1 &: A_1 = A_2\\
		r = 1, R = 2 &: A_1 \cap A_2 = \emptyset \\
		r = 2, R = 2 &: A_1 \cap A_2 = L \\
		r = 2, R = 3 &: A_1 \cap A_2 = \emptyset \\
		r = 3, R = 3 &: A_1 \cap A_2 = \exists !P\{x; y; z\} = A^{-1}D
	\end{aligned}\right. \\
\end{math}

\subsection*{Случай $n$ плоскостей}

\begin{math}
	\begin{aligned}
	a_1^1 x &+ a_2^1 y &+ a_3^1 z &= d_1 \\
	&\vdots &\vdots & \\
	a_1^n x &+ a_2^n y &+ a_3^n z &= d_n
	\end{aligned} \\
	A = \begin{pmatrix} a_1^1 & a_2^1 & a_3^1 \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ a_1^3 & a_2^3 & a_3^3 \end{pmatrix}, 
	D = \begin{pmatrix} d_1 \\ \vdots \\ d3 \end{pmatrix}, 
	x = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}. \\
	1 \leq r \leq R \leq n, \; 0 \leq |R-r| \leq 1: \emptyset
\end{math}

\newpage

\section*{Кривые второго порядка}
\begin{wrapfigure}{r}{0.3\textwidth}
	\centering
	\includegraphics[scale=2]{ang26_1}
\end{wrapfigure}

Порядки:
\begin{enumerate}
	\item $Ax + By + C = 0$ - прямая на плоскости
	\item $a_{11}x^2 + 2a_{12}xy + a_{22}y^2 + 2b_1x + 2b_2y + c = 0$, один из $a_{nn} \neq 0$ 
\end{enumerate}
Пусть заданы:
\begin{itemize}
	\item точка $F$ - фокус
	\item прямая $D$ - директриса
	\item число $\varepsilon > 0$ - эксцентриситет
\end{itemize}
$f$ - расстояние до фокуса, $d$ - расстояние до директриссы \\
Запишем $\frac{f}{d} = \varepsilon$. Случаи $\varepsilon$:
\begin{itemize}
	\item $\varepsilon < 1$: эллипс 
	\item $\varepsilon = 1$: парабола
	\item $\varepsilon > 1$: гипербола
\end{itemize}


\subsubsection*{Случай $\varepsilon < 1$ (эллипс)}
\begin{wrapfigure}[8]{r}{0.4\textwidth}
	\centering
	\includegraphics[scale=3]{ang26_2}
\end{wrapfigure}
Вывод уравнения:
\begin{math}
	f = \sqrt{\tilde{x}^2+\tilde{y}^2}\quad d=|P-\tilde{x}|\\
	\varepsilon = \frac{\sqrt{\tilde{x}^2-\tilde{y}^2}}{|P-\tilde{x}|} \implies \tilde{x}^2+\tilde{y}^2=\varepsilon^2(P^2-2P\tilde{x}+\tilde{x}^2) 
	\implies (1-\varepsilon^2)\tilde{x}^2 + 2P\varepsilon^2\tilde{x} + \tilde{y}^2 = \varepsilon^2P^2 \\
	(1-\varepsilon^2)\left(\tilde{x} + \frac{P\varepsilon^2}{1-\varepsilon^2}\right)^2 - \frac{p^2\varepsilon^4}{1-\varepsilon^2} + \tilde{y}^2 = \varepsilon^2P^2
	\implies (1-\varepsilon^2)\left(\tilde{x} + \frac{P\varepsilon^2}{1-\varepsilon^2}\right)^2 + \tilde{y}^2 = \varepsilon^2P^2 + \frac{p^2\varepsilon^4}{1-\varepsilon^2} = \frac{p^2\varepsilon^2}{1-\varepsilon^2} = \\
	\implies [y=\tilde{y}, x = \left(\tilde{x} + \frac{P\varepsilon^2}{1-\varepsilon^2}\right)] \implies
	(1-\varepsilon^2)x^2 + y^2 = \frac{P^2\varepsilon^2}{1-\varepsilon^2} \implies \\
	\implies \frac{x^2}{\frac{p^2\varepsilon^2}{(1-\varepsilon^2)^2}} + \frac{y^2}{\frac{p^2\varepsilon^2}{1-\varepsilon^2}} = 1 \quad (1)
\end{math}

\begin{equation*}
	\frac{x^2}{\frac{p^2\varepsilon^2}{(1-\varepsilon^2)^2}} + \frac{y^2}{\frac{p^2\varepsilon^2}{1-\varepsilon^2}} = 1
\end{equation*}	
Выражения для $\varepsilon, C$ через $a, b$ \\
\begin{math}
	\left[\begin{aligned}
		a &= \frac{p\varepsilon}{1-\varepsilon^2} \\
		b &= \frac{p\varepsilon}{\sqrt{1-\varepsilon^2}}
	\end{aligned}\right] \implies \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \\
	x = \tilde{x} + C, \quad C = \frac{P\varepsilon^2}{1-\varepsilon^2} , \quad b = a\sqrt{1 - \varepsilon^2} , \quad d = \frac{P}{1-\varepsilon^2}\\
	\left \{\begin{aligned}
		\varepsilon^2 &= 1-\frac{b^2}{a^2} \\
		C &= a\varepsilon \\
		C^2 &= a^2\varepsilon^2 = a^2 - b^2 \\
		d &= \frac{a}{\varepsilon}
	\end{aligned} \right.
\end{math} \\
точка $a$ находится между $F$ и $D$.

Итак, каноническое уравнение эллипса:
\begin{equation}
	\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1
\end{equation}
\newpage
\subsubsection*{Случай $\varepsilon > 1$ (гипербола)}
\begin{wrapfigure}[10]{r}{0.4\textwidth}
	\centering
	\includegraphics[scale=3]{ang26_3}
\end{wrapfigure}

\begin{math}
	\left[\begin{aligned}
		a &= \frac{p\varepsilon}{\varepsilon^2 - 1} \\
		b &= \frac{p\varepsilon}{\sqrt{\varepsilon^2 - 1}}
	\end{aligned}\right] \implies \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \\
	x = \tilde{x} - C, \quad C = \frac{P\varepsilon^2}{\varepsilon^2 - 1} 
\end{math}

Каноническое уравнение Гиперболы:
\begin{equation}
	\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1
\end{equation}

Соотношения между переменными:\\
\begin{math}
	d = \frac{P}{\varepsilon^2 - 1} \\
	\left \{\begin{aligned}
		\varepsilon^2 &= 1+\frac{b^2}{a^2} \\
		C &= a\varepsilon \\
		C^2 &= a^2\varepsilon^2 = a^2 + b^2 \\
		d &= \frac{a}{\varepsilon}
	\end{aligned} \right.
\end{math}

\subsubsection*{Случай $\varepsilon = 1$ (парабола)}
\begin{wrapfigure}[6]{r}{0.4\textwidth}
	\centering
	\includegraphics[scale=3]{ang26_4}
\end{wrapfigure}
Каноническое уравнение параболы:
\begin{alignat*}{1}
	2p\tilde{x} + \tilde{y}^2&=p^2 \\
	[\tilde{y}^2 = p^2 - 2p\tilde{x} &= 2p(\frac{r}{2} - \tilde{x}) = 2px] \\
	[x = \frac{p}{2} - \tilde{x}&, y = -\tilde{y}] \\
\end{alignat*}
\begin{equation}
	y^2 = 2px
\end{equation}

\section*{Свойства}
\subsection*{эллипс}

$F(x, y): \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ \\
$F(-x, -y): \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1: F(x, y)$ : центральная симметрия \\
$F(x, -y): \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1: F(x, y)$ : зеркальная симметрия относ. $ox$ \\
$F(-x, y): \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1: F(x, y)$ : зеркальная симметрия относ. $oy$ \\
Исследуем в $x, y > 0$: \\
$y = b\sqrt{1 - \frac{x^2}{a^2}}, y' = -\frac{b}{a^2}\frac{x}{\sqrt{1 - \frac{x^2}{a^2}}} < 0$

УПС! Лекция закончилась)))) всем спасибо за вниамние! с вами был артур пирожков, до новых встреч!

\end{document}
