\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{fontspec}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsfonts} 
\usepackage{wrapfig}
\usepackage{graphicx}
\usepackage[margin=0.25in]{geometry}
\setmainfont{FreeSans}
\graphicspath{ {../images} }
\everymath{\displaystyle}

\DeclareMathOperator{\arctg}{arctg}

\begin{document}

\subsection*{Интегрирование по частям}
$\int udv =uv - \int vdu$

Пример:
$K_n = \int\frac{dx}{(x^2+a^2)^n}, = \quad [dv=dx, u = (x^2+a^2)^{-n}, v = x, du = \frac{-n\cdot2x}{(x^2+a^2)^{n+1}}] = \quad \\$
$= \frac{x}{(x^2+a^2)^n} + 2n\int \frac{x^2+a^2-a^2}{(x^2+a^2)^{n+1}} = \frac{x}{(x^2+a^2)^n} + 2n\int \left(\frac{dx}{(x^2+a^2)^n} - \frac{a^2dx}{(x^2+a^2)^{n+1}}\right) \\ $
$ K_n = \frac{x}{(x^2+a^2)^n} + 2nK_n - 2na^2K_{n+1},\\ \quad K_{n+1} = \frac{1}{2na^2}\left(\frac{x}{(x^2+a^2)^n} + (2n-1)K_n\right),\quad K_1 = \int\frac{dx}{x^2+a^2} = \frac 1a\arctg\frac xa + C $

\subsection*{интегрирование рациональных дробей}

\begin{math}
	R(x) = \frac{P_n(x)}{Q_n(x)},\quad n,m \in \mathbb{N},\quad P,Q $ - Многочлены$
\end{math}

\subsubsection*{представление правильной рациональной дроби в виде суммы элементарных дробей}

\begin{math}
	\begin{aligned}
		1.\: &\frac{A}{x-x_1} \\
		2.\: &\frac{A}{(x-x_1)^{\alpha}},\:\alpha \in \mathbb{N} \\
		3.\: &\frac{Mx+N}{x^2+px+q},\: M, N, p, q \in \mathbb{R},\:\frac{p^2}{4} - q < 0 \\
		4.\: &\frac{Mx+N}{(x^2+px+q)^\gamma},\:\gamma \in \mathbb{N}
	\end{aligned} \\
	$Пример 1:$ \\
	\frac{1}{x^4+4} = \frac{1}{x^4 + 4x^2 - 4 - 4x^2} = \frac{1}{(x^2)^2 - 4x^2} = \frac{1}{x^2-2x+2}\cdot\frac{1}{x^2+2x+2} \\
	$Предположим, что $ \exists A, B, C, D : \frac{1}{x^4+4} = \frac{Ax+B}{x^2+2x+2}\cdot\frac{Cx+D}{x^2-2x+2} \\
	$Приведём правую часть к общему знаменателю$ \\
	\frac{1}{x^2+4} = \frac{(Ax+B)(x^2-2x+2) + (Cx+D)(x^2+2x+2)}{x^4+4} \\
	$Это равенство должно выполняться $ \forall x \in \mathbb{R} $, что возможно $ ! $ если равны числители, или когда коэффициенты при равных степенях $ x $ равны.$ \\
	1 = x^3(A+C) + x^2(B-2A+D+2C) + x(2A-2B+2C + 2D) + (2B+2D) \\
	\left\{\begin{aligned}
		A &&+ C  &&= 0 \\
		-2A&+B&+2C&+D &= 0 \\
		2A&-2B&+2C&+2D &= 0 \\
		&+2B&&+2D&=1
	\end{aligned}\right. \implies
	\left\{\begin{aligned}
		A &= \frac{1}{8} \\
		B &= \frac{1}{4} \\
		C &= -\frac{1}{8} \\
		D &= \frac{1}{4}
	\end{aligned}\right. \\
	\frac{1}{x^4+4} = \frac{x+2}{8(x^2+2x+2)} - \frac{x-2}{8(x^2-2x+2)} \\
	$\newpage$
	$Пример 2:$\\
	\frac{x^2+2x+2}{(x+1)(x+2)(x-3)}. $ Пусть $ \exists! $ представление этой дроби в виде$ \\
	\frac{x^2+2x+2}{(x+1)(x+2)(x-3)} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x+2} + \frac{C}{(x-3)} \quad(*) \\ 
	$Т.к. $ a, b, c $ определяются единственно, то неважно, каким способом мы их получим. Домножим левую и правую часть $ (*) $ на$  (x+1) \\
	\frac{x^2+2x+2}{(x+2)(x-3)} = A + \frac{B}{x+2}(x+1) + \frac{c}{x-3}(x+1). $Положим $x=-1 \\
	A = \left.\frac{x^2+2x+2}{(x+2)(x-3)}\right|_{x=-1} = -\frac {1}{4}
\end{math}

\subsection*{Общая теорема о разложении правильной рациональной дроби на сумму элементарных дробей}
\begin{enumerate}
	\item (следствие основной теоремы алгебры) \\
		знаменатель дроби $R(x) = \frac{P_n(x)}{Q_m(x)},\:n<m,\quad n,m \in\mathbb{N},\quad P_n(x), Q_m(x) $ - приведённые многочлены с вещественными коэффициентами \\
		Всегда можно представить в виде $Q_m(x) = (x-x_1)^{\alpha_1} \dots (x-x_k)^{\alpha_k} \cdot (x^2+p_1x+q_1)^{\gamma_1} \dots (x^2+p_l+q_l)^{\gamma_l},
		\\ \forall i \in \{1\dots l\}: \frac{p_i}{4} - q+i < 0 \\
		\forall i \in \{1\dots k\}, j \in \{1\dots l\} \alpha_i, \gamma_j \in \mathbb{N} \\
		\sum_{i+1}^k\alpha_i + \sum_{j=1}^l\gamma_j = m$
	\item Рациональная дробь $R(x) = \frac{P_n(x)}{Q_m(x)}$ единственным образом представляется в виде суммы элементарных дробей \\
		$\frac{F_n(x)}{Q_m(x)} = \frac{A_{1,1}}{x-x_1} + \frac{A_{1,2}}{(x-x_1)^2} + \dots + \frac{A_{1,\alpha_1}}{(x-x_1)^{\alpha_1}} + \dots + 
		\frac{A_{k,1}}{x-x_k} + \frac{A_{k,2}}{(x-x_k)^2} + \dots + \frac{A_{k,\alpha_k}}{(x-x_k)^{\alpha_k}} 
		+ \frac{M_{1,1}x + N_{1,1}}{x^2+p_1x+q_1} + \frac{M_{1,2}x + N_{1,2}}{(x^2+p_1x+q_1)^2} + \dots + \frac{M_{1,\gamma_1}x + N_{1,\gamma_1}}{(x^2+p_1x+q_1)^{\gamma_1}} + \dots
		+ \frac{M_{l,1}x + N_{l,1}}{x^2+p_lx+q_l} + \frac{M_{l,2}x + N_{l,2}}{(x^2+p_lx+q_l)^2} + \dots + \frac{M_{l,\gamma_l}x + N_{l,\gamma_l}}{(x^2+p_1x+q_1)^{\gamma_l}}$ \\ 
		И называется это Методом Неопределённых Коэффицентов - МНК
\end{enumerate}

Замечание 1: \\
Метод из Примера 2 называется методом вычёркивания, и его можно применять только для поиска старших коэффицентов $A_{i,\alpha_i}, i \in \{1\dots k\}$ дробей, у которых в знаменателе наибольшая степень многочлена $(x-x_i)^{\alpha_i}$. В этом случае
вычёркивается как раз он. В частности, для дробей вида $P_n(x)\frac{1}{(x-1)\dots(x-m)}$, методом вычёркиывания можно получить полное разложение

Замечание 2: \\
Если $R_n(x) = \frac{P_n(x)}{Q_m(x)}$ - неправильная дробь ($n>m$), то нужно сначала выделить целую часть (делением с остатком, например)

\subsection*{Интегрирование правильной рациональной дроби}
Сводится к интегрированию элементарных дробей

\begin{math}
	\begin{aligned}
		1.\: &\int\frac{dx}{x-x_1} = \ln|x-x_1|+C\\
		2.\: &\int\frac{dx}{(x-x_1)^{\alpha}} = \frac{(x-x_1)^{-n+1}}{-n+1} + C \\
		3.\: &\int\frac{Mx+N}{x^2+px+q}dx = \int\frac{M(x+\frac p 2 - \frac p 2) + N}{(x+\frac p 2)^2 + (q-\frac {p^2} 4)} = M\int{\frac{tdt}{t^2+B^2}} + A\int\frac{dt}{t^2+B^2} \\
		&= \frac M 2 \ln(x^2+px+q) + \frac{N-\frac {pM} 2}{\sqrt{\frac{p^2} 4 - q}}\arctg\frac{x+ \frac p 2 }{\sqrt{\frac{p^2} 4 - q }} + C \\
		4.\: &\int\frac{Mx+N}{(x^2+px+q)^n}dx = \int\frac{Mt+A}{(t^2+B^2)^n}dt = M\int\frac{tdt}{(t^2+B^2)^n} + A\int{dt}{(t^2+B^2)^n} = \frac M 2 \int\frac{d(t^2)}{(t^2+B^2)^n} + AK_n = \\
		&= \frac M 2 \frac{1}{n+1}\cdot(x^2+px+q)^{-n+1} + A\cdot K_n + c
	\end{aligned} \\
	$Пример 1:$\\
	\int\frac{dx}{x^4+4} = \frac 1 8 \int\frac{(x+2)dx}{(x+1)^2+1} - \frac 1 8 \int\frac{(x-2)dx}{(x-1)^2+1} = 
	\frac 1 8 \int\frac{(x+1)dx}{(x+1)^2+1} + \frac 1 8 \int\frac{dx}{(x+1)^2+1} - \frac 1 8 \int\frac{(x-1)dx}{(x-1)^2+1} + \frac 1 8 \int\frac{dx}{(x-1)^2+1} = 
	\frac 1 {16} \ln(x^2+2x+2) + \frac 1 8 \arctg(x+1) - \frac 1 {16} \ln(x^2-2x+2) + \frac 1 8 \arctg(x-1) = \\
	= \frac 1 {16} \ln\frac{x^2+2x+2}{x^2-2x+2} + \frac {\arctg(x-1) + \arctg(x+1)} 8
\end{math}


\section*{Глава VII. Определённый интеграл. \\ \$1 - основные понятия}
В этой главе говорим только об ограниченных функциях!

\begin{wrapfigure}[10]{r}{0.4\textwidth}
	\includegraphics[scale=2]{math0312_1}
\end{wrapfigure}	

Разобъём отрезок $[a, b]$ точками $a = x_0 < x_1 < \dots < x_n = b$ на $n$ частей. \\
Набор точек $\{x_i\}$ называется \textit{разбиением отрезка $[a,b]$} и обозначается $T_{[a,b]}(x_i)$. \\
Обозначим $\Delta_i = x_i - x_{i-1} > 0$. $\Delta = \sup\{\Delta_i\} - $ диаметр разбиения. \\
На каждом отрезке $\Xi = [x_{i-1}, x_i]$ выберем точку $\xi_i \in \Xi$ \\
Составим суммы $I(x_i, \xi_i) = \sum_{i=1}^nf(\xi_i)\Delta_i$ - площадь ступенчатой фигуры.

Определение:\\
Число $I$ называется пределом интегральных сумм $I(x_i, \xi_i)$ при $\Delta \rightarrow 0$ \\
$\forall \varepsilon > 0 \:\exists \delta > 0,\: \forall T_{[a,b]}(x_i),\: \forall \{\xi_i\},\; \Delta < \delta : |I(x_i, \xi_i) - I| < \varepsilon$

Определение: \\
Функция $f(x)$ называется интегрируемой [в смысле определённого интеграла Римана] на отрезке $[a,b]$, если для нее 
$\exists \lim I_i$. Обозначается $I = \int_a^bf(x)dx$ 

Пример иинтегрируемой функции: $f(x) = const, x\in[a,b]$\\
$I(x_i, \xi_i) = \sum_{i=1}^nf(\xi_i)\Delta_i = c\sum_{i=1}^n\Delta_i = c(b-a) \\
\forall T_{[a,b]}(x_i),\:\forall\{\xi_i\} I(x_i, \xi_i) = c(b-a) \implies \lim_{\Delta \rightarrow 0}I(x_i, \xi_i) = c(b-a) = I \implies f(x) $ - интегрируемая $\forall a,b$

Пример неинтегрируемой функции:
\begin{math}
	D(x) = \left\{\begin{aligned}
		1&,\:x \in \mathbb{Q} \\
		0&,\:x \in \mathbb{R}\backslash\mathbb{Q} 
	\end{aligned}\right. \\
	1. \xi_i \in \mathbb{Q},\; i = \{1\dots n\}:\; I(x_i, \xi_i) = \sum_{i=1}^n1\cdot\Delta_i = b-a \\
	2. \xi_i \in \mathbb{R}\backslash\mathbb{Q},\; i = \{1\dots n\}:\; \sum_{i=0}^n0\cdot\Delta_i = 0 \\
	$Можно выбрать набор $ \xi_i $ такой, что $ I(x_i, \xi_i) \in \forall [0, b-a] \implies \not\exists \lim_{\Delta\rightarrow 0}I(x_i, \xi_i)
\end{math}

\section*{Сумма Дарбу}
Т.к. $f(x)$ ограничена на отрезке $[a,b]$, то она ограничена и на $\forall [x_{i-1}, x_i] \implies \\
\implies \exists m_i = \inf_{[x_{i-1}, x_i]} f(x), \exists M_i = \sup_{[x_{i-1}, x_i]} f(x)$

Замечание: не обязательно $\exists \bar{\xi_i}, \bar{\bar{\xi_i}}: f(\bar{\xi_i}) = m_i,\; f(\bar{\bar{\xi_i}}) = M_i$, 
но они существуют для каждой непрервыной функции (по 2 теореме Вейштрасса)

Составим сумму $\bar{s} = \sum_{i=1}^nm_i\Delta_i$ - Это называется нижней суммой Дарбу (на рисунке все "полоски" \textit{под} графиком)

Составим сумму $\underline{S} = \sum_{i=1}^nM_i\Delta_i$ - Это называется верхней суммой Дарбу (на рисунке все "полоски" \textit{над} графиком)

\subsubsection*{СВОйства сумм дарбу}
Свойство I:\\
\begin{enumerate}
	\item $\bar{s} = \inf_{\xi_i} I(x_i, \xi_i)$
	\item $\underline{S} = \sup_{\xi_i} I(x_i, \xi_i)$
\end{enumerate}

Доказательство: \\
$m_i < f(\xi_i) < M_i,\hspace{1cm} m_i\Delta_i < f(\xi_i)\Delta_i < M_i\Delta_i,
\hspace{1cm}\sum_{i=1}^n m_i\Delta_i < \sum_{i=1}^n f(\xi_i)\Delta_i < \sum_{i=1}^n M_i\Delta_i,
\hspace{1cm} \bar{s} < I(x_i, \xi_i) < \underline{S}$ \\
Получаем, что $\bar{s}$ - нижняя, а $\underline{S}$ - верхняя грани интегральных сумм

Докажем, что грани точные: \\
На отрезке $[x_{i-1}, x_i] \hspace{0.25cm} m_i = \inf_{[x_{i-1}, x_i]}f(x) \\
\exists \varepsilon > 0,\;\exists {\xi_i}' : m_i < f({\xi_i}') < m_i + \frac{\varepsilon} {(b-a)\Delta_i}\\
I(x_i, \xi_i') - \bar{s} = \sum_{i=1}^n(f(\xi_i') - m_i)\Delta_i < \sum_{i=1}^n \frac{\varepsilon}{(b-a)\cdot \Delta_i} = \varepsilon \\$
получили, что $\forall \varepsilon > 0 \; \exists \xi_i' : \bar{s} \leq I(x_i, \xi_i') < \bar{s} + \varepsilon \implies \bar{s} = \inf_{\{\xi_i\}}I(x_i, \xi_i)$

Аналогично доказывается, что $\underline{S} = \sup_{\xi_i} I(x_i, \xi_i)$
\\

Определение:\\
Разбиение, полученное из $T_{[a,b]}(x_i)$ путём добавления некоторых точек $x_{i}'$ называется измельчением
разбиения

Свойство II:\\
Пусть $\bar{s}, \underline{S}$ - нижние и верхние суммы Дарбу разбиения $T_{[a,b]}(x_i)$, а 
$\bar{s'}, \underline{S'} - $ суммы Дарбу измельчения $T_{[a,b]}(x_i,x_i')$. Тогда \\
\begin{enumerate}
	\item $\bar{s'} \geq \bar{s}$
	\item $\underline{S'} \leq \underline{S}$ 
\end{enumerate}

\begin{wrapfigure}[10]{r}{0.4\textwidth}
	\includegraphics[scale=2]{math0312_2}
\end{wrapfigure}	


\underline{Доказательство}:\\
Добавим к $T_{[a,b]}(x_i)$ одну точку $x_k'$ \\
$\bar{s'} - \bar{s} = m_k(x_k' - x_{k-1}) + m_k'(x_k - x_k') - m_k(x_k - x_{k-1}) \geq \\
\geq m_k(x_k' - x_{k-1} + x_k - x_k' - x_k + x_{k-1}) = 0 \implies \bar{s'} \geq \bar{s}$

\end{document}
