\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{fontspec}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsfonts} 
\usepackage{wrapfig}
\usepackage{graphicx}
\usepackage[margin=0.25in]{geometry}
\setmainfont{FreeSans}
\graphicspath{ {../images} }


\begin{document}

\section*{\$1. Теорема о непрервыности функции}

Пусть $f(x)$ определена на множестве $X$, $x_0$ - предельная точка $X$

Определение: Говорят, что $f(x)$ удовлетворяет условию коши в точке, если

\begin{math}
	\forall \varepsilon > 0 \exists \delta > 0, \forall x', x'' \in \mathbb{X} \left \{ \begin{aligned}
		0 &< |x'-x_0| &< \delta \\
		0 &< |x'' - x_0| &< \delta
	\end{aligned} \right . : |f(x') - f(x'')| < \varepsilon
\end{math}

Теорема: для того, чтобы $f(x_0)$ была непрервыной, необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла условию Коши в $x_0$

Необходимость, достаточность: сформулированы в прошлой лекции

\subsection*{Док-во достаточности}

Дано: 
\begin{math}
	\forall \varepsilon > 0 \exists \delta > 0, \forall x', x'' \in X \left \{ \begin{aligned}
		0 &< |x'-x_0| &< \delta \\
		0 &< |x'' - x_0| &< \delta
	\end{aligned} \right . : |f(x') - f(x'')| < \varepsilon \\
	x_0 $ - предельная точка $ X \implies \exists \{x_n\} \rightarrow x_0, x_n \neq x_0, x_n \in X \\
	$Заметим, что $ \\
	\forall \delta > 0 \exists N \in N, \forall n > N : |x_n - x_0| < \delta
					  , \forall m > N : |x_m - x_0| < \delta \\
	$По условию из дано $ |f(x_n) - f(x_m)| < \varepsilon \implies \{f(x_n)\} $ - фундаментальная$ \\
	$!!!Итого: если $ \{x_n\} \rightarrow x_0 $ , то $ \{f(x_n)\} $ - фундаментальная$ \\
	$Докажем, что $ \forall \{x_n'\} \rightarrow x_0 (x_n' \neq x_0, x_n' \in X) \{f(x_n')\} \rightarrow a \\
	$Возьмём $ \{x_n\} \rightarrow x_0 $, для которого уже доказали, что $ \{f(x_n)\} \rightarrow a \\
	$Возьмём $  \forall \{x_n\} \rightarrow x_0 (x_n' \neq x_0, x_n' \in X) \\
	$!!!Составим последовательность $ \{x_n''\} = \{x_1, x_1', x_2, x_2', x_3, x_3' \dots \} \rightarrow x_0 \\
	$Если $ \{x_n''\} \rightarrow x_0 $, то $ \{f(x_n'')\} $ фундаментальная $ \implies \{f(x_n'')\} $ - сходится, т.е. все её подпоследовательности сходятся к одному и тому же числу $ \\
	\begin{aligned}
		\{f(x_n')\} \rightarrow a \\
		\{f(x_n'')\} \rightarrow a
	\end{aligned}
	$Получаем определение по гейне, тогда доказано$
\end{math}


\section*{\$2. Теорема Вейштрасса} 

Определение: функция $f(x)$ называется непрервыной на множестве $X$, если она непрерывна $\forall x_0 \in X$ \\

Первая теорема Вейштрасса: \\
Если функция непрервына на сегменте $[a, b]$, то она ограничена на этом сегменте \\
Замечание: если $x \in [a, b]$, то речь идёт о непрервыности в точке $x = a$ слева и справа

\subsection*{Доказательство}

Дано: $f(x)$ непрервына $\forall c \in [a, b]$, то есть \\ $\forall \{x_n\} \in [a,b], \{x_n\} \rightarrow c : \{f(x_n)\} \rightarrow f(c)$ \\
Предположим, что $f(x)$ неограничена на $[a, b]$, то есть \\$\forall M \exists c \in [a, b] : |f(c)| > M$ \\
Отсюда следует, что $\forall n \in \mathbb{N} \exists x_n \in [a,b] : |f(x_n)| > n$ \\
Составим последовательность $\{x_n\} \in [a,b] \implies \forall n : a \leq x_n \leq b \implies \{x_n\} $ - сходящаяся \\
По теореме Гольцано Вейштрасса из $\{x_n\}$ Можно выделить сходящуюся подпоследовательность $\{x_{n_k}\}$ \\
Пусть $\{x_{n_k}\} \rightarrow c \in [a,b] $, так как $a \leq x_{n_k} \leq b$ \\
По предположению непрервыности $|f(x_{n_k})| > n_k \geq n$ \\
По условию $f(x)$ непрервына на $[a,b] \implies $ если $ \{x_{n_k}\} \rightarrow c, $ то $\{f(x_{n_k})\} \rightarrow f(c)$ \\
но $f(x_{n_k})$ - бесконечно большая, что образовывает противоречие 

2 Теорема Вейштрасса: \\
Непрерывная на сегменте функция достигает своих точной верхней и точной нижней граней. \\
Т.е. $\forall [a,b] \exists x_1, x_2 \in [a,b] : f(x_1) = \inf f_{[a,b]}, f(x_2) = \sup f_{[a,b]}$ \\

Точная грань: чисто $M$ называется точной верхней гранью $f(x) \in X$ если
\begin{enumerate}
	\item $\forall x \in X f(x) \leq M$ \\ 
	\item $\forall A < M \exists x \in X : f(x) > A$
\end{enumerate}

Пример: $f(x) = e^{-x^2}$. $\sup f(x) = 1 = f(0), \inf f(x) = 0, \not \exists x: f(x) = 0$ \\
На любом сегменте $x = [a,b]$ : $f(x)$ достигает $\inf f = e^{-a^2}, \sup f = e^{-b^2} $ \\

\subsection*{Доказательство}
Дано: \\

Предположим, что $f(x)$ не достигает точной верхней грани, то есть $\forall x \in [a,b] : f(x) < M$ \\
Можно определить $F(X), x \in [a,b] = \frac{1}{M-f(x)}, F(X) > 0$ \\
$F(X)$ непрерывна, тогда по 1 теореме Вейштрасса $F(x)$ ограничена и сверху, и снизу на $[a,b]$ \\
$\exists A, \forall x \in [a,b] : 0 < f(x) \leq A \implies 0 < \frac{1}{M - f(x)} \leq A \implies M < f(x) \geq \frac{1}{A} \implies f(x) \leq M - \frac{1}{A}$ \\
Что противоречит тому, что $M = \sup f$,
значит предположение $f(x) < M \forall x \in [a,b]$ неверно, поэтому  \\
$\exists x_1, x_2 \in [a,b] : f(x_1) = \inf f_{[a,b]}, f(x_2) = \sup f_{[a,b]}$ 

\section*{\$3. Равномерная непрерывность функции}
Определение: \\
$f(x)$ называется равномерно непрервыной на $\mathbb{X}$, если \\
$\forall \varepsilon > 0 \exists \delta > 0, \forall x', x'' \in \mathbb{X}, 0 < |x' - x''| < \delta : |f(x') - f(x'')| < \varepsilon$ \\

Пример 1: $f(x) = x$

% \begin{wrapfigure}{r}{0.5\textwidth}
%     \includegraphics[scale=3]{math1}
% \end{wrapfigure}

% \newpage

% \begin{wrapfigure}{r}{0.5\textwidth}
%     \includegraphics[scale=3]{math1}
% \end{wrapfigure}
Пример 2: $f(x) = \frac{1}{x}$
докажем, что не не равномерно непрерывная: сформулируем отрицание \\
$\exists \varepsilon > 0, \forall \delta > o, \exists x', x'' \in [a,b], 0 < |x' -x''| < \delta : |\frac{1}{x'} - \frac{1}{x''}| \varepsilon$ \\
$\exists n \in \mathbb{N}, \delta > \frac{1}{n}$ \\
Положим $\varepsilon = 1$, $x' = \frac{1}{n}$, $x'' = \frac{1}{n+2}$ \\ 
$|x' - x''| = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+2} < \frac{1}{n} = \delta$ \\
$|\frac{1}{x'} - \frac{1}{x''}| = 2 > \varepsilon$

Пример 3: \\
$\tan x : x \not \in \mathbb{R}$ НЕ МОЖЕТ быть исследована на равномерность непрерывности \\
Для исследования на равномерность непрерывности: $x \in \mathbb{R} , f$ - непрерывная на $\mathbb{R}$! \\

\subsection*{Теорема Кантора}
Функция, непрерывная на сегменте $[a, b]$ равномерно непрерывна на этом сегменте

Доказательство: [будем доказывать от противного] \\
Пусть $f(x)$ непрерывна на $[a, b]$, т.е. \\
$\forall c \in [a,b], \forall \{x_n\} \rightarrow c, \{x_n\} \in [a,b] : \{f(x_n)\} \rightarrow f(c)$ \\
предположим, что 
\begin{enumerate}
	\item $f(x)$ не является равномерно непрервыной, т.е. \\
		$\exists \varepsilon > 0, \forall \delta > 0, \exists x', x'' \in [a,b], 0 < |x'-x''| < \delta : |f(x') - f(x'')| > \varepsilon$
	\item Раз $\exists$ такое $\varepsilon$, что выполняется $\forall \delta$, то значит, выполняется и для $\delta_n = \frac{1}{n}, b \in \mathbb{N}$ \\
	$\exists \varepsilon > 0, \forall \delta_n > 0, \exists x_n', x_n'' \in [a,b], 0 < |x_n'-x_n''| < \delta : |f(x_n') - f(x_n'')| > \varepsilon$
\end{enumerate}
Образуем последовательности $\{x_n'\}, \{x_n''\}. a \leq x_n', x_n'' < b \implies$ можно выделить сходящуюся \\ подпоследовательность.
Выделим подпоследовательность $\{{x_n'}_k\} \rightarrow c \in [a,b]$, $a \leq {x_n'}_k \leq b \implies a \leq c \leq b$ \\
(по теореме о предельном переходе в неравенство)
Из $[2]$: $\forall n \exists x_{nk}', x_{nk}'', 0 < |x_{nk}' - x_{nk}''| < \delta_{nk} = \frac{1}{n_k} \leq \frac{1}{n_k}$ $(3)$\\
Для каждого $x_{nk}' \in \{x_{kn}'\} \exists x_{nk}'', $ уд. $[3]$. $x_{nk}''$ образуют подпоследовательность $\{x_n''\}$. Докажем, что $\{x_n''\} \rightarrow c$ \\
$|x_{nk}'' - c| \leq |x_{nk}'' - x_{nk}'| + |x_{nk}' - c|.$ \\ 
$|x_{nk}'' - x_{nk}'| \rightarrow 0$ ($3$), $|x_{nk}'' - x_{nk}'| \rightarrow 0$ ($\{x_{nk}'' \rightarrow c\}$) \\
Итак, $\{x_{nk}'\} \rightarrow c, \{x_{nk}'''\} \rightarrow c \implies $ из $(1)$ (функция непрерывна на $[a,b]$) $\{f(x_{nk}')\} \rightarrow f(c), \{f(x_{nk}'')\} \rightarrow f(c)$ \\
Но это противоречит $(2)$ : $|f(x_n') - f(x_n'')| > \varepsilon (\forall \delta_{nk} = \frac{1}{n}$, т.е. $\forall n_n)$ \\
Это показывает, что предположение о равномерной непрерывности $f(x)$ на $[a, b]$ неверно.

\section*{\$4 Теоремы о дифференцируемых функциях}

Определение: говорят, что функция $f(x)$ возрастает в точке $c$, если 
$\exists \Omega(c) : \left \{ \begin{aligned} 
	f(x) > f(c) (x > c) \\ 
	f(x) < f(c) (x < c)
\end{aligned} \right .$ (4) \\
Определение: говорят, что функция $f(x)$ убывает в точке $c$, если 
$\exists \Omega(c) : \left \{ \begin{aligned} 
	f(x) < f(c) (x > c) \\ 
	f(x) > f(c) (x < c)
\end{aligned} \right .$ (4') \\

\subsection*{Теорема (достаточное условие возрастания $f(x)$ в $c$)}
Пусть $c$ - предельная точка промежутка, на котором определена $f(c)$ \\
Если $f(x)$ дифференцируема в точке $c$ и $f'(c) > 0$, то $f(x)$ возрастает в точке $c$ (выполнено $4$) \\

Доказательство: \\
Дано: $\exists \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(c + \Delta x) - f(c)}{\Delta x} = f'(c)$ \\
Обозначим $x = c + \Delta x$ \\
Т.е. $\forall \varepsilon > 0 \exists \delta > 0, \forall x \in \Omega(c), 0 < |x-c| < \delta : \left|\frac{f(x) - f(c)}{x-c} - f'(c)\right| < \varepsilon \implies$ 
$-\varepsilon + f'(c) < \frac{f(x) - f(c)}{x - c} < \varepsilon + f'(c)$ \\
т.к. это верно $\forall \varepsilon > 0$, то верно и для $\varepsilon = f'(c) > 0 \\
0 < \frac{f(x) - f(c)}{x-c} \Longleftrightarrow 
\left \{\begin{aligned}
	f(x) > f(c) (x > c) \\
	f(x) < f(c) (x < c) \\
\end{aligned} \right .$

Но условие f'(c) - только достаточное условие

\subsection*{Теорема (необходимое условие неубывания $f(x)$ в точке)}
Если $f(x)$ неубывает и дифференцируема в точке $c$, то $f'(c) \geq 0$

Доказательство: \\
Дано: $\exists \Omega(c), \forall x \in \Omega(c)
\left \{\begin{aligned}
	f(x) \geq f(c) (x > c) \\ 
	f(x) \leq f(c) (x < c)
\end{aligned}\right . , \exists \lim_{x \rightarrow c}\frac{f(c) - f(x)}{x - c} = f'(c) \geq 0$ (по теореме о предельном переходе в неравенство) \\
Доказано ;)

\newpage

\section*{Локальный экстремум}

Определение: говорят, что точка $c$ является точкой локального экстремума функции $f(x)$, если 
 \\ $\exists \Omega(c), \forall x \in \Omega(c)
\left[ \begin{aligned} 
	f(x) > f(c) (\min) \\
	f(x) > f(c) (\max)
\end{aligned} \right . $

\subsection*{Теорема (Ферма, необходимое условие локального экстремума)}
Если f(x) дифференцируемая в точке $c$, то $f(c)$ = 0

Доказательство: [от противного] \\
Пусть $c$ - точка локального максимума. ($\exists \Omega_1(c) \subset \Omega(c), \forall x \in \Omega(c): f(x) < f(c)$) \\
Предположим, что $f'(c) > 0$ [достаточное условие о возрастании]. Тогда $f(c)$ возрастает в $c$ $\implies \\
\implies \exists \Omega(c) : \left \{ \begin{aligned}
	f(c) < f(x) (x < c) [1] \\
	f(c) > f(x) (x < c) [2] \\
\end{aligned} \right .$, где $[1]$ противоречит Дано. \\
Аналогично доказывается для минимума

\subsection*{Теорема (Роля)}
Пусть $f(x)$ 
\begin{enumerate}
	\item определена и непрерывна на $[a,b]$
	\item дифференцируема на $(a, b)$
	\item $f(a) = f(b)$
\end{enumerate}
Тогда $\exists c \in (a, b) : f'(c) = 0$

Доказательство: \\
Так как $f(x)$ непрерывна на $[a, b]$, то она достигает на $[a, b]$ точной верхней и точной нижней граней (2 теорема Вейштрасса) \\
$\begin{aligned} 
	&\exists c : f(c) = m = \inf_{[a, b]} f(x) \\
	&\exists c' : f(c') = M = \sup_{[a, b]} f(x) \\
\end{aligned}$ \\
Рассмотрим 3 случая:
\begin{enumerate}
	\item $\inf_{[a, b]} = \sup_{[a, b]} \implies f(x) = const, \forall c \in (a, b) f'(c) = 0$
	\item $M = \sup_{[a, b]} > f(a) = f(b), \forall x \in [a, b] f(x) \leq M = c$, тогда $c$ - точка локального максимума
	\item $m = \inf_{[a, b]} < f(a) = f(b), \forall x \in [a, b] f(x) \geq m = c'$, тогда $c'$ - точка локального минимума
\end{enumerate}

\end{document}
