\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{fontspec}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsfonts} 
\usepackage{wrapfig}
\usepackage{graphicx}
\usepackage[margin=0.25in]{geometry}
\setmainfont{FreeSans}
\graphicspath{ {../images} }
\everymath{\displaystyle}

\begin{document}
\subsection*{связь Модуль Юнга/сдвига}

\begin{wrapfigure}{r}{0.3\textwidth}
	\centering
	\includegraphics[scale=3]{phys02_1}
	\includegraphics[scale=3]{phys02_2}
\end{wrapfigure}

Чё тут происходит, я хз, потому что пришёл на Якуту вне контекста...) Но по сути тут 2 важных вещи, и это 2 последних строчек математики

Всё выражается через $\mu$ и $E$: \\
\begin{math}
	\sigma_x = \tau,\; \sigma_y = \tau,\; \sigma_z = 0\\
	\begin{aligned}
		\varepsilon_x &= \frac{1}{E}(\sigma_x(1+\mu) -\mu (\sigma_x + \sigma_y + \sigma_z)) \\
		\varepsilon_y &= \frac{1}{E}(\sigma_y(1+\mu) -\mu (\sigma_x + \sigma_y + \sigma_z)) \\
		\varepsilon_z &= \frac{1}{E}(\sigma_z(1+\mu) -\mu (\sigma_x + \sigma_y + \sigma_z)) \\
	\end{aligned} \\
	W = \frac{1}{2}\varepsilon_x\sigma_x + \frac{1}{2}\varepsilon_y\sigma_y = \dots = 
	\frac{\tau^2(1+\mu}{E} = \frac{\tau^2}{2G} \implies \\
	\implies G = \frac{E}{2(1+\mu)} \\\\\\
	\frac{\Delta V}{V} = \frac{(1-2\mu)(\sigma_x + \sigma_y + \sigma_z)}{E} = 0, $ Значит, при деформации сдвига объём не меняется$
\end{math}

\section*{Волновые процессы}

Волновой процесс - распространение волн (логично)

% \begin{wrapfigure}{r}{0.3\textwidth}
% 	\centering
% 	\includegraphics[scale=3]{phys02_3}
% \end{wrapfigure}

Не путаем скорость распространения волны в пространстве и скорость, которую имеет каждая частица среды

Поперечная волна - колебание частиц происходит перпендикулярно распространению волны (как на демонстрации)
\\Могут быть только при сдвиговых напряжениях!

Продольная волна - как звуковая волна, колебание параллельно распросранению волны \\
Можно запускать импульс разряжения и импульс сжатия 

\begin{math}
	\varepsilon = \frac{S(x+dx, t) - S(x, t)}{dx} = \frac{\partial S}{\partial x} \\
	\rho_0dx =  (\rho_0+\delta\rho)(dx  + \varepsilon dx),\;
	\rho_0 + \delta \rho = \rho_0 + \rho_0\varepsilon + \delta\varepsilon + \varepsilon\delta\rho 
	\approx \varepsilon = -\frac{\delta\rho}{\rho_0}
\end{math}

Давайте запишем диффур:
\begin{equation}
	\frac{\partial^2 S}{\partial x^2} = c^2\frac{\partial^2 S}{\partial t^2}
\end{equation}

Докажем:

\begin{math}
	$Решение: $ S = S(t \pm \frac{x}{c})  = S(\theta(x, t)) \\
	\theta = x \pm \frac{x}{c} \\
	$По времени: $\frac{\partial S}{\partial t} = \frac{\partial S}{\partial \theta} = v\quad \frac{\partial \theta}{\partial t} = \frac{\partial S}{\partial \theta} \implies \frac{\partial S}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial t}(\frac{\partial S}{\partial \theta }) = \frac{\partial^2 S}{\partial \theta^2} \frac{\partial \theta}{\partial t} =  \frac{\partial^2 S}{\partial \theta^2} \\
	$По координате: $\frac{dS}{dx} = \frac{dS}{d\theta}\frac{\partial\theta}{\partial x} = \pm \frac{1}{c}\frac{d^2S}{d\theta^2}\frac{d\theta}{dx} = \frac{1}{c^2}\frac{d^2S}{d\theta^2}\\
	$Ну и подстановкой... $ \varepsilon = \pm \frac{v}{c}
\end{math}

\subsection*{Рассмотрим плоскую бегущую гармоническую волну}
Распространение волны приходит с задержкой по $\tau = \frac{x}{c}$ \\
$S(x, t) = S_0\cos(\omega(t - \tau)) =  S_0\cos(\omega t - \omega\tau) = S_0\cos(\omega t - \frac{\omega}{c}x)$ \\
$k = \frac{\omega}{c}$ - волновое число! \\
\begin{equation}
	S(x, t) = S_0\cos(\omega t - kx + \varphi_0a)
\end{equation}

По косинусу, поэтому гармоническая

Бегущая, потому что распространяется

$\varphi = \omega t - kx + \varphi_0$, $t = t_0 \implies \varphi(t_0) = \omega t_0 - kx + \varphi_0 = const$, поэтому плоская 
(Т.к. Образуется "Поверхность постоянной фазы" - плоскость)

Запишем выражение для фазы: $\varphi = \omega t - kx + \varphi_0$, рассмотрим поверхность постоянной фазы и как она смещается

$d\varphi = \omega dt - kdx = 0$, $\frac{dx}{dt} = \frac{\omega}{k} = c$, поэтому $c$ называют фазовой скоростью волны

\begin{math}
	S(x, t) = S_0\cos(\omega t - kx + \varphi_0) \\
	\begin{aligned}
		1. x = x_0 &= const \implies \omega(t+T) - kx_0 + \varphi_0 = 2\pi, \omega T = 2\pi \\
		2. t = t_0  &= const \implies  \omega t_0 - k(x + \lambda) + \varphi_0 = \omega t_0 - kx + \varphi_0 - 2\pi \\
		\lambda &= \frac{2\pi}{k}
	\end{aligned}
\end{math}

$\lambda$ - Длина волны

Объединим все формулы: $c = \frac{\omega}{k} = \frac{2\pi}{T} \frac{\lambda}{2\pi} = \frac{\lambda}{T} = \lambda\nu$ - известная со шоклы формула

Любую волну можно разложить в ряд фурье и привести к суперпозиции плоских бегущих гармонических волн

\subsection*{Конематика плоской бегущей гармонической волны}
скорость: $S(x, t) = S_0\cos(\omega t - kx)$, $v(x, t) = \frac{\partial S}{\partial t} = -S_0\omega\sin(\omega t - kx) = S_0\omega\cos(\omega t - kx +\frac{\pi}{2})$ \\
ускорение: $a(x, y) = \frac{\partial^2 S}{\partial t^2} = -S_0\omega^2\cos(\omega t - kx) = S_0\omega^2\cos(\omega t - kx + \pi)$ \\
деформация: $\varepsilon(x, t) = \frac{\partial S}{\partial x} = S_0k\sin(\omega t - kx) = \S_0k\cos(\omega t - kx - \frac{\pi}{2}) = \frac{\sigma(x, t)}{E}$ \\
Упражнение: $t = 0$ и нарисовать графики

\subsection*{Скорости волн в упругих средах}
Рассмотрим струну:

\begin{wrapfigure}{r}{0.3\textwidth}
	\centering
	\includegraphics[scale=3]{phys02_4}
\end{wrapfigure}

\begin{math}
	dl \approx dx \\
	ox:\: Sdx \frac{d^2x}{dt^2} = f(x+dx)\cos\alpha(x+dx) \\
	oy:\: \rho dx \frac{d^2y}{dt^2} = f(x+dx)\sin\alpha(x+dx) - F(x)\sin\alpha x\\
	\alpha \approx \sin \alpha \approx \tan \alpha \\
	F(x) = F(x+dx) = T \\
	\rho dx \frac{d^2y_{c.m.}}{dt^2} = T(\tan\alpha(x+dx) - \tan\alpha(x)) = T(\frac{dy}{dx}|_{x+dx} - \frac{dy}{dx}|_x) =
	= T \frac{d^2y_{c.m.}}{dt^2} \\
	\frac{d^2y}{dt^2} = \frac{T}{S}\frac{d^2 y_{c.m.}}{dx^2},\quad c = \sqrt{\frac{T}{S}}
\end{math}
\\\\\\

Рассмотрим стержень:

\begin{wrapfigure}{r}{0.3\textwidth}
	\centering
	\includegraphics[scale=3]{phys02_5}
\end{wrapfigure}

\begin{math}
	\rho dx \frac{d^2x_c}{dt^2} = F(x+dx)-F(x) = E(\varepsilon(x+dx) - \varepsilon(x)) = \\
	= E(\frac{dS}{dx}|_{x+dx} - \frac{dS}{dx}|_x) = E \frac{d^2S_c}{dx^2}dx \\
	\frac{d^2S_c}{dt^2} = \frac{E}{\rho}\frac{d^2S_c}{dx^2}, \quad c = \sqrt{\frac{E}{\rho}}
\end{math}
\\\\\\

Рассомтрим трубку с Газом:

\begin{math}
	\rho_0\Sigma dx \frac{d^2S_c}{dt^2} = \Sigma\delta P(x) - \delta P(x+dx) \\
	P = P(\rho), \quad \delta P = \frac{\partial P}{\partial \rho}|_{\rho_0} = \frac{\partial P}{\partial \rho}|_{\rho_0}(-\varepsilon \rho_0) \\
	\rho_0\Sigma dx\frac{d^2S_c}{dt^2} = \Sigma\rho_0 \frac{dP}{d\rho}(\varepsilon(x+dx) - \varepsilon(x)) = \Sigma \rho_0\frac{dP}{d\rho}(\frac{dS}{dx}|_{x+dx} - \frac{dS}{dx}|_x) \\
	\frac{d^2S_c}{dt^2} = \frac{dP}{d\rho}_{\rho_0} \frac{d^2S_c}{dx^2}, \quad c = \sqrt{\frac{dP}{d\rho}_{\rho_0}}
\end{math}

\end{document}
