\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{fontspec}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsfonts} 
\usepackage{wrapfig}
\usepackage{graphicx}
\usepackage[margin=0.25in]{geometry}
\setmainfont{FreeSans}
\graphicspath{ {../images} }
\everymath{\displaystyle}

\begin{document}
\subsection*{Скорость распространения волны в стержне}
\begin{wrapfigure}[10]{r}{0.3\textwidth}
	\includegraphics[scale=2]{phys0412_1}
\end{wrapfigure}
Продольная волна:
\begin{math}
	\varepsilon = \frac{\partial y}{\partial x} \\
	\rho\Sigma\Delta x \frac{\partial^2 \tilde{y}}{\partial t^2} = F(x+\Delta x) - F(x)
	= (\sigma(x + \Delta x) - \sigma(x))\Sigma = (\varepsilon(x + \Delta x) - \varepsilon(x))\Sigma E
	= (\left.\frac{\partial y}{\partial x}\right|_{x+\Delta x} - \left.\frac{\partial y}{\partial x}\right|_{x})\Sigma E = 
	\frac{\partial^2 \tilde{y}}{\partial x^2}\Delta x\Sigma E \\
	\frac{\partial^2 \tilde{y}}{\partial t^2} = \frac E \rho \frac{\partial^2 \tilde{y}}{\partial x^2} \hspace{1cm}
	c = \sqrt{\frac R \rho}
	\\ $Для тонкого стержня скорость распространения поперечной волны:$ \\
	c = \sqrt {\frac G \rho}
\end{math}

\subsection*{Распространение Волн в газе}
Всё то же самое, есть столб газа, ось $\mathbb{X}$, точки $x, x+\Delta x, \tilde{y}$, есть равновесное давление $\rho_0$, 
а внутри цеформируемного участка $\rho_0 + \Delta \rho$ \\
слева на кусочек действует $\Sigma\delta P(X)$, справа $\Sigma\delta P(x+\Delta x)$ \\
\begin{math}
	\delta P = -\sigma\hspace{1cm} (\sigma \propto \varepsilon) \\
	\rho_0\Sigma\Delta x \frac{\partial^2 \tilde{y}}{\partial t^2} = \Sigma(\delta P(x) - \delta P(x + \Delta x)) = \\ 
	= [$Пусть есть $ P(\rho) \hspace{1cm} \delta P = \frac{\partial P}{\partial \rho}|_{\rho_0}\delta \rho
	\varepsilon = -\frac{\delta \rho}{\rho_0} ] = \\
	= \Sigma \rho_0 \frac{\delta \rho}{\rho_0}(\varepsilon(x+\Delta x) - \varepsilon(x)) = 
	\Sigma \rho_0 \frac{\delta \rho}{\rho_0}(\frac{\partial y}{\partial x}_{x+\Delta x} - \frac{\partial y}{\partial x}_{x}) = 
	\Sigma \rho_0 \Delta x \frac{\partial^2\tilde y}{\partial x^2} \\
	\frac{\partial^2\tilde y}{\partial t^2} = \left(\left.\frac{\partial P}{\partial \rho}\right|_{\rho_0}\right)\frac{\partial^2\tilde y}{\partial x^2}
	\hspace{1cm} c = \sqrt{\left(\left.\frac{\partial P}{\partial \rho}\right|_{\rho_0}\right)}
\end{math}

Процессы сжатия/растяжения - адиабатические

$P(\rho) = const \cdot \rho^{\gamma}, \quad \gamma_{air} \approx 1.41\quad P=\frac{\rho RT}{\mu} \\
\frac{\partial P}{\partial \rho}|_{\rho_0} = const\cdot \gamma \frac{\rho^{\gamma}}{\gamma} = \frac{\gamma P}{\rho} = 
\frac{\gamma RT}{\mu} \implies c = \sqrt{\frac{\gamma RT}{\mu}} \approx 340\frac m s$

\subsection*{Скорость звука в жидкости}

Идейно - то же самое, что и с газом, вывод абсолютно такой же

$c^2 = \left.\frac{\partial P}{\partial \rho}\right|_{\rho_0}$

Разница в том, что невозможно записат уравнение состояния

$\rho = \frac M V,\quad C = \frac{dP}{\d\rho} = \frac{dP}{d \frac M V} = \frac{DP}{M(\frac{-dV}{V^2})} =
\frac{1}{\frac M V (-\frac{1}{V}\frac{dV}{dP})}.$

Получаем сжимаемость $\gamma = -\frac{1}{V}\frac{dV}{dP}$, тогда скорость звука $c = \sqrt{\frac 1 {\rho\gamma}}$

\section*{Энергия бегущей волны}
Введём объёмную плотность энергии $w = \frac W V$ \\
\begin{math}
	S(x,t) = S_0\cos(\omega t - kx)\hspace{1cm}W_k=  \frac{Sv^2} 2 = \frac S 2 \left(\frac{\partial S}{\partial t}\right)^2 = \\
	= \frac 1 2 \rho S_0^2 \omega^2\sin^2(\omega t - kx) \\
	W_p = \frac{E\varepsilon^2} 2 = \frac E 2 \left(\frac{\partial S}{\partial x}\right)^2 = \frac 1 2 E S_0^2k^2\sin^2(\omega t - kx) = [\quad E = Sc^2, k = \frac \omega c] =  \\
	= \frac 1 2 \rho S_0^2 \omega^2\sin^2(\omega t - kx) \implies W_k=W_p
	W = 2W_k = \rho S_0^2 \omega^2\sin^2(\omega t - kx) = \frac 1 2 \rho S_0^2\omega^2(1 - \cos(2(\omega t - kx))) \\
\end{math}
Значит, что волна энергии колеблется на двойной частоте, энергия не бывает отрицательной, колебания энергии происходят вокруг некоторого среднего значения.

$<w> = \frac 1 2 \rho S_0^2\omega^2$

Значит, что бегущая волна переносит энергию

\subsection*{Вектор Умова(-Поинтинга)}
\begin{wrapfigure}[10]{r}{0.3\textwidth}
	\includegraphics[scale=2]{phys0412_2}
\end{wrapfigure}

Это вектор, описывающий перенос энергии

\begin{math}
	W = w\cdot c\Delta t \Sigma \\
	J = \frac W {\Delta t \Sigma} = wc - $Плотность потока энергии$\hspace{1cm}
	\\\vec J = w \vec c, \quad <J>=I=<w>c = \frac 1 2 \rho S_-^2\omega^2c = I
\end{math} \\
$I$ - средняя плотность потока энергии/интенсивность волны

\subsection*{Акустический "Закон ома"}
\begin{math}
	\sigma_0 = E\varepsilon_0 = ES_0K - $амплитуда напряжений$ \\
	 \delta P = -\sigma \implies \delta P_0 = \sigma_0 \\
	 .[E = \rho c^2\hspace{1cm}S_0 = \frac {v_0}{\omega}\hspace{1cm} k = \frac \omega c] \\
	\delta P_0 = \dots = \rho c v_0 \implies v_0 = \frac {\delta P_0}{\rho c} \\
\end{math}

$\rho c$ решили назвать аккустическим сопротивлением (или аккустическим импенадсом), так как оно довльно часто встречается в формулах

Тогда формуля для интенсивности: $
I = \frac 1 2 \rho S_0^2\omega^2c = \frac 1 2 \rho c v_0^2 = \frac 1 2 \frac{(\delta P_0)^2}{(\rho c)^2} = \frac 1 2 \frac {(\delta P_0)^2}{\rho c}$

\section*{Стоячие волны}
\begin{wrapfigure}[0]{r}{0.3\textwidth}
	\includegraphics[scale=2]{phys0412_3}
\end{wrapfigure}

\begin{math}
	\left\{\begin{aligned}
		S_1(x,t) = S_0\cos(\omega t - kx) \\
		S_2(x,t) = S_0\cos(\omega t + kx)
	\end{aligned}\right. \implies 
	S(x,t) = S_1(x,t) + S_2(x,t) = S_0\cos(\omega t - kx) + S_2(x,t) = S_0\cos(\omega t + kx) = 
	2S_0\cos\frac{\omega t - kx + \omega t + kx}2\cos\cdot\frac{\omega t - kx - \omega t - kx}2 = 
	2S_0\cos\omega t\cos kx = S(x,t) $ - это и называется стоячей волной$ \\
	1) x = x_0 = const \implies S(x_0, t) = 2S_0\cos \omega t \cos kx_0 \\{}\quad $ - разные точки колеблются с разными амплитудами$ \\
	2) t = t_0 = const \implies S(x, t_0) =  2S_0\cos \omega t_0 \cos kx \\{}\quad$ - "на фотографии" есть точки, которые равны нулю, то есть вообще не колеблются$  \\
	\cos kx = 0 \implies kx_n = (2n-1)\frac \pi 2, n \in \mathbb{N} \quad
	\Delta x = x_{n+1} - x_n = \frac \pi k = \frac \lambda 2 $ - стоячие точки$ \\
	\cos kx = \pm 1 \implies kx_n = (n-1) \pi \implies \Delta x = \frac \lambda 2
\end{math}

В аналогии с бегущей волной можно говорить о волне скоростей, ускорений и т.п.

\begin{math}
	S(x,t) = 2S_0\cos \omega t \cos kx \implies \\v(x,t) = \frac{\partial S}{\partial t} = -2S_0 \omega \sin(\omega t) \cos(kx) \\
	a(x,t) = \frac{\partial^2 S}{\partial t^2} = -2S_0 \omega^2 \cos(\omega t) \cos(kx)\\
	\varepsilon(x,t) = \frac{\partial S}{\partial x} = -2S_0 \omega \cos(\omega t) \sin(kx)\\
\end{math}

Когда рассматривают отражение волны от границы, есть несколько типов границ

\begin{enumerate}
	\item гарница закреплена - $S(x, t) = 0$ - колебания на границе равны нулю
	\item гарница свободна- $\frac{\partial S}{\partial x} = 0$ - деформации на границе равны нулю
\end{enumerate}

Дёграем шнур, закреплённый другим концом на стене: \\
\begin{math}
	S(0,t) = S_0\cos\omega t \hspace{1cm}
	\tau_1 = \frac x c \hspace{1cm}
	S_1(x,t) = S_0\cos(\omega(t-\tau)) - S_0\cos(\omega t - kx)\\
	$Но возникнет волна, которая пойдёт в другую сторону. Считаем, что волна отражается полностью, и что у отражнной волны другая фаза$ \\
	\tau_2 = \frac{l + l - x} c = \frac{2l - x} c \hspace{2cm}
	S_2(x, t) = S_0\cos(\omega (t - \tau_2) + \varphi) = S_0\cos(\omega t - k(2l-x) + \varphi) \\
	S_1 $ - это волна от своих колебаний, $ S_2 $ - это волна от отражённых колебаний. Поулчим полное колебание:$\\
	S(x,t) = S_1(x,t) + S_2(x,t) = S_0\cos(\omega t - kx) + S_0\cos (\omega t - k(2l-x) + \varphi) = \\
	= 2S_0\cos\frac{\omega t -kx + \omega t - k(2l-x) + \varphi}2 \cos \frac{\omega t - kx - \omega t + k(2l-x) - \varphi}2 = 2S_0\cos(\omega t - kl + \frac \varphi 2)\cos(k(l-x) - \frac \varphi 2)\\
	= A(t)\cos(k(l-x) - \frac \varphi 2)
	$Рассмотрим частные случаи:$ \\
	1) S(l, t) = 0\hspace{1cm}\cos \frac \varphi 2 = 0 \implies \varphi = \pi \\
	2) \frac{\partial S}{\partial x} = 0 \hspace{1cm} kA(t)\sin(k(l-x) - \frac \varphi 2) = 0 \implies \varphi = 0
\end{math}

\end{document}

