\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{fontspec}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsfonts} 
\usepackage{wrapfig}
\usepackage{graphicx}
\usepackage[margin=0.25in]{geometry}
\setmainfont{FreeSans}
\graphicspath{ {../images} }
\everymath{\displaystyle}

\DeclareMathOperator{\grad}{grad}

\begin{document}

\section*{Нормальные колебания стержня, струны, столба газа}
\begin{wrapfigure}[10]{r}{0.3\textwidth}
	\includegraphics[scale=2]{phys0912_1}
	\includegraphics[scale=2]{phys0912_2}
	\includegraphics[scale=2]{phys0912_3}
\end{wrapfigure}

$S(x,t) = A(t)\cos(k(l-x) - \frac {\varphi_{rev}}{2})$

Сейчас будем рассматривать разные случаи граничных условий

\begin{enumerate}
	\item оба конца закреплены:

		$x_0=0, x_1=0,\quad S(o, t) = S(l, t) = 0 \implies S(0, t) = A(t)\cos(xl-\frac \varphi 2) = S(l, t) = A(t)\cos(-\frac \varphi 2)
		\implies \varphi = \pi,\quad\sin xl = 0, kl=\pi n, n \in \mathbb{N},\quad l = 2n\frac \lambda 4$, то есть если оба конца закреплены, то на длине струны должно уладываться целое число полуволн! Что супер логично, если об этом подумать. 
		$l = \frac n 2 \frac c {\nu_n} \implies \nu = \frac{cn}{2l}$. $\nu_1$ - основной тон, а остальные $\nu_n$ - это обертона
	\item Оба конца свободны

		$\frac{dS}{dx}_|{x = 0, x = l} = 0 \implies A(t)k\sin(kl-\frac \varphi 2) = A(t)k\sin(-\frac \varphi 2),\\
		\varphi = 0, \sin kl = 0$, значит, набор частот и условий существования стоячих волн такие же, разве что на концах струны будут пучности, а не узлы
	
	\item Один конец закреплён, второй свободен
		
		$\frac{dS}{dx}|_{x=l} = 0, S(0, t) = 0 \implies A(t)\cos(kl - \frac \varphi 2) = A(t)k\sin(-\frac \varphi 2) \implies \varphi = 0,\quad\cos kl = 0,\quad k_nl=(2n-1)\frac \pi 2, n = 1,2,\dots \\
		l = (2n-1)\frac \pi 2 \frac {\lambda_n}{2\pi} = (2n-1)\frac{\lambda}4$, то есть должно помещаться НЕЧЁТНОЕ ЧИСЛО ЧЕТВЕРТЕЙ\\
		$l= (2n-1)\frac{c}{4\nu} \implies \nu_n = \frac{c(2n-1)}{4l}$
\end{enumerate}

\subsection*{Резонатор Гольмгольца}

Берут такой сферический сосуд с отверстием

\begin{math}
	\frac {\delta\rho}{\rho_0} = -\frac{\Delta V}{V} = - \frac {\Sigma \rho}{V}\\
	c^2 = \frac{\delta P}{\delta \rho},\quad \rho_0\Sigma l \frac{d^2S}{dt^2} = \delta P \Sigma = -\frac{c^2\Sigma^2S}{V} \\
	\frac{d^2S}{dt^2} + \frac{c^2\Sigma}{lV}S = 0,\quad \omega_0 = c\sqrt{\frac{\Sigma}{lV}} = 2\pi\nu
\end{math}

\newpage

\section*{Элементы акустики, высота и тембр тона}

\begin{wrapfigure}[2]{r}{0.35\textwidth}
	\includegraphics[scale=2]{phys0912_4}
	\includegraphics[scale=0.07]{phys9012_5}
\end{wrapfigure}

есть 3 характеристики звуковой волны:

\begin{enumerate}
	\item высота
	
		Интенсивность первой гармоники обычно самая большая, поэтому она задаёт высоту тона. Иногда, редко, бывает и по-другому, тогда высота определяется самым высоким тоном
		
		
	\item тембр
		
		Определяется спектром [соотношением частот и интенсивностей тонов]

		Если спектр линейчатый - то это воспринимается ухом как тон (И). Иначе это воспринимается как шум (ЩЩЩЩЩЩ!)

	\item громкость

		Характеристика вообще субъективная. Но $\frac{\Delta I}{I}$, которая \\ воспринимается человеком, $\sim 0.1$, и
		это называется законом Вебера. 

		Введём единицу громкости $\frac{dI}{I} = Ad\beta$, где $\beta$ - громкость звука $\implies \beta = \frac 1 A \ln \frac {I}{I_{edge}}$, и называется это законом \textbf{Вебера-Фехнера}. Обычно выбирают $A = \ln 10 \implies \beta = \lg\frac{I}{I_{edge}}$
		Но получилось так, что громкость всё ещё субъективная, и $\beta$ определяется ухом

		$L_I$ - корень интенсивности = $\lg\frac{I}{I_{edge}} = \lg\left(\frac{\delta P}{\delta P_{edge}}\right)^2 = 2\lg\frac{\delta P}{\delta P_{edge}} = L_P$, где $\delta P_{edge} = 2\cdot 10^{-5}$ Па. Это уже измеряется в \textbf{Белах}, но Белы довольно большие, поэтому
		используют \textbf{Децибелы}. Это безразмерная величина, и \textbf{Дб} = $10\lg\frac{I}{I_{edge}}$

		К сожалению, объективная и субъективная оценка грокости не совпадают, соотношение у них довольно сложное и определяется 
		диаграммой слуха, где по оси $x$ отложена частота, а по $y$ - разность $L_P$ (Дб) и $\beta$ (фон). Линиями обозначены линии одинаковой громкости
\end{enumerate}		

Определение: \\
Громкость звука в фонах для тона данной частоты равна уровн звукового давления в децибелах для тона частотой 1кГц, воспринимаемого ухом как звук равной громкости

\newpage
ГООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООЛ

ГООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООЛ

ГООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООЛ

ГООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООЛ

ГООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООЛ

ГООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООЛ

ГООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООЛ

ГООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООЛ

ГООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООЛ

ГООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООЛ

ГООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООЛ

ГООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООЛ

ГООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООЛ

ГООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООЛ

ГООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООЛ

ГООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООЛ

ГООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООЛ

ГООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООЛ

ГООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООЛ

ГООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООЛ

ГООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООЛ

ГООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООЛ

ГООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООЛ

ГООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООЛ

ГООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООЛ

ГООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООЛ

ГООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООЛ

ГООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООЛ

ГООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООЛ

ГООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООЛ

ГООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООЛ

ГООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООЛ

ГООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООЛ

ГООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООЛ

ГООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООЛ

ГООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООЛ

ГООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООЛ

ГООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООЛ

ГООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООЛ

ГООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООЛ

ГООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООЛ

ГООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООЛ

ГООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООЛ

ГООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООЛ

ГООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООЛ

ГООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООЛ

ГООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООЛ

ГООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООЛ

ГООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООЛ

ГООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООЛ

ГООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООЛ
\newpage

\subsection*{Бинуаральный эффект}

измеряется $\Delta \varphi$, и частота должна быть МЕНЬШЕ $\frac c {2L} \sim 1$кГц

\subsection*{Эффект доплера}


\begin{wrapfigure}[10]{r}{0.3\textwidth}
	\includegraphics[scale=2]{phys0912_7}
	\includegraphics[scale=0.9]{phys0912_8}
\end{wrapfigure}

Эффект изменения частоты волны, регистрируемой приёмником, при относителном движении волны и (или) приёмника

\begin{enumerate}
	\item Движется источник к приёмнику, дано $\nu$, найти $\nu'$
	
	Длина волны как-бы сжимается \\
	$\lambda' = cT - uT = (c-u)T, \nu' = \frac c {T(c-u)} = \frac {\frac 1 T}{1 - \frac u c} = \frac \nu {1-\frac u c}$

	\item Движется приёмник от источника
	
	Конец волны придёт в приёмник позже, чем начало, поэтому волна как-бы растягивается \\
	$\nu' = \frac 1 T' = \frac {c - v} \lambda = \frac{c-v}{c}\nu = \mathbf{\left(1 - \frac v c\right)\nu}$

	\item Движется ВСЁЁЁЁЁЁЁЁ
	
	$\nu' = \nu \frac{1 - \frac v c}{1 - \frac u c} = $[Учитывая направление]$ = \nu \frac{1 - \frac{\vec{v}\cdot\vec{c}}{c^2}}{1 - \frac{\vec{c}\cdot\vec{u}}{c^2}}$.  \\
	Как запомнить? сверху вниз П$\downarrow$И
\end{enumerate}

Примечание: может показаться, что формулы не симметричны против преобразований Галлилея, но это потому, что мы рассматриваем частоту.
Если записать рассмотренный период, то всё норм

\subsection*{Движение быстрее скорости звука}

Конус маха: хрень движется из точки $A$ в точку $B$ за время $t$ со скоростью $V$ в среде со скоростью звука $c$. Образуется такой своеобразный конус

Очевидно, что $\sin \alpha = \frac c v < 1$. А число Маха $M = \frac 1 {\sin\alpha} = \frac v c > 1$

\subsection*{чё-то}
$c = \sqrt{\frac{\partial P}{\partial \rho}}$

\section*{Основы ГИДРО И АЭ РО СТАТ ИК ИИИИИИИИИ}

Изучает вопросы равновесие жидкостей и равновесие тел, находящихся \\в жидкостях ( и газах )

Жидкости и газы - это те среды, в которых при равновесии не может существовать касательные напряжения

Если говорить про жидкость, то у неё есть \textbf{коэффицент сжимаемости}: $\alpha = - \frac 1 V \frac{\Delta V}{\Delta P} = - \frac 1 V \frac{dV}{dP}$

Примечание: $\alpha$ - ДОХУЯ МАЛЕНЬКИЙ

Будем говорить о несжимаемой ($\alpha = 0$) идеальной жидкости ($\not\exists\sigma_{\tau}$)

Есть 3 типа сил:
\begin{enumerate}
	\item $\Delta F \sim \Delta V$
	\item $\Delta F \sim \Delta S$ - их рассматривать не будем
	\item $\Delta F^P$
\end{enumerate}

\begin{math}
	dF^P = P(x)s - P(x+dx)S = -(P(x+dx) - P(x))S = - \frac{dP}{dx}Sdx = -\frac{dP}{dx}dV = 
	-\frac{\partial P}{\partial x}dV\vec{e}_x -\frac{\partial P}{\partial y}dV\vec{e}_y -\frac{\partial P}{\partial z}dV\vec{e}_z =
	-(\frac{\partial P}{\partial x}e_x + \frac{\partial P}{\partial y}e_y + \frac{\partial P}{\partial z}e_z)dV = -\nabla P dV = - grad P dV  \\
	dF^P = -\nabla P dV $!!!!!!!!$ \\
	\rho dV \frac{dv}{dt} = dF^V + df^P \implies \rho \frac{dv}{dt} = \frac{dF^V}{dV} + \frac{dF^P}{dV} = \vec{f} - \nabla P \\
	\rho \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} = \vec{f} - \nabla P $!!!!!!!!!!! - уравнение эйлера$ \\
	$А теперь гидростатика:$ \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} = 0 \implies \vec{f} = \nabla P $ - основное уравнение гидростатики$ \\
\end{math}

\subsection*{Закон паскаля}

$I = 0 \implies \nabla P = 0, \\
\frac{\partial P}{\partial x}\vec{e}_x + \frac{\partial P}{\partial y}\vec{e}_y + \frac{\partial P}{\partial z}\vec{e}_z = 0 \implies
\frac{\partial P}{\partial x} = 0,\quad\frac{\partial P}{\partial y} = 0,\quad\frac{\partial P}{\partial z} = 0 \equiv P(x, y, z) = const$
\\
Словами: В отсутствие массовых сил при равновесии давление во всех точках жидкости и во всех направлениях одинкаовое \\
ИЛИ \\
В отсутствие массовых сил при равновесии давление со свободной поверхности жидкости без изменений передаётся во все её точки
\\

\begin{wrapfigure}[10]{r}{0.3\textwidth}
	\includegraphics[scale=2]{phys1612_1}
	\includegraphics[scale=2]{phys1612_2}
\end{wrapfigure}
Рассмотрим жидкость в однородном поле силы тяжести \\
$
	\vec{f} = +\rho \vec{g} = \rho g \vec{e_z} \\
	\frac{\partial P}{\partial x}\vec{e}_x + \frac{\partial P}{\partial y}\vec{e}_y +\frac{\partial P}{\partial z}\vec{e}_z = \vec{f} = \rho g \vec{e}_z \\
	\left\{\begin{aligned}
		\frac{\partial P}{\partial x}\vec{e}_x = 0 \\ 
		\frac{\partial P}{\partial y}\vec{e}_y = 0 \\
		\frac{\partial P}{\partial z}\vec{e}_z = \rho g 
	\end{aligned} \right. \implies P(z) = P_0 + \rho g z
$

\subsection*{рассмотрим изотермическую атмосферу}

$
	\rho = \frac {\mu P}{RT},\hspace{1cm}\frac{\partial P}{\partial z} = -\frac{\mu Pg}{RT} = \frac{dP}{dz} \\
	\frac{dP}{dz} = -\frac{\mu g}{RT}dt \implies P = P_0 e^{-\frac{\mu gz}{RT}}, \hspace{1cm} z_0 = \frac{RT}{\mu g}, \\
	P = P_0e^{-\frac z {z_0}}
$
- и мы получили БАРОМЕТРИЧЕСКУЮ формулу! для земли барометрическая высота $z_0 = $ 8км

\subsection*{Закон Архимеда}
Позволяет установить, чему равна сила, возникающая со стороны жидкости/газа на погружённое туда тело

Выделим внутри жидкости произвольный объём, он в равновесии, тогда  \\
$m\vec{g} = -\vec{R}_P, \hspace{1cm} F_a = mg = \rho g V$ \\
То есть ЧИСЛЕННО Выталкивающая сила равна произведению массы "заменённой" жидкости, направлена вертикально вверх и приложена к
центру масс "заменённой" жидкости, то есть к \textbf{Центру плавучести} \newpage
Условие Плавучести тела: $\frac{V_T}{V_{subm}} = \frac{\rho_{liq}}{\rho_{body}} \geq 1 \implies \rho_{liq} \geq \rho_{body}$

\begin{wrapfigure}[4]{r}{0.3\textwidth}
	\includegraphics[scale=2]{phys1612_3}
	\includegraphics[scale=2]{phys1612_10}
	\includegraphics[scale=2]{phys1612_11}
	\includegraphics[scale=0.3]{phys1612_69}
\end{wrapfigure}

\subsection*{Вопрос Остойчивости}

\begin{enumerate}
	\item Тело полностью погружено - тут всё понятно
	\item Тело погружено частично - тут уже сложнее, рассмотрим симметрично плавающее тело
	\item корабль: Метацентрическая высота - это расстояние между центром масс корабля $C$ и 
		метацентром $M$ (центр кривизны траектории, по которой перемещается точка приложения сил плавучести в процессе наклонения судна) 

		И метацентрическая высота должна быть положительной, чтобы плавучесть была устойчивой
\end{enumerate}

\section*{Гидростатика}
Представим себе, что \textit{\textbf{т е ч ё т   ж и д к о с т ь}}. Будем в каждый момент времени фиксировать, чему равна 
скорость каждой бесконечно малой частички жидкости. \\ Получаем ПОЛЕ СКОРОСТЕЙ - это векторная функция координаты и времени. Ну и иногда бывает, что поле скоростей зависит только от координаты, и такое течение называется \textbf{стационарным}

Стационарное течение - такое, в котором поле скоростей $\vec{v}$ зависит только от координаты и не зависит от времени.

Линия тока - линия, касательная к которой совпадает с направлением вектора скорости тока

Трубка тока - Проведём в жидкости некоторый контур и проведём через все точки этого контура линии тока. Ну и получим трубку тока

Получаем несколько важных и полезных условий:

\begin{enumerate}
	\item Условие неразрывности: $\rho = const \implies$ если трубка разной ширины, то сколько жидкости втекло за единицу времени с одной стороны, столько и вытекло с другой \\
		$\Delta m = \rho S_1v_1\Delta t = \rho S_2v_2\Delta t \implies \mathbf{Sv = const}$.
\end{enumerate}

\subsection*{Уравнение Бернулли}
\begin{wrapfigure}[10]{r}{0.3\textwidth}
	\includegraphics[scale=2]{phys1612_7}
\end{wrapfigure}


Уравнение Бернулли: Распределение давлений в трубке токааааа для \textbf{стационарного движения идеальной сжимаемой жидкости}  \\
$
	\begin{aligned}
		A_1 &= P_1S_1\Delta l_1 &= P_1\Delta V_1 &= P_1 \frac{\Delta m}{\rho_1} \\
		A_2 &=\dots=\dots&\dots=\dots&= -P_2 \frac{\Delta m}{\rho_2} 
	\end{aligned},\hspace{5mm} A_1+A_2 = E_2 - E_1,\hspace{5mm} \frac{P_1}{\rho_1} - \frac{P_2}{\rho_2} = \\
	= \varepsilon_2 - \varepsilon_1 , \hspace{1cm} \varepsilon = \frac{E}{\Delta m} \\
	\frac{P}{\rho} + \varepsilon = const,\hspace{5mm} E = \frac{\Delta m v^2}2 + \Delta m g h \implies \varepsilon = \frac{v^2}2 + gh, \\
	\frac{\rho v^2}2 + \rho gh + P = const' = B
$ - постоянная Бернулли
\end{document}


% \begin{math}
% \end{math}

% \begin{wrapfigure}[10]{r}{0.3\textwidth}
% 	\includegraphics[scale=2]{phys0912_1}
% \end{wrapfigure}

% \begin{enumeraete}
% \end{enumeraete}
