\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{fontspec}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[margin=0.25in]{geometry}
\setmainfont{FreeSans}
   
\begin{document}

\section*{Деформируемые тела}

2 груза, связанных пружиной друг за другом : \\
стенка -> пружина <- груз 1 -> пружина <- груз 2 \\
---------------СТОЛ----------------------------

Уравнения: \\
\begin{math}
	\left \{ \begin{aligned} 
		& m\ddot{x_1} = -F_1 + F_2 \\
		& m\ddot{x_1} = -F_2' \\
		& F_1 = -kx_2 \\
		& F_2 = F_2' = k(x_2-x_1)
	\end{aligned} \right . = 
	\left \{ \begin{aligned}
		& m\ddot{x_1} = -kx_2 - 2kx_1 \\
		& m\ddot{x_2} = -kx_2 + kx_1 \\
	\end {aligned} \right . = 
	\left \{ \begin{aligned}
		& \ddot{x_1} + 2\frac{k}{m}x_1 - \frac{k}{m}x_2 = 0 \\
		& \ddot{x_2} + \frac{k}{m}x_2 - \frac{k}{m}x_1 = 0 \\
	\end {aligned} \right . \\
	\displaystyle \left[ \omega_0^2 = \frac{k}{m} \right] \\
\end{math}	

методом комплексных амплитуд: \\
\begin{math}
	\left \{ \begin{aligned}
		& x_1 = Ae^{i\omega_1t} + \beta e^{i\omega_2t} \\
		& x_2 = Ce^{i\omega_1t} + De^{i\omega_2t}
	\end {aligned} \right . = 
	\left \{ \begin{aligned}
		& \ddot{x_1} = -\omega_1^2Ae^{i\omega_1t} - \omega_2^2\beta e^{i\omega_2t} \\
		& \ddot{x_2} = -\omega_1^2Ce^{i\omega_1t} - \omega_2^2De^{i\omega_2t}
	\end {aligned} \right . \implies \\
	\displaystyle \implies e^{i\omega_1t} \left( \omega_1^2A + 2\omega_0^2A-\omega_0^2C \right) + 
	e^{i\omega_2t} \left( \omega_2^2\beta + 2\omega_0^2\beta-\omega_0^2D \right) = 0 \\
	$(нужно потребовать, чтобы коэффиценты в скобках были равны нулю)$ \\
	\begin{aligned}
		C & = \frac{2\omega_0^2 - \omega_1^2}{\omega_0^2}A \\
		D & = \frac{2\omega_0^2 - \omega_2^2}{\omega_0^2}B
	\end{aligned}
\end{math}

\section*{Всяки разныэ дэформацыи}
Деформации на микроскопическом уровне: смещаются атомы относительно положения равновесия, 
то есть $W_{p}$ увеличивается, короче хуйня всякая погнали \\
Определение: Деформация - изменение взаимного расположения материальных точек тела, вызванное внешним воздействием, которое приводит к искажению формы и размера тела и вызывает изменения сил взаимодествия между материальными точками, т.е. появление напряжений

$U$ - напряжение, $r$ - сдвиг. тогда $\displaystyle U(t) = U_0 + \frac{1}{1!}U'|_{r = r_0}(r-r_0)^1 + \frac{1}{2!}U''|_{r = r_0}(r-r_0)^2 + \dots$ \\
пусть $r-r_0 = x$, тогда $\displaystyle U(x) = \frac{kx^2}{2}$ - что подозрительно похоже на формулу $W_p$ для пружины \\
Берём производную: $F = -kx$ - Но это работает только при малых смещениях, потому что мы забили на остальные слагаемые в ряде тейлора!

Типы деформаций:
\begin{enumerate}
	\item растяжение(сжатие)
	\item сдвиг
	\item кручение
	\item изгиб
	\item всё остальное = суперпозиции (1)-(4)
\end{enumerate}

\newpage 

\subsection*{растяжение (сжатие)}
Рассмотрим балку: один конец закрепили, к другому прикладываем силу $F$ ко всему сечению балки. \\
Напряжение: $\displaystyle \sigma = \frac{F}{S}$,  $\displaystyle \varepsilon^2 = \frac{\Delta l}{l_0} - \frac{\Delta l}{l}$ \\
$\varepsilon = \frac{\Delta l}{l}, \varepsilon_{\perp} = \frac{\Delta d}{d}, \mu = -\frac{\varepsilon_{\perp}}{\varepsilon} \\
\mu$ - Коэффициент Пуассона \\
Закон гука: $\sigma = E\varepsilon$, где $E$ - Модуль Юнга. \\
Продольно балка увеличивается, поперечнчо - уменьшается.


\subsubsection*{Всестороннее сжатие:}
Куб: $\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3$ приложены к разным граням: \\
$\varepsilon_x = \frac{\sigma_1}{E} - \mu\frac{\sigma_2}{E} - \mu\frac{\sigma_3}{E}$ \\
Если $\sigma_1 = \sigma_2 = \sigma_3$: $\varepsilon = \varepsilon_x = \frac{\sigma}{E}(1 - 2\mu), 0 \leq \mu \leq \frac{1}{2}$ \\
$\varepsilon_x = \varepsilon_y = \varepsilon_z = \varepsilon \geq 0 \implies \mu \leq \frac{1}{2}$ \\
Тогда $\frac{\Delta V}{V} = \frac{V_k - V_0}{l_0^3} = \frac{(l_0(1+\varepsilon))^3 - l_0^3}{l_0^3} = (1+\varepsilon)^3 - 1 \approx 3\varepsilon \implies \frac{\Delta V}{V} = \frac{3\sigma}{E}(1-2\mu) = \frac{\sigma}{K}$ \\
Где $K = \frac{E}{3(1 - 2\mu)}$ - Коэффициент всестороннего сжатия.

\subsection*{Деформация сдвига}
Закрепим основание куба и будет прикладывать силу ко всей верхней грани касательно, то есть превращать куб в паралеллепипед. \\
$\tau = \frac{F}{S}$. Назовём величину $\gamma = \tan\alpha$ относительным сдвигом.


\end{document}
