\documentclass[fleqn]{article}
\usepackage[margin=0.25in]{geometry}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{fontspec}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{wrapfig}

\setmainfont{FreeSans}
\graphicspath{ {../images} }

\begin{document}
\section*{Механические волны}

\subsection*{Типы волн}
\begin{itemize}
	\item круговые - распространение по нормали
\end{itemize}

Фазовая скорость: (в случае дисперсии): скорость перемещения фазы волны

Групповая скорость: Скорость распространения волнового пакета

\subsection*{Продольные волны в стержне}
стукнем молотком по стержню и выделим кусочек $[x, x+dx]$.
смещение: $[u(x), u(x+dx)]$. \\
$\Delta m \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = S(\sigma(x+dx) - \sigma(x)), \sigma = E\varepsilon = E\frac{u(x+dx)-u(x)}{dx} = E\frac{\partial u}{\partial x}$ \\
$\frac{\partial^2u}{\partial t^2} = \frac{E}{\rho_v}\frac{\varepsilon(x+dx)-\varepsilon(x)}{dx} = \frac{E}{\rho_v}\frac{\partial^2u}{\partial x^2} \implies$
$\frac{\partial^2u}{\partial t^2} = \frac{E}{\rho_v}\frac{\partial^2u}{\partial x^2}$  - уравнение волны -
$v_{\parallel} = \sqrt{\frac{E}{\rho_v}}$, $v_{\perp} = \sqrt{\frac{G}{\rho_v}}$

\subsection*{Волны в жидкости и газе}
Для опреденённости поместим газ в цилиндрическую трубу. Снова выделяем кусочек... \\
Волны сразу же будут только продольные. $dP=-\sigma \implies dm\frac{\partial^2u}{\partial t^2} = S(P(x) - P(x+dx))$ \\
\begin{alignat*}{1}
	dm &= \rho S dx \\
	P &= P(\rho) \implies dP = \frac{\partial P}{\partial \rho}d\rho  \\
	\varepsilon &= \frac{S\Delta l}{S l} = \frac{dV}{V} \\
	m &= const = \rho V \implies 0 = d\rho V + dV \rho \implies \frac{dV}{V} = -\frac{d\rho}{\rho} \\
	(\frac{\partial P}{\partial \rho})&(\partial \rho |_x - \partial \rho |_{x+dx})\rho =  (\frac{\partial P}{\partial \rho})\frac{-\varepsilon|_x + \varepsilon|_{x+dx}}{dx} = \left[\varepsilon = \frac{\partial u}{\partial x}\right] \implies \frac{\partial^2u}{\partial t^2} = \left . \left(\frac{\partial P}{\partial \rho}\right) \right |_{\rho=\rho_0} \frac{\partial^2u}{\partial x^2} \\ 
	c &= \sqrt{\left . \left(\frac{\partial P}{\partial \rho}\right) \right |_{\rho=\rho_0}}\\ 
\end{alignat*}
Где c - скорость распространения волныыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыыы

\subsection*{поток энергии в бегущей волне}
\begin{alignat*}{1}
	u &= u_0\cos(\omega t -kx) \\
	k &= \frac{mv^2_{\parallel}}{2} \\
	W_k &= \frac{k}{V} = \frac{\rho}{2}v^2_{\parallel} = \frac{\rho}{2}\left(\frac{\partial u}{\partial t}\right)^2 = \frac{\rho u_o^2 \omega^2}{2}\sin^2(\omega t - kx) \\ 
	W_{pot} &= \frac{E\varepsilon^2}{2} = \frac{E}{2}\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^2 = \frac{E}{2}u_0^2k^2\sin^2(\omega t -kx) = \frac{Eu_0^2\omega^2}{2v^2}\sin^2(\omega t -kx) = \left[v^2 = \frac{E}{\rho}\right] = \frac{\rho u_0^2 \omega^2}{2}\sin(\omega t -kx)\\
\end{alignat*}
Получилось, что $W_k = W_{pot} \implies W = \rho u_0^2 \omega^2 \sin(\omega t - kx) = \frac{\rho u_0^2 \omega^2}{2} - \rho u_0^2 \omega^2\frac{\cos(2(\omega t -kx))}{2} $  \\

\end{document}

