\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{fontspec}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsfonts} 
\usepackage{wrapfig}
\usepackage{graphicx}
\usepackage[margin=0.25in]{geometry}
\setmainfont{FreeSans}
\graphicspath{ {../images} }
\everymath{\displaystyle}

\begin{document}
\section{}
\section{}
\begin{math}
	\left\{\begin{aligned}
		\xi_1 &= \xi_0\cos(\omega t - kx) \\
		\xi_2 &= \xi_0\cos(\omega t + kx)
	\end{aligned}\right., $надо получить выражение всего от всего$\\
	\xi = \xi_1 + \xi_2  = \xi_0\left( \cos(\omega t - kx) + \cos (\omega t + kx) \right) = 2 \xi_0 \cos(\omega t)\cos(kx) \\
	2\xi_0 = A_{\xi},\hspace{1cm}
\end{math}

Ну вот теперь посмотрим деформации, тут энергия не передвигается очень сильно

\begin{math}
	\frac{\partial \xi}{\partial x} = -A_{\xi}K\sin kx\cos\omega t \\
	$Там, где деформации не меняются - узлы, смещение равно нулю, а пучность - там, где смещения максимальные$
\end{math}

\section{}
Дано: $m, \omega, A_{\max}$

Найти: $E_{kin_{\max}}, <E>_T$

Получаааем...\\
\begin{math}
	\xi(x, t) = A_{\xi}\sin\frac \omega c x \cos(\omega t + \varphi) \\
	$Надо подобрать так, чтобы $ \sin\left(\frac \omega c \frac \lambda 2\right)
	= [k = \frac {2\pi} \lambda ] = 0 \implies \sin\left(\frac{2\pi\lambda}{2\lambda}\right)\\
	E_{kin} = \int_0^{\frac \lambda 2}\frac 1 2 \rho A_{\xi}^2\omega^2\sin^2(\omega t + \varphi)\sin^2\frac \omega c x dx = \frac 1 2 \rho A_{\xi}^2\omega^2\sin^2(\omega t + \varphi)\int_0^{\frac \lambda 2}\sin^2\frac \omega c x dx = \\
	= \dots \cdot \frac 1 2 \int_0^{\frac \lambda 2} \left(1 - \cos(\frac{2\omega}{c}x)\right)dx = \dots \left(\left.x - \frac c {2\omega }\sin\left(\frac{2\omega} c x\right)\right)\right|_{0}^{\frac \lambda 2} = \frac 1 4 \rho A_{\xi}^2\omega^2\sin^2(\omega t + \varphi)\left(\frac \lambda 2 - \frac{c}{2\omega}\sin(\frac{2\omega\lambda}{2c})\right) = \dots = \frac \lambda 4 \\
	E_{kin_{avg}} = \frac \lambda {16}\rho A_{\max}^2\omega^2 = \frac m 8 A_{\max}^2\omega^2\\ 
	E_{kin_{\max}} = \frac m 4 A_{\max}^2\omega^2\\ 
\end{math}

\section{}

Нарисуем медный стержень длины $l = 50cm$, а в середине держатель есть. сколько мод укладывается на $[f_1, f_2]$
\\\\
Самый простой случай: до держателя ничего нет, колебаний $\frac 1 4$\\
3 Штуки: $\frac 3 4$ колебания \\
5 штук: $\frac 5 4 $ колебаний \\
\begin{math}
	l = \frac {\lambda_1} 2 \implies f_1 = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{2\pi}{2\pi T} = \frac 1 T = \frac c \lambda_1 = \frac {1c} {2l} \\
	l \frac 3 2 \lambda_2 \implies f_2 = \frac c {\lambda_2} = \frac{3c}{2l} \\
	\dots \\
	l \frac 5 2 \lambda_3 \implies f_3 = \frac {5c}{2l}
\end{math}

\end{document}
