\input ../common.inc
\begin{document}
\tableofcontents
\section*{Лекция 1 (2025-02-11)}


\everymath{\displaystyle}

\section{ФНП}
\subsection{Множества точек}

Определения: 

Точка: Упорядоченная совокупность вещ. чисел $(x_1, \dots, x_n);\; x_i$ называется координатами точки

$M$-мерное координатное пр-во: Совокупность всех точек с $M$ координатами

Множество точек: Любая совокупность точек $M$-мерного коорд. пр-ва

Расстояние между точками: $M_1(x^1_1, \dots, x^1_n), M_2(x^2_1, \dots, x^2_n): \rho = \sqrt{\sum_{i=1}^n\wrapb{x^1_i - x^2_i}^2}$

$M$-мерное Eвклидово пр-во: Такое пр-во, в котором расстояние между точками введено по прошлой формуле $\s R^m$

Начало координат: Точка $O(0, 0, \dots, 0)$

Открытый шар: Множестчо точек $\ss{M \in \s R^m | \rho(M, A) < R,\; A(a_1, \dots, a_m),\; R \in \s R^+}$. $A$ - центр, $R$ - радиус

$\eps$-окресность $A$: $\ss{M \in \s R^m | \rho(M, A) < \eps} =: \reg\eps A$

Прямоугольная окресность $A(a_1, \dots, a_m)$: $\ss{M \in \s R^m | \wrapm{x_i - a_i} < c_i (c_i > 0 \all i)}$

Внутренняя $A$ точка мн-ва $\ss M$: $\e \reg\eps A \in \ss M$

Граничная точка $A$ мн-ва $\ss M$: в $\all \reg\eps A$ $\e M \in \ss M, \e M' \not \in \ss M$

Изолированная точка $A$ мн-ва $\ss M$: $\e \reg\eps A: \not \e (M \neq A) \in \Omega$ (есть окресность, в которой нет точек)

Предельная точка $A$ мн-ва $\ss M$: $\all \exclreg\eps A \e M \in \ss M$ (в любой окресности есть точки из мн-ва)

Граница $\ss M$: Совокупность всех граничных точек мн-ва $\ss M$

Замкнутое множество: такое мн-во, которое содержит все свои граничные точки

Открытое множество: Все точки множества внутренние

$M$ ограничено, если оно целиком содержится в некотором шаре

($\e R > 0, A \in \s R^m: \all M \in \ss M : \rho(M, A) < R$)

Непрерывная кривая в $\s R^m$: мн-во точек $\ss {M(x_1, \dots, x_m) | x_i = \overset{\text{непр.}}{\ph_i(t)}, t \in [\alpha, \beta]}$ 

Концы кривой: точки $[A(\ph_1(\alpha), \dots, \ph_m(\alpha)), B(\ph_1(\beta), \dotsm \ph_m(\beta))]$

Кривая замкнутая, если $A=B$

Прямая в по-ве $\s R^m$: мн-во $\ss{M_i(x_1, \dots, x_m) | x_i = \overset\circ{x_i}+ a_it, t \in \s R}$

Связное мн-во: $\all M_1, M_2 \in \ss M$ можно соеднить непр. кривой, лежащей в $\ss M$

По определению ТОЛЬКО $\s R^m, \emptyset$ являются и открытыми, и замкнутыми
\\
Пример: $\ss{M(x_1, \dots, x_n) | \all i \in \overline{1,m} \; x_i \in \s Q, |x_i| < 1}$

$\all M \in \ss M \all \reg\eps M $ содержит точки с иррац коорд-ми, все эти точки так же являются граничными

То есть граничные точки и ВСЕ те, которые принадлежат множеству. и ВСЕ те, которые лежат "внутри куба", т.е. граница > мн-ва
\\
Утверждение: Любая внутренняя точка мн-ва является предельной

Док-во: Дано: $\e \reg{\eps_0} A \subs \ss M$, Доказать: $\all \eps > 0 \e M \in \reg\eps A$

Для $\eps > \eps_0: \all M \in \reg{\eps_0}A \in \ss M$

Для $\eps < \eps_0: \reg{\eps}A \subs \reg{\eps_0} A \subs \ss M \implies \all M \in \reg{\eps}A \in \ss M$
\\
Утверждение: Любая граничная точка множества является либо предельной, либо изолированной

1. $\system{
\text{Дано: } \all \reg\eps A \e M \in \ss M, \e M' \not \in \ss M (M, M' \in \reg\eps A) \\
\text{Отрицание изолированной: }\all \reg\eps A \e M \in \ss M (M \neq A)
} \implies \all \exclreg \eps A \e M \in \ss M \implies$

$\implies A$ - пред. точка 

2. Если $\e \reg\eps A, \e!A\in\ss M, $ то $A$ - изолированная
\\
Очень важное следствие: Замкнутое мн-во содержит все свои предельные точки

\subsection{Посл-ти точек в $\s R^m$}
Определения:

Если каждому числу $n \in \s N$ ставится в соответствие точка $M_n \in \s R^m$, то это посл-ть точек

Посл-ть точек ограничена, если $\e R > 0, \all n \in \s N: \rho(M, 0) < R$
\\
Лемма: Чтобы посл-ть была ограниченной $\Longleftrightarrow$ чтобы были ограничены посл-ти координат

Док-во:

1. Достаточность: $\ss{x_i^n}$ огр.: $\e R^n > 0: \all n |x_i^n| \leq \frac R {\sqrt m} \implies \rho = \sqrt{\sum_{i=1}^m\frac{R^2}{m}} = R$
\section*{Лекция 2 (2025-02-18)}


Лемма о координатной ограниченности: 
Для того, чтобы последовательносто $\ss{M_n} \in \s R^m$ была ограничена $\ioi$, чтобы были ограничены посл-ти координат

Необходимость: если ограничена, то координаты ограничены.\\
Дано: $\dst \e R > 0: \all n \rho(0, M_n) < R \implies \sqrt{\sum_{i=1}^n{x^2_i}} < \implies |x_i| < R$, доказано
\vspace{1cm}\\
Примечание: $\all m, \all m'$ обозначают "все координаты"\\
А теперь определения и леммы: \begin{itemize}\setlength\itemsep{0pt}
	\item $A = \lim_{n\to\infty}M_n$, если 
	$\all \eps > 0 \e N \in \s N, \all n < N : \rho(M_n, A) < \eps$
	\item Лемма: если $\ss{M_n} \in \ss{M}$ - замкнутое мн-во, $\ss{M_n} \to A \implies A \in \ss{M}$
	\ntab Док-во: 
	\ntab 1. $\e n, M_n = A \implies A \in \ss{M}$
	\ntab 2. $\all n\, M_n \neq A, \ss{M_n} \to A \implies \all \exclreg\eps A \e  M_n \in \ss{M}; A$ - предельная точка $\ss{M}$,
	а замкнутое мн-во содержит свои предельные точки
	\item Лемма о покоординатной сходимости: $\ss{M_n(x^n_1, \dots, x^n_m)} \to A(a_1, \dots, A_m) \ioi \all m': \ss{x^n_{m'}} \to a_{m'}$
	\ntab Доказательство достаточно простое :)
	\item Фундаментальная посл-ть $\ss{M_n} \in \s R^m$: $\all \eps > 0 \e N \in \s N, \all n > N, \all p \in \s N: \rho(M_n, M_{n+p}) < \eps$
	\item лемма о покоординатной фунд-сти: $\ss{M_n(x^n_1, \dots, x^n_m)} \text{ - фунд. } \ioi \all m': \ss{x^n_{m'}} \text{ - фунд. }$
	\item Теорема $\ss{M_n} \text{ сходится } \ioi \ss{M_n} \text{ фунд. }$ Док-во: 
	\ntab Достаточность: фунд $\implies$ сход; по лемме о координатной фунд-сти $\ss{x_i^n}$ - фундаментальные числовые последовательности $\implies$ они сходятся. 
	По лемме о координатной сход-сти $\ss{M_n}$ сходится
	\item Подпоследовательность: пусть $\ss{M_n} \in \s R^m$, выберем $\ss{K_n} \in \s N, \all n: k_n \geq n \land k_{n+1} > k_n, \all n$. Тогда подпосл. - это $M_{k_n}$
	\item Лемма: Если $\ss{M_n} \to A \implies \all K_n: \ss{M_{K_n}} \to A$. Доказательство:
	\ntab $\all \eps > 0 \e N \in \s N, \all n > N : \rho(M_n, A) < \eps;\; K_n > n > N \implies \rho(M_{K_n}, A) < \eps$
	\item ТЕОРЕМА Больцано-Вейерштрасса: Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Доказательство:
	\ntab По лемме о коорд. огран-сти $\all i \in \overline{1, m} \ss{\overset n x_i} - $ огр. 
	\ntab Выберем из $\ss{\overset n x_1}$ сходящуюся $\ss{\overset {k^1_n} x_{1}} \to a_1$. 
	\ntab Рассмотрим $\ss{M_{k_n^1}} \subs \ss{M_n}, M_{k_n^1} = (\overset {k^1_n}x_1, \dots, \overset{k^1_n} x_m)$ - ограничена, сходится к $A (a_1, \dots, a_m)$
	\ntab выделим $\ss{\overset {k^2_n} x_{1}} \subs \ss{\overset {k^1_n} x_{1}} \to a_1$
	\ntab Рассмотрим $\ss{M_{k^2_n}} \to A$, через $m$ итерация $\ss{M_{K^m_n}} \to A(a_1, \dots, A_m)$
	\ntab По лемме о покоординатной сходимости: $\ss{M_{k^m_n}} \to A$
\end{itemize}

\section*{\$ 3. Понятие ФНП}

Определения: \begin{itemize}\setlength\itemsep{0pt}
	\item Область в $\s R^m$ - всякое открытое связное множество
	\item Если каждой точке в множестве $\ss{M} \subs \s R^m$ поставлено в соответствие число $u \in \s R^1$, то на множестве $\ss{M}$ задана функция $u: \s R^m \to \s R^1 = f(M)$
	\item Предел ФНП: пусть $f(M)$ опр. в области $\c D$, $A$ - пред. точка $\c D$.
	\ntab по Коши: $(b = \lim_{M\to A}f(M)) \ioi (\all \eps > 0 \e \delta > 0, \all M \in \c D, \rho(M, A) < \delta: |f(M) - b| < \eps)$
	\ntab по Гейне: $(b = \lim_{N\to A}f(M)) \ioi (\all \ss{M_n} \subs \c D, \all n\, M_n \neq A, \ss{M_n} \to A : \ss{f(M_n)} \to b)$
	\item  Теорема: определения предела ФНП по Коши и по Гейне эквивалентны. Доказательство аналогично случаю функции 1 переменной. \\
	Пример 1: $U^I(M) : \s R^2 \to \s R^1$ - на осях равна нулю, везде кроме этого равна единице. \ntab
	$\system{
		&\ss{M^1_n} = \ss{(\frac 1 n,  0)} \to 0 \\
		&\ss{M^2_n} = \ss{(\frac 1 n,  \frac 1 n)} \to 1 \\
	}$ - предела не существует \\
	$U^{II}(M): $ не существует на осях, везде равна единице - предел существует (тоже по гейне)
	\\
	Пример 2: Докажем, что Если $(x+y)\sin\frac 1 x \sin\frac 1 y = 0, $ то $M(x, y) \to O(0, 0)$
	\ntab $\all \eps > 0 \e \delta \, \all M \in \s R^2\ss{ox, oy}, 0 < \rho(M, 0) < \delta: \wrapm{x+y}\wrapm{\sin\frac 1 x}\wrapm{\sin\frac 1 y} < \eps
	\ntab 0 < \rho (M, )) = \sqrt{x^2 + y^2} < \delta \implies |x| < \delta, |y| < \delta, \wrapm{x+y}\wrapm{\sin\frac 1 x}\wrapm{\sin\frac 1 y} < |x+y| < |x| + |y| < 2\delta \implies \delta = \frac \eps 2$
	\item Определение: $U: \s R^m \to \s R^1 = f(M)$ удовлетворяет Критерию коши в точке $M_0$, если \ntab
	$\all \eps > 0 \e \delta > 0, \all M_1, M_2 \in \exclreg \delta {M_0} : (\rho(M_1, M_0) < \delta \land \rho(M_2, M_0) < \delta \implies |f(M_1) - f(M_2)| < \eps)$ \ntab
	ЭТО НАДО ПЕРЕФОРМУЛИРОВАТЬ, ПОТОМУ ЧТО ЛЕВАШОВА ЗАПУТАЛАСЬ. 
	\item Теорема о критерии Коши для функций: 
	\ntab Чтобы существовал предел $u$ в точке $M_0$, она должна удовлетворять критерию Коши в этой точке
	\item Определение: $f(M)$ бесконечно малая (БМ) в точке $A$, если $\lim_{M\to A}f(M) = 0$
	\item Определение: Пусть $f(M), g(M)$ БМ в точке $A$, тогда $f(M) = o(g(M))$, если $\lim_{M\to A}\frac{f(M)}{g(M)} = 0$
\end{itemize}
\section*{Лекция 3 (2025-02-20)}
\section*{Лекция 3}

\hspace{5mm}теоремы o БМ:\\
Если $f(M), g(M)$ определены в $\exclreg{}{M_0}, f(M)\to 0, g(M) \to 0, \rho(M, M_0) \to 0$, то $\ss{f(M) \pm g(M)} \to 0$ 
\\
Если $f(M), g(M)$ определены в $\exclreg{}{M_0}, f(M) \to 0, \rho(M, M_0) \to 0, g(M)$ огр., То $f(M)\cdot G(M) \to 0$
\\
Если $f(M) \to 0$ при $\rho(M, M_0) \to 0$, то $\frac 1 {f(M)} \to \infty$

"Очень Важная Лемма": \\
Если $\lim_{M\to M_0} f(M) = b$, то $f(M) = b + \alpha(\rho(M, M_0))$, где $\alpha \to 0$ при $\rho(M, M_0) \to 0$

Док-во: \\
Взять определение предела, написать, что $\alpha(\rho) = |f(M) - \beta|$, по сути гг

Лемма, обратная к "Очень Важной Лемме":\\
Если $f(M)$ представима в виде $f(M) = b + \alpha(\rho(M, M_0))$, где $\alpha \to 0$, тогда $\lim_{M \to M_0}f(M) = b$

Теоремы об арифметических операциях: \\
Пусть $\dst f(M), g(M)$ определены в $\dst \exclreg{}{M_0}, \e \lim_{M \to M_0}f(M) =: a, \lim_{M \to M_0} =: b$. тогда
\mditem {
	\item $\dst \e \lim_{M \to M_0} f(M) \pm g(M) = a \pm b$
	\item $\dst \e \lim_{M \to M_0} f(M) \cdot g(M) = a \cdot b$
	\item И если $B\neq0$, то $\dst \e \lim_{M \to M_0}\frac{f(M)}{g(M)} = \frac A B$
}

Примеры вычисления пределов:\\
$\dst \lim_{\ss{x\to 0, y \to 2, z \to 3}} \frac{\sin{xyz}}x = \lim_{\ss{t \to 0, y \to 2, z \to 3}}yz\frac{\sin t}t = 6$

иногда удобно перейти к полярным координатам: \\
$\dst \lim_{x\to 0, y \to 0} \frac{xy}{x^2+y^2} = \wraps{x = \rho\cos\ph, y = \rho\sin\ph} = \lim_{\rho \to 0}\frac{\rho^2\sin\ph\cos\ph}{\rho^2} = \frac 1 2 \sin 2\ph$, значит, предел $\not \e$

\section*{\$ 4. Непрерывность ФНП.}
Определение: \\
Пусть $f(M)$ определена на $\s{M}$, $M_0$ - пред. точка $\s{M}$ \\
Тогда $f(M)$ непрерывна в $M_0$, если $\lim_{M \to M_0} f(M) = f(M_0)$

(по Коши)
$\all \eps >0 \e \delta > 0, \underset{=\sqrt{\sum_{i=1}^m{(M_i-{M_0}_i)^2}}}{\rho(M, M_0)} < \delta : |f(M) - f(M_0)| < \eps$ \\
Пусть $\Delta x_i := x_i - \overset \circ x_i$, Тогда $M_0(\overset \circ x_1, \dots, \overset \circ x_m), M(x_1 + \Delta x_1, \dots, x_m + \delta x_m)$ \\
По лемме о покоординатной сходимости: $M \to M_0 \ioi \all i = \overline{1, m}\; \Delta x_i \to 0 \ioi \rho(M, M_0) \to 0$ \\
$f(M) $ непр $\overset{\text{def}}\ioi M \to M_0 \implies f(M) \to f(M_0)$; \\
$\D f = f(M) - f(M_0) \to 0$, если $\D x_i \to 0 (\all i \in \overline{1, m})$ - разностная форма определения непрерывности!

Определение: $\D_if := f(\overset\circ x_1, \dots, \ocirc {x_{i-1}}, \ocirc {x_i} + \D x_i, \ocirc{x_{i+1}}, \dots, \ocirc {x_m}) -  
f(\overset\circ x_1, \dots, \ocirc {x_{i-1}}, \ocirc {x_i}, \ocirc{x_{i+1}}, \dots, \ocirc {x_m})$ - приращение вдольь координаты $x_i$

Определение: $f(x_1, \dots, x_m)$ непрерывна по координате $x_i$, если $\D_if \to 0$ при $\D x_i \to 0$

Лемма: Если $f(x_1, \dots, x_m)$ непр. в $M_0(\ocirc x_1, \dots, \ocirc x_m)$, то она непрерывна в этой точке по каждой координате 
(Это непосредственное следствие определения непрерывности и разностной формы).

Примечание: Обратное неверно! Непрерывность по каждой координате $\lnot \implies$ непрерывность в точке 
$\wrapb{f(x, y) = \system{&\frac{xy}{x^2+y^2}, x^2+y^2 \neq 0 \\ &0, x^2+y^2 = 0} \text{т.к. предел в точке не сущуствеует}}$

Для непрерывнфх функций имеют место теоремы: \mditem{ 
	\item об арифметических операциях с функциями
	\item О сохранении знака непрерывной функции: \\
		$f(M)\lessgtr 0\quad(M \in \reg{}{M_0})$. Тогда $\e \reg 1 {M_0} \subseteq \reg{}{M_0}, 
		\all M \in \Omega_1: f(M) \lessgtr 0$
	\item О прохождении функции через любое промежуточное значение (на связном мн-ве $\c D$): \\
		$M_1, M_2 \in \c D, u_1 := f(M_1), u_2 := f(M_2)\quad \all u_0 \in [u_1, u_2]$ на $\all$ кривой, соед. $M_1, M_2$, $\e A: f(A) = u_0$
	Доказательство: $\c D$ - связное, кривая $x_1 = \ph_1(t), \dots, x_m = \ph_m(t)$, где $\ph_i(t)$ непр. $\all i \in \overline{1, m}, t \in [t_1, t_2]$\\
	$u_1 = M_1(\ph_1(t_1), \dots, \ph_m(t_1)), u_2 = \text{[аналогично]}$. $f(\ph_1(t), \dots, \ph_m(t))$ - непрерывна, тогда $\e t_a \in [t_1, t_2]: f(\ph_1(t_a), \dots, \ph_m(t_a)) = u_0$
	по теореме для одномерного случая.
	\item Непрерывность сложной функции: есть $m$ функций $k$ переменных: $x_1 = \ph_1(t_1, \dots, t_k), \dots, x_m = \ph_m(t_1, \dots, t_k)$,
	Они определены в $\reg{}A$, непрерывны в $A(a_1, \dots, a_k)$. Пусть $u = f(M) = f(x_1, \dots, x_m)$ определены в $\reg{}B 
	\wraps{B(\ph_1(A), \dots, \ph_m(A))}$ и непрерывны в $B$. Тогда $F(t_1, \dots, t_k) = f(\ph_1(t_1, \dots, t_k), \dots, \ph_2(t_1, \dots, t_k))$
	непрерывны в точке $A$.

	Доказательство: $f(x, y), x = \ph(u, v), y = \psi(u, v)$ \\
	По условию $\all \eps > 0 \e \delta > 0, \all (x, y): \sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2} < \delta :
		|f(x, y) - f(x_0, y_0)| < \eps$.\\
	По условию $\all \delta > 0 \e \gamma, \all (u, v) \sqrt{(u-u_0)^2 + (v-v_0)^2 } < \gamma:\ntab
		|x-x_0| = |\ph(u, v) - \ph(u_0, v_0)| < \frac \delta {\sqrt 2} \land |y-y_0| = |\psi(u, v) - \psi(u_0, v_0)| < \frac \delta {\sqrt 2} $ \\
	Тогда $\rho((x, y), (x_0, y_0)) < \delta \implies |f(x, y) - f(x_0, y_0)| = |f(\ph(u, v), \psi(u, v)) - f(\ph(u_0, v_0), \psi(u_0, v_0))| < \eps$ \\
	Запишем определение из того, что написано выше: \ntab
		$\all \eps > 0 \e \gamma, \all u, v \sqrt{(u-u_0)^2 + (v-v_0)^2} : |f(\ph(u, v), \psi(u, v)) - f(\ph(u_0, v_0), \psi(u_0, v_0))| < \eps$ \\
	Что является определением непрерывности сложной функции
}
\section*{Лекция 4 (2025-02-25)}

Теорема Больцано-Вейерштрасса: Из любой ограниченной $\ss{M_n}$ можно 
выделить сходящуюся \\подпоследовательность $\ss{M_{K_n}}$

\subsection*{\$ 4. (продолжение)}

Функция $f(M)$ \textbf{ограниченна} на $\s M$, если $\e R, \all M \in \s M : |f(M)| < R$
\\
\textbf{Первая теорема Вейерштрасса}: непрерывная на замкнутом ограниченном множестве функция \ntab
ограничена.

Док-во: т.к. $f(M)$ непрерывна, то по Гейне $\all A \in \s M, \all \ss{M_n} \to A, 
\ntab\all n\; (M_n \neq A) \land (M_n \in \ss{M}) : \ss{f(M_n)} \to f(A)$

Предположим, что $f(M)$ - неограничена. $\all n \in \s N \e M_n \in \s M : |f(M_n)| > n$

Составим последовательность $\ss{M_n} \subs \s M \subs K_R(0) \implies \ss{M_n}$ ограничена

Можно выделить $\ss{M_{k_n}} \to A \in \s M$ (т.к. замкнутое множество)

Тогда $\ss{f(M)} \to f(A)$ - это противоречит $\all n_k f(M_{n_k}) > n_k \geq n$
\\
Пример: $u = \system{&\frac{y+1}{x-1}, x^2+y^2=1, x \neq 1\\&0, x=1, y=0}$ не ограничена на множестве $x^2+y^2=1$

Рассмотрим $M(x = 1 + \underbrace{\D x}_{<0}, y = \underbrace{\sqrt{1 - (1+\D x)^2)}}_{= 0 + \D y}$

$\dst \lim_{\D x \to 0}\frac{ 0 + \D y + 1}{1 + \Dx -1} = \lim_{\Dx \to 0} \frac{\sqrt{-\Dx^2-2\Dx} + 1}{\Dx} \overset{\wraps{1/\Dx \to \infty}}= \infty$
\\
\textbf{Определение}:
$\c U$ - точная верхняя грань функции $u = f(M)$ на $\s M$, если $\system{
	&\all M \in \s M : f(M) \leq \c U \\
	&\all \eps > 0 \e \tilde M \in \s M : f(\tilde M) \geq \c U_\eps\\
}$
\\
\textbf{Вторая теорема Вейерштрасса}: непрерывная на замкнутом ограниченном множестве функция достигает своих 
точной верхней и нижней грани

Доказательство: аналогично для функции 1 переменной
\\
\textbf{Равномерная непрерывность}: $f(M)$ определена в области $\c D$, \ntab
$\all \eps > 0 \e \delta > 0, \all M', M'' \in \c D, \rho(M', M'') < \delta : |f(M') - f(M'')| < \eps$

Пример 1: $u = f(x, y) = x + y, (x, y) \in \s R^2$; докажем, что $u$ - равномерно непрерывная\ntab
докажем Р.Н.: $M'(x', y'); M''(x'', y'') : \sqrt{(x'-x'')^2 + (y' - y'')^2} < \delta;\ntab 
\text{Берём }\all \eps, \delta = \frac \eps {69}: |f(M') - f(M'')| = |x'-x'' + y'-y''| \leq |x'-x''| + |y'-y''| < \frac \eps {69} < \eps$

Пример 2: $u = \frac{\sqrt{x^4+y^4}}{x^2+y^2}, 0 < x^2+y^2 \leq 1$; Докажем, что $u(x, y)$ НЕ равномерно непрерывная на $\c D = \ss{(x, y) \in \s R^2 | 0 < x^2+y^2 \leq 1}$.
\ntab доказать: $\e \eps > 0, \all \delta > 0, \e M', M'' \in \c D, \rho(M', M'') < \delta : |f(M') - f(M")| > \eps$. \ntab 
выберем ${M'(\delta, \delta); M"(\delta, \frac \delta 2)}; \rho = \frac \delta 2$. Тогда $|f(M') - f(M")| = \wrapm{
\frac{\sqrt 2 \delta^2}{2 \delta^2} - \frac{\delta^2\sqrt{1 + \frac 1 {16}}}{\delta^2 \cdot \frac 5 4}
} = \frac{\sqrt{17}}{5} - \frac 1 {\sqrt{2}} > \frac 1 {10} = \eps$
\\
\textbf{Теорема Кантора}: непрерывная на замкнутом ограниченном множестве функция равномерно непрерывная на нём.

Доказывается так же, как в случае для 1 переменной

\section*{\$ 5: Дифференцируемость ФНП}

Пусть $f(M)$ заданa в области $\c D$\\
\textbf{Определение: Полное приращение} $u = f(M)$ в точке $M(x_1, \dots, x_m)$\ntab
$\D u = f(x_1 + \Dx_1, \dots, x_m + \Dx_m) - f(x_1, \dots, x_m) \all M'(x_1+\Dx_1, \dots, x_m+\Dx_m)$
\\
\textbf{Частное приращение}: $\underbrace{\D_i u = f(x_1, \dots, x_{i-1}, x_i + \Dx_i, x_{i+1}, \dots, x_m) - f(x_1, \dots, x_i, \dots, x_m)}_{\text{приращение функции 1 переменной } x_i}$
\\
Если существует предел $\dst\lim_{\Dx_i \to 0}\frac{\Dx_i u}{\Dx_i}$, то он называется \textbf{частной производной} функции $u = f(M)$ по переменной $x_i$.
Обозначается: $\frac{\d u}{\d x_i}; \frac{\d f}{\d x_i}; u_{x_i}'; f_{x_i}'$

[Чтобы вычислить частную производную по аргументу $x_i$, надо все остальные аргументы считать константами (параметрами) и вычислять производную как у функции одной переменной $x_i$]

Пример: $u = x^y; \system{&u_x' = yx^{y-1}\\&u_y' = \ln(x) x^y\\}$

Пусть $f(M)$ определена в области $\c D$\\
\textbf{Определение: Дифференцируемая} $u = f(M)$ в точке $M$, если полное приращение в $M$ можно представить, как \ntab
$\D u = A_1 \Dx_1 + A_2 \Dx_2 + \dots + A_m\Dx_m + \alpha_1(\Dx_1, \dots, \Dx_m)\Dx_1 + \dots + \alpha_m(\Dx_1, \dots, \Dx_m)\Dx_m$, где
\ntab $\dst \lim_{\Dx_1, \dots \Dx_m \to 0} \alpha_i(\Dx_1, \dots, \Dx_m) = 0$
\\
\textbf{Второе определение}: $\D u = A_1\Dx_1 + \dots + A_m\Dx_m + \bar o(\rho)$, где $\dst\rho = \sqrt{\sum_{i=1}^m(\Dx_i)^2}$
\\
\textbf{Лемма: Определения равносильны}

доказательство: 1 $\implies$ 2: Докажем, что $\dst\sum_{i=1}^m\alpha_i(\dots)\Dx_i = \bar o(\rho): \lim_{\Dx_1, \dots, \Dx_m \to 0}\frac{\sum_i\alpha_i\cdot \Dx_i}{\rho}
= \\ = \wraps{\wrapm{\frac{\Dx_i}{\rho}} \leq 1 - \text{ограничена}} 0$
\ntab 2 $\implies$ 1: Обозначим $\bar o(\rho) = h(\Dx_1, \dots, \Dx_m).$\\
$\dst\bar o(\rho) = h = \frac h \rho \frac{\rho^2}\rho = \frac h \rho \frac{(\Dx_1)^2 + \dots + (\Dx_m)^2}{\rho} = \underbrace{\frac h \rho \frac {\Dx_1}\rho}_{=\alpha_1(\dots)} \Dx_1 + \underbrace{\dots}_{\alpha_2, \dots, \alpha_{m-1}} + \underbrace{\frac h \rho \frac{\Dx_m}\rho}_{\alpha_m(\dots)} \Dx_m \\
\lim_{\Dx_i \to 0} \alpha_1(\dots) = 0 $ Т.к. $h = o(\rho)$. Доопределяя $\alpha(0, \dots, 0) = 0$, доказано
\\
\textbf{Теорема о необходимом условии дифференцируемости}: Если $u = f(M)$ дифф-ма в $M$, то у неё $\e$ частные производные по каждому аргументу в этой точке

Доказательство: Дано: $\D u = A_1\Dx_1 + \dots + A_m\Dx_m + \bar o(\rho)$. \\
Пусть $\Dx_1 = \dots = \Dx_{i-1} = \Dx_{i+1} = \dots = \Dx_m = 0, \Dx_i \neq 0$. Тогда $\D u = A_i \Dx_i + \bar o(|\Dx_i|) = \\
= f(\dots, x_i + \Dx_i, \dots) - f(\dots) = \D_i u \\
\dst u_{x_i}' = \lim_{\Dx_i \to 0} \frac{\D_i u}{\Dx_i} = \lim_{\Dx_i \to 0}\frac{A_i\Dx_i + o(|\Dx_i|)}{\Dx_i} = A_i$
\\
\textbf{Следствие 1.} $A_i = \frac{\d u}{\d x_i}$
\\
\textbf{Следствие 2.} Если $\not \e $ частная производная по хотя бы 1 аргументу, тогда $f$ не дифференцируема

Пример: $u = \sqrt{x^2+y^2}$; исследуем на дифференцируемость в $(0, 0)$
\ntab [замечание: можно вычислить $u_x', u_y'$ в $\exclreg{}{0, 0}$, но нельзя в $(0, 0)$] \\
По определению: $u_x = \dst \lim_{\Dx_1 \to 0, x, y = 0}\frac{\D_x u}{\Dx} = \dots = \lim_{\Dx \to 0} \frac{|\Dx|}{\Dx} = \system{&1, \Dx > 0\\&-1, \Dx < 0\\}$, Предел не существует (левый и правый пределы не равны),
Поэтому $u$ не дифференцируема в $(0, 0)$

\section*{Лекция 5 (2025-03-04)}

\textbf{Теорема}: Достаточное условие дифференцируемости функции \\
Пусть $u = f(M)$ опр. в $\Omega(M_0)$. Докажем для $M(x, y), M_0(x_0, y_0)$ (2-мерный случай) \\
Пусть $\e u_x'(M), u_y'(M), M \in \Omega_1(M_0)$, они же непрерывны в $M_0$, тогда $u = f(M)$ дифф-ма 
В точке $M_0$

Доказательство: Рассмотрим $\D u(M_0) = f(M) - f(M_0) = f(M) - f(M') + f(M') - f(M_0)\\
f(M) - f(M') = f(x_0 + \Dx, y_0 + \Dy) - f(x_0, y_0 + \Dy)$ - считаем приращением функции $x$,где $y_0 + \Dy$ - параметр.
По теореме о формуле Лагранжа $\wrap {[[}{]]}{f(x_0 + \Dx) - f(x_0) = f'(x_0 + \theta \Dx)\Dx, \theta \in [0, 1]}$ \\
$\dst f_x'(x_0 + \theta\Dx, y_0 + \Dy)\Dx. f_x'$ непр. в $\dst M_0 \implies \lim_{\Dx, \Dy \to 0}f_x'(x_0 + \theta\Dx, y_0 + \Dy) = f_x'(x_0, y_0)$\\
По "очень важной лемме": $f_x'(x + \theta\Dx, y_0 + \Dy) = f_x'(x_0, y_0) + \alpha_1(\Dx, \Dy), \text{ где } \alpha \to 0$\\
Окончательно: $f(M) - f(M') = f_x'(x_0, y_0)\Dx + \alpha_1(\Dx, \Dy)\Dx$\\
Рассмотрим $f(M') - f(M_0) = f(x_0, y_0 + \Dy) - f(X_0, y_0) \overset{\text{лагранж}}= f_y'(x_0, y_0 + \theta\Dy)\Dy \overset{\text{оч важ лемм}}=\\=
f_y'(x_0, y_0)\Dy + \alpha(\Dx, \Dy)\Dy$

Тогда: $\D u = f_x'(x_0, y_0)\Dx + f_y'(x_0, y_0)\Dy + \alpha_1(\Dx, \Dy)\Dx + \alpha_2(\Dx, \Dy)\Dy$

\textit{Пример 1}: $u(x, y) = (x^2+y^2)\sin\frac1{\sqrt{x^2+y^2}}$, доопред. $u(0, 0) = 0$
\\$\dst u_x'(0, 0) = \lim_{\Dx \to 0}\frac{\D_xu(0, 0)}\Dx = \lim_{\Dx\to0}\frac{(\Dx)^2\sin\frac 1 {\wrapm{\Dx}}}{\Dx} = 0;\quad u_y'(0, 0) = 0$\\
В окресности $\exclreg{}{0, 0}$ работает таблица производных: $\dst u_x' = 2x\sin\frac 1 {\sqrt{x^2+y^2}} - \frac x {\sqrt{x^2 + y^2}}\cos\frac 1 {\sqrt{x^2+y^2}}$\\
В полярных координатах: $\dst\lim_{\rho \to 0, \ph \in [0, 2\pi]}\wrapb{2\rho\cos\ph\sin\frac1\rho-\frac{\rho\cos\ph}\rho\cos\frac1\rho} \not \e$, значит, разрывна - 
достаточное условие не выполнено

Проверим по определению: $\dst \lim_{\Dx, \Dy \to 0}\frac{u(\Dx, \Dy) - 0 - 0\Dx - 0\Dy}{\sqrt{\Dx^2 + \Dy^2}} = 0$, значит, дифференцируема

\textit{Пример 2}: $\system{&1, xy\neq0\\&0,xy=0\\}$
\hspace{1cm}Разрывна $\implies$ недифференцируема\\
$\dst u_x'(0, 0) = \lim_{\Dx\to0}\frac{\D_xu}{\Dx} = \lim_{\Dx\to0}\frac{u(\Dx, 0) - u(0, 0)}\Dx = 0 = u_y'(0, 0)\\
u_x'(0, y_0 \neq 0) = \lim_{\Dx\to0} \frac{u(\Dx, y_0) - u(0, 0)}{\Dx} \not \e \\
u_x', u_y'(x_0 \neq 0, y_0 \neq 0) = 0$ (по работающей таблице производных) \\
Получилось, что $u_x', u_y'$ непрерывны в области определения

\textbf{Теорема о дифф. сложной функции}: Пусть $x \ph(u, v), y = \psi(u, v)$ дифф в $(u_0, v_0),\;x_0 = \ph(u_0, v_0), y_0 = \psi(u_0, v_0)$, пусть 
$f(x, y)$ дифф в точке $(x_0, y_0)$, тогда $F(u, v) = f(\ph(u, v), \psi(u, v))$ дифф. \\
Док-во: $\system {
	&\Dx(u_0, v_0) = \ph_u'(u_0, v_0)\D u + \ph_v'(u_0, v_0)\D v + \alpha_1(\D u, \D v)\D u + \alpha_2(\D u, \D v) \D v\\
	&\Dy(u_0, v_0) = \psi_u'(u_0, v_0)\D u + \psi_v'(u_0, v_0)\D v + \beta_1(\D u, \D v)\D u + \beta_2 (\D u, \D v)\D v\\
}, \system{\alpha_1, \alpha_2 - \text{БМ}\\\beta_1, \beta_2 - \text{БМ}} \\
\D z(x_0, y_0) = f_x'(x_0, y_0)\underbrace\Dx_* + f_y'(x_0, y_0)\underbrace\Dy_* + \gamma_1(\Dx, \Dy)\Dx + \gamma_2(\Dx, \Dy)\Dy $
\\ Подставим $*: \D z(x_0, y_0) = \\
f_x'(x_0, y_0)\ph_u'(u_0, v_0)\D u + f_y'(x_0, y_0)\psi_u'(u_0, v_0)\D u + 
f_x'(x_0, y_0)\ph_v'(u_0, v_0)\D v + f_y'(x_0, y_0)\psi_v'(u_0, v_0)\D v + \\
f_x'(x_0, y_0)\alpha_1(\D u, \D v)\D u + f_y'(x_0, y_0)\beta_1'(\D u, \D v)\D u + 
\gamma_1(\Dx, \Dy)\ph_u'(u_0, v_0)\D u + \gamma_1(\Dx, \Dy)\alpha_1(\D u, \D v)\D u + 
\gamma_2(\Dx, \Dy)\psi_u'(u_0, v_0)\D u + \gamma_2(\Dx, \Dy)\beta_1(\D u, \D v)\D u + 
f_x'(x_0, y_0)\alpha_2(\D u, \D v)\D v + f_y'(x_0, y_0)\beta_2'(\D u, \D v)\D v + 
\gamma_1(\Dx, \Dy)\ph_v'(u_0, v_0)\D v + \gamma_1(\Dx, \Dy)\alpha_2(\D u, \D v)\D v + 
\gamma_2(\Dx, \Dy)\psi_v'(u_0, v_0)\D v + \gamma_2(\Dx, \Dy)\beta_2(\D u, \D v)\D v
$\\
Т.к. $\D u, \D v \to 0 : \D x, \D y \to 0, \gamma_{1,2} \to 0, $ все функции дифференцируемы $\implies$ непрерывны $\implies$ ограничены:
$F(u, v) = z(\ph(u, v), \psi(u, v));\quad 
\system {
	&F_u'(u_0, v_0) = f_x'\ph_u'(u_0, v_0) + f_y'\psi_u'(u_0, v_0)\\
	&F_v'(u_0, v_0) = f_x'\ph_v'(u_0, v_0) + f_y'\psi_v'(u_0, v_0)\\
}$\\
Общая формула: $\dst f(\ph_1(t_1, \dots), \dots): 
\frac{\d f}{\d t_k} = \sum_{i=1}^m\frac{\d f}{\d \ph_i}\frac{\d \ph_i}{\d t_k}$

\section*{Лекция 6 (2025-03-06)}

Напомним теорему о производной сложной функции ФНП: $F = f(\ph(u, v), \psi(u, v)). F'_u = f_x'\ph_u' + f_y'\psi_u'$

\section{Дифференциал ФНП}
Пусть $u = f(M)$ определена в $\Omega(M_0), M_0(\circ x_1, \dots, \circ x_m), M(\circ x_1 + \Dx_1, \dots, \circ x_m + \Dx_m)$. \\
Если $u$ дифференцируема в $M_0 \overset{def}\ioi \D u = u(M) - u(M_0) = \underbrace{A_1\Dx_1 + \dots + A_m\Dx_m}_{\text{дифференциал}} + o(\rho(M, M_0))$

\textbf{Дифференциал (первый)} - линейная часть приращения функции

Будем использовать обозначения $A_i = \frac{\d u}{\d x_i}, dx_i \equiv \D x_i$
\\
Дифференциал обозначается \textit{так}: $\dst \wrap . | {du}_{M_0} = \frac{\d u}{\d x_1}(M_0)dx_1 + \dots + \frac{\d u}{\d x_m}(M_0)dx_m $
Дифференциал является линейной функцией $m$ переменных $\d x_i, i = \overline{1, m}$
\\{}

\textbf{Инвариантность формы первого дифференциала}:\\
На примере, рассмотрим функцию $F = \underbrace{f(\ph(u, v), \psi(u, v))}_{dx = \ph_u'du + \ph_v'dv, dy = \psi_u'du + \psi_v'dv}:\\
dF = F_udu + F_vdv = (f_x'\ph_u' + f_y'\psi_u')du + (f_x'\ph_v' + f_y' \psi_v')dv 
= f_x'(\ph_u'du + \ph_v'dv) + f_y'(\psi_u'du + \psi_v'dv) = f_x'dx + f_y'dy$

Свойство инвариантности формулы первого дифференциала состоит в том, что мы можем записать функцию сложной переменной
через $dx, dy$, через $du, dv$, и это будет одно и то же

\subsection{Теоремы об арифметических операциях дифференцируемых функций}
Пусть $f(M), g(M)$ определены и дифференцируемы в $\Omega(M_0)$. тогда:\\
$f(M) \underset{*}\pm g(M)$ дифференцируемы, и если $\frac 1 {g(M)}$ дифференцируема, то $\frac{f(M)}{g(M)}$ тоже дифференцируема

\section{\$ 6. Геометрический смысл дифференцируемости}

\image{m-0306}
\textbf{Теорема о касательной плоскости}\\
$S$ - поверхность, $\pi$ - плоскость $\e N_0(x_0, y_0, z_S(x_0, y_0)) \in S \cap \pi, N_1 \in \pi, NN_1 \perp \pi$

Плоскость $\pi$ называется касательной плоскостью к поверхности $S$, если $\dst \lim_{N \to N_0, N \in S}\frac{\rho(N, N_1)}{\rho(N, N_0)} = 0$

\textbf{Достаточное условие $\e$ касательной плоскости}\\
Если функция $u = f(x, y)$ дифференцируема в точке $M_0$, то у поверхности $z_S = f(x, y) \e$ касательная плоскость в точке $N_0(x_0, y_0, f(x_0, y_0))$, 
которая имеет уравнение $z - f(x_0, y_0) = \frac{\d f}{\d x}(x_0, y_0)(x-x_0) + \at {\frac{\d f}{\d y}}{(x_0, y_0)}(y-y_0)$
\\
Доказательство: $u(M) - u(M_0) = \frac{\d f}{\d x}(x_0, y_0)\underbrace{(x-x_0)}_{=\D x} + \frac{\d f}{\d y}(x_0, y_0)\underbrace{(y-y_0)}_{=\Dy} + o(\rho) =\\=
u(M) - \wrapc{\underbrace{f(x_0, y_0) + \frac{\d f}{\d x}(x_0, y_0)(x-x_0) + \frac{\d f}{\d y}(x_0, y_0)(y-y_0)}_{z_\pi(M)}} = o(\rho)
\\
z_S(M) - z_\pi(M_0) = o(\rho(M, M_0)) = NN_0\hspace{1cm}N_0N > M_0M;\\
 NN_1 < NN_2 = MM_0; \dst\lim_{N\to N_0}\frac{NN_1}{NN_0} = \wraps{0 < \frac{NN_1}{NN_0} = \frac{\rho(N,N_1)}{\rho(N_1,N_0)} < \frac{o(\rho(M_0, M))}{\rho(M_0, M)} \to 0 (N \to N_0, M \to M_0)} =\\= 0$

\section{Производная по направлению и градиент}

\image{m-0306-2}
\textbf{Производная по направлению} $\v l: \dst \lim_{M\to M_0 \in L}\frac{u(M) - u(M_0)}{M_0M}, M_0M = \system{&|M_0M|, M_0M \collin \v l\\&-|M_0M|, M_0M \collin -\v l\\}$

Обозначается: $\dst \frac{\d u}{\d l}(M_0)$

Рассмотрим: $M(x, y), M_0(x_0, y_0), u(M) = f\wrapb {\vsystem . {x = x_0 + t\cos\alpha\\y = y_0 + t\sin\alpha}} = \ph(t) \implies \frac{\d u}{\d l}(M_0) =
\dst \lim_{t \to 0}\frac{\ph(t) - \ph(0)}t$

Пример: $u = \sqrt[3]{x^2y}, l = \ss{\cos \alpha, \sin \alpha}, \frac{\d u}{\d l}(0, 0) = ? \\
$

\section*{Лекция 7 (2025-03-11)}
\subsection{Теоремы об арифметических операциях}
Если $u = f(M), h = f(M) $ опр. $\in \Omega(M) \land$ дифф. в $ M$, тогда $u \pm v, uv$ дифф. и верны равенства:\\
$d(u\pm v) = du \pm dv\hspace{1cm} d(uv) = udv+vdu$\\
Если $\dst v \neq 0 \in \Omega(M): d\frac u v = \frac{vdu-udv}{v^2}$

Доказательство 1: \\
$\dst \D u(M) = \sum_{i=1}^m\frac{\d u}{\d x_i}\Dx_i + \bar o(\rho);\quad \D v = \sum_{i=1}^m\frac{\d v}{\d x_i}\Dx_i + \bar o(\rho)\\
\D u + \D v = \sum_{i=1}^m\wrapb{\frac{\d u}{\d x_i} + \frac{\d v}{\d {x_i}}}\Dx_i =
 f(x_1 + \Dx_1, \dots) + g(x_1 + \Dx_1, \dots) - f(\dots) - g(\dots) = \D(u+v) = \sum_{i=1}^m \frac{\d(u+v)}{\d x_i}\Dx_i + \bar o(\rho)$ - 
значит, дифференцируемая. Пользуясь линейностью оператора дифференцирования по 1 переменной, разбиваем на 2 суммы: 
$\dst \sum_{i=1}^m\frac{\d u}{\d x_i}\Dx_i + \sum_{i=1}^m\frac{\d v}{\d x_i}\Dx_i + \bar o(\rho) = du + dv$

Докажем 2 и 3:
$w := u(\dots)v(\dots)$ - сложная функция, дифференцируемая в $(u(M), v(M))$. По теореме о 
дифференцировании сложной функции и свойству инвариантности 1 дифференциала: \\
$\dst d(uv) = vdu+vdu;\quad d\wrapb{\frac u v} = u d\wrapb{\frac 1 v} + \frac 1 v du = \frac{udv -vdu}{v^2}$

\subsection{Продолжаем параграф 6. Градиент.}
Рассмотрим $u = f(M)$, дифф. в $M_0$.
На прямой $L$ с направлением $\v l\ss{\cos\alpha, \sin\alpha}$

$\dst \frac{\d u}{\d l} = \lim_{t\to 0}\frac{f(x + t\cos\alpha, y + t\sin\alpha)}t = \frac{\d f}{\d t}_{t=0} = f_x'(x_0, y_0)\cos\alpha + f_y'(x_0, y_0)\sin\alpha$

Введём \textbf{Градиент}: $u(M_0) = \ss{f_x'(x_0, y_0), f_y'(x_0, y_0)} = \nabla u(M_0) \implies
\frac{\d u}{\d l}(M_0) = \wrapb{\nabla u(M_0) \cdot \v l}$, где $l$ - \textbf{ЕДИНИЧНЫЙ} вектор, а $u$ \textbf{ДИФФЕРЕНЦИРУЕМА} в точке

Замечание 1: формула верня для любого $\s R^m, m \in \s N$.

Замечание 2: направление градиента совпадает с направлением \textit{максимальной скорости роста} функции.
На этом основаны алгоритмы gradient descent.

Пример 1: $u = x^2+y^2+z^2\quad L= \ss{1,1,1}\quad M_0(1, 2, 3)\quad \frac{\d u}{\d l}(M_0) = ?\\
\nabla u = \ss{2x, 2y, 2z};\quad l=\ss{\frac1 {\sqrt 3}, \frac 1 {\sqrt 3}, \frac 1 {\sqrt 3}};\quad
\frac{\d u}{\d l}(M_0) = \frac 1 {\sqrt 3} (2 + 4 + 6) = 4\sqrt 3
$ 

Пример 2: поле точечного заряда в точке $\dst M_0 (\v r_0);\quad u = l\frac e{\wrapm{\v r - \v r_0}};\quad E = -\nabla u
\\\wrapm{\v r - \v r_0} = \sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 + (z-z_0)^2}, \nabla \wrapb{\frac 1 {\wrapm{\v r - \v r_0}}} =\\=
\wrapc{\frac \d {\d x} \frac 1 {\sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 + (z-z_0)^2}}, \frac \d {\d y} \frac 1 {\sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 + (z-z_0)^2}}, \frac \d {\d z} \frac 1 {\sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 + (z-z_0)^2}}}$

\section{\$ 7. Производные и дифференциалы высшиъ порядков.}
Пусть $u$ дифф. в $\Omega(M), тогда \e u_{x_i}'(M)$. если $u_{x_i}'$ дифф. в $M$, то $\dst \frac{\d u_x'}{\d x_k}$ - вторая частная производная $u$ по $x_i, x_k: \dst \frac {d^2u}{dx_idx_k}Ъ$. 
Если $i \neq k$, то производная смешанная

Сейчас мы записываем примеры, но я этих примеров уже столько нарешался в первом семестре, что тошно...

Пример 2: $u = \system{-xy, |y| > |x|\\xy, |y| \leq |x|}$ - разрывна на прямых $y = \pm x$\\
$u_x': y, -y, y, -y, u_y': x, -x, x, -x$ в разных местах относ. прямых разрыва\\
$\dst u_x'(0, 0) = \lim_{\Dx\to0}\frac{\D_x u(\Dx, 0) - u(0, 0)}\Dx = 0 = u_y'\\
\lim_{x, y \to 0}u_x' = 0 = \lim_{x, y \to 0}u_y'$ - выполнено достаточное условие дифференцируемости в $(0, 0)$
посчитаем вторые частные производные: $\dst \system{
	&u_{xy}''(0, 0) = \lim_{\Dy \to 0}\frac{u_x'(0, \Dy) - u_x'(0, 0)}{\Dy} = -1 \\
	&u_{yx}''(0, 0) = \lim_{\Dx \to 0}\frac{u_x'(\Dx, 0) - u_x'(0, 0)}{\Dy} = 1\\
}$

Во хуетаааа... :000

\section*{Лекция 8 (2025-03-18)}
Tue Mar 18 10:51:08 MSK 2025

\section{\$7. Производные и дифференциалы высших порядков.}

\textbf{Теорема}: Пусть $u = f(x, y)$ имеет частные производные $f_{xy}", f_{yx}"$ в $\Omega(M_0)$ и непрерывны в $M_0$, 
тогда $f_{xy}"(M_0) = f_{yx}"(M_0)$

\image{math-0381-1}
Доказательство: составим $F(h) = f(x_0 + h, y_0 + h) + f(x_0, y_0) - f(x_0, y_0 + h) - f(x_0 + h, y_0)$. 
Введём $\ph(x) = f(x, y_0 + h) - f(x, y_0)$. Тогда $F(h) = \ph(x_0 + h) - \ph(x_0)$. 
Введём $\psi(y) = f(x_0 + h, y) - f(x_0, y)$. Тогда $F(h) = \psi(y_0 + h) - \psi(y_0)$.\quad $\ph, \psi$ дифференцируемы по условию, 
функции одной переменной, по теореме Лагранжа:\\
$\system{
	&F(h) & = & \ph(x_0+h) - \ph(x_0) = \ph_x'(x_0 + \theta_1 h)\cdot h =  \\
	& & = & f_x'(x_0 + \theta_1 h, y_0 + h)h - f_x'(x_0 + \theta_1 h, y_0)h = \\
	& & = & f_{xy}"(x_0+\theta_1h, y_0 + \theta_2h)h^2 = (f_{xy}"(x_0, y_0) + \alpha_1(h))h^2\quad(h \to 0)\\
	&F(h) & = & f_{yx}"(x_0, y_0)h^2 + \alpha_2(h)h^2\\
}\\\implies f_{xy}"(x_0, y_0) + \alpha_1(h) = f_{yx}"(x_0, y_0) + \alpha_2(h) 
\overset{h \to 0}\implies\\\implies f_{xy}"(x_0, y_0) = f_{yx}"(x_0, y_0)$

\textbf{Определение}: Функция называется дважды дифференцируемой, если она дифф. в окресности $M_0$ и все её первые ЧП дифф. в точке

\textbf{Теорема}: если функция дважды дифференцируема в точке, то её смешанные вторые частные производные в этой точке равны

Доказательство: используя переход по Лагранжу в прошлом доказательстве:
$F(h) = \underbrace{\wrapb{f_x'(x_0 + \theta_1 h, y_0 + h) - f_x'(x_0 + \theta_1 h, y_0)}}_{\D f_x} h\\
\system{
	&\D f_x' = f_{xx}"(M_0)\underbrace\Dx_{=0} + f_{xy}"(M_0)\underbrace\Dy_{=h} + \bar o(h)\\
	&\D f_y' = f_{yx}"(M_0)\underbrace\Dx_{=h} + f_{yy}"(M_0)\underbrace\Dy_{=0} + \bar o(h)
}\implies F(h) = \wrapb{f_{xy}"\cdot h + \bar o(h)}h = \wrapb{f_{yx}"\cdot h + \bar o(h)}h \overset{h\to 0}\implies \\ \implies
f_{xy}(M_0) = f_{yx}(M_0)$

\textbf{Определение}: $n$ раз дифф. в точке $M_0$, если она $n-1$ раз дифф-ма в окресности $M_0$ и все её частные производные $n-1$-ого порядка дифференцируемы в точке $M_0$

\textbf{Теорема}: Если $u = f(M) \quad n$ раз дифференцируема в точке $M_0$, то все её смешанные частные производные до $n$-ого порядка не зависят от порядка дифференцирования

\subsection{Дифференциалы высших поряков}
Пусть $u = f(M)$ дважды дифференуируема в $M(x, y) \implies du = f_x'(M)dx = d_y'(M)dy$
\mdenum{
	\item Считаем, что $dx, dy$ - фиксированные константы
	\item Считаем, что $du(x, y)$ - функция переменных $x, y$
	\item Вычислим $d^2u = d(du)$, считая, что $dx, dy$ не меняются
}
$d^2u = d(f_x'(x, y)dx + f_y'(x, y)dy) = (f_{xx}"\delta x + f_{yy}"\delta y)dx + (f_{xy}"\delta x + f_{yx}"\delta y)dy \overset{\delta x = dx}= f_{xx}dx^2 + 2f_{xy}dxdy + d_{yy}dy^2$

\textbf{Определение}: Оператор - правило, по которому каждой функции из некоторого множества ставится в соответсвие другая функция (из того же или другого множества)

\textbf{Операторы}: $\system{
	&\frac{\d}{\d x}: u \to u_x'\\
	&\frac{\d}{\d y}: u \to u_y'\\}\hspace{1cm}\system{
	&d = \frac{\d}{\d x}dx + \frac{\d}{\d y}dy\\
	&d^2 = \frac{\d^2}{\d x^2}dx^2 + \frac{\d^2}{\d y^2}dy^2 + 2 \frac{d^2}{dxdy}dxdy\\
}$

По индукции верно: $\dst \d^n = \wrapb{\sum_{i=0}^m\frac{\d}{\d x_i}dx_i}^n = \wrapb{\frac{\d}{\d x_1}dx_1 + \dots \frac{\d}{\d x_m}dx_m}^n$

\textbf{Второй дифференциал сложной функции}: $f(x(t_1, \dots, t_k), y(t_1, \dots, t_k))\\
df = f_x'dx + d_y'dy, dx = \frac{\d x}{\d t_i}dt^i, dy = \frac{\d y}{\d t_i}dt^i$ (обозначания Энштейна для ЛК)\\
$d^2 f = d(f_x'dx + f_y'dy) = d(f_x')dx + f_x'd^2x + d(f_y')dy + f_y'd^2y = f_{xx}"dx^2 + 2f_{xy}"dxdy + f_{yy}"dy^2 + f_x'd^2x + f_y'd^2y$ - это свойство
\textbf{не инвариантности} формулы второго дифференциала

Заметим, что если $x = \alpha^it_i, y = \beta^it_i$, то формула дифференциала всё-таки сохраняется для любого порядка (т.к. $d^n x = d^n y = 0$)

\section{Формула тейлора для ФНП}
\image{math-0381-2}
Пусть $u = f(M)\;n$ раз дифференцируема в окресности $\Omega(M_0)$, тогда $\e N \in \Omega(M_0):\\ u(M) = u(M_0) + du(M_0) + \frac 1 {2!}d^2u(M_0) + \dots + \frac{1}{n!}d^nu(M_0) + \frac 1 {n+1}!d^{n+1}u(N)$

Доказательство: Уравнение отрезка $MM_0: \system{
	&x_1 = \ocirc x_1 + \underbrace{(\overset m x_1 - \ocirc x_1)}_{\Dx_1}t\\
	&\hspace{25mm}\vdots\\
	&x_n = \ocirc x_n + \underbrace{(\overset m x_n - \ocirc x_n)}_{\Dx_n}t
}\\
u(M) = f(\ocirc x_1 + (\overset m x_1 - \ocirc x_1)t, \dots, \ocirc x_n + (\overset m x_n - \ocirc x_n)t)$, и применяя формулу для одномерного случая получаем формулу тейлора: 
$F(1) = F(0) + dF(0) + \dots,\quad F(1) = u(M)\quad F(0) = u(M_0)\\
dF(0) = \at{\frac{\d f}{\d x_i}}{M_0}\Dx^i = df(M_0)\quad d^2F(0) = \wrapb{\at{\frac{\d}{\d x_i}}{M_0}\Dx^i}^2 = d^2u(M_0)$

\section*{Лекция 9 (2025-03-20)}
Thu Mar 20 10:51:19 MSK 2025

\textbf{Многочлен тейлора:} $\dst P_n(M) = u(M_0) + du|_{M_0} + \frac 1 2 d^2u|_{M_0} + \dots + \frac 1 {n!}d^nu|_{M_0}$

\textbf{Свойства остатка в разложении тейлора}: \mdenum{
	\item $P_n(M)$ - многочлен $n$-ого порядка от $M$
	\item Все производные $P_n(M)$ вплоть до порядка $n$ в точке $M_0$ совпадают с производными $u$ в $M_0$
}

напомним \textbf{определение}: $u = f(M)\quad n$ раз дифференцируема в $M_0$ $\Longleftarrow$ дифференцируема в $\Omega(M_0)$ и 
все её частные производные $n-1$-ого порядка дифференцируемы в $M_0$

\textbf{Теоремы о формуле тейлора:} \mdenum{
	\item Конечные приращения: 1 раз дифф-ма в $M_0$ (опр. в $\Omega(M_0)$) $\implies u(M) - u(M_0) = du(N)$
	\item Остаточный член Пеано: $f(M)\quad n$ раз дифференцируема в $M_0$. Тогда для $M \in \Omega(M_0)$ верно $u(M) = P_n(M_0) + \bar o(\rho(M, M_0))$
	
	Доказательство: По индукции. Если $n=1$, $u = f(x, y)$ дифф-ма в $M_0$, то её приращание \\
	$u(x, y) - u(x_0, y_0) = u_x'(x_0, y_0)\Dx + u_y'(x_0, y_0)\Dy + \bar o(\rho)$\\
	Для $n = 2$: $R_3(M) = u(M) - P_2(M) \implies R_3(M) - R_3(M_0) = \frac{\d R_3}{\d x}(N)\Dx + \frac{\d R_3}{\d y}(N)\Dy,$ это выражение дифференцируемо 2 раза, поэтому 
	$\frac{\d R_3}{\d x}(n) = \underbrace{P^{R_3}_1(M_0)}_{=0} + \bar o(\rho(N, M_0)) = \bar o(\rho(M, M_0))
	\implies R_3(M) = \bar o(\rho)\Dx + \bar o(\rho)\Dy = \bar o(\rho^2)$
}

\section*{Лекция 10 (2025-03-25)}
Tue Mar 25 10:51:27 MSK 2025
\section{\$9. Локальный экстремум ФНП}
Пусть $u = f(M)$ определена в области $\c D, \ocirc M(\ocirc x_1, \dots, \ocirc x_m) \in \c D$

\textbf{Локальный минимум}: $\e \Omega(M_0) \in \c D, \all M \in \exclreg{}(M_0): f(M) > f(M_0)$

\textbf{Локальный максимум}: Аналогично

\textbf{Локальный экстремум}: Либо минимум, либо максимум
\\
\textbf{Необходимое условие $\e$ локального экстремума}: Если $M_0$ - точка 
локального экстремума $f(M)$ и $\e$ $\dst{\d u}\over{\d x_k}$ $(M_0)$, то
$\frac{\d u}{\d x_k}(M_0) = 0$

Доказательство: Дано, что $\e \Omega(M_0), \all M \in \ocirc\Omega(M_0) \wraps{f(M) >
f(M_0) \lor f(M) < f(M_0)}$. Это верно для точек $M_k$, на множестве точек
$\ss{M_k}$ рассмотрим функцию 1 переменной $\ph(x_k) = f(\ocirc x_1, \dots, x_k,
\dots, \ocirc x_m)$. Т.к. $\e \frac{\d f}{\d x_k}(M_0) = \ph'(\ocirc x_k)$, и
выполняется $\wrapc{f(M_k) < f(M_0) \lor f(M_k) > f(M_0)} \ioi\\\ioi \wrapc{\ph(x_k) <
\ph(\ocirc x_k) \lor \ph(x_k) > \ph(\ocirc x_k)} \implies \ocirc x_k$ -
локальный экстремум $\ph(x_k)$, а $\wrapb{\e \ph'(\ocirc x_k) = 0}
\implies\\\implies \wrapb{\e \frac{\d f}{\d x_k}(M_0) = 0}$ 

\textbf{Следствие}: $M_0$ - локальный экстремум дифференцируемой функции $u =
f(M)$, то её полный дифференциал равен нулю.

Пример 1: $u = x^2+y^2; (0,0)$ - точка локального минимума, $\system{
	u_x'(0, 0) = 2x = 0 \\
	u_y'(0, 0) = 2y = 0 \\
}$

Пример 2: $u = xy$ - гиперболический парабабабабаабабабабабабаб $\system {
	u_x'(0, 0) = u_y'(0, 0) = 0 \\
	u_x(x > 0, y > 0) > 0 \\
	u_x(x > 0, y < 0) < 0 \\
	u_x(x < 0, y < 0) > 0 \\
	u_x(x < 0, y > 0) < 0 \\
} $ - нет такой окресности точки $(0, 0)$, в которой $u(0, 0)$ было бы
максимальным или минимальным значением, то есть экстремума нет (но производные
равны нулю!)

\textbf{Квадратичная форма}: $Q(X_1, \dots, X_m) = \dst\sum_{i,j=1}^m
a_{ij}x_iy_i$

\textbf{Определённость квадратичной формулы}: \mdenum{
	\item Положительно определённая: $Q(x_1, \dots, x_m) > 0 \quad\all(x_1,
\dots, x_n) \neq (0, \dots, 0)$
	\item Отрицательно определённая: $\all (x_1, \dots, x_m) \neq (0,
\dots, 0): Q(x_1, \dots, x_m) < 0$
	\item Знакоопределённая: Либо положительно, либо отрицательно
определённая
	\item Квазизнакоопределённая: знакоопределённая с нестрогим неравенством
$\land \e (x_1, \dots, x_m) \neq (0, \dots, 0): Q(x_1, \dots, x_m) = 0$. Пример:
$x^2 - 2xy + y^2$
	\item Знакопеременная: всё остальное ($\e X' := (x_1', \dots, x_n'), X"
:= (x_1", \dots, x_n");\quad X', X" \neq (0, \dots, 0) :\\ \sgn Q(X') \neq \sgn Q(X")$)
}

\textbf{Критерий Сильвестера}: матрица квадроберской формы $A = \mrx{
	a^1_1 & \dots & a^1_n \\
	\vdots & \ddots & \vdots \\
	a^n_1 & \dots & a^n_n
}$. Составим угловые миноры: $\delta 1 = \mrxdet{a^1_1}, \delta_2 =
\mrxdet{a^1_1 & a^1_2 \\ a^2_1 & a_2^2}, \delta_3 = \mrxdet{
	a^1_1 & a^1_2 & a^1_3 \\
	a^2_1 & a^2_2 & a^2_3\\
	a^3_1 & a^3_2 & a^3_3
}, \dots, \delta_n = \mrxdet{
	a^1_1 & \dots & a^1_n \\
	\vdots & \ddots & \vdots \\
	a^n_1 & \dots & a^n_n
}$. \mditem{
	\item $\all i: \delta_i > 0$: положительно определённая
	\item $\delta_1 < 0, \delta_2 > 0, \dots, \delta_{2n-1} < 0, \delta_{2n}
> 0,\quad n \in \s N$ : отрицательно определённая
	\item $\e i: \delta_i = 0: $ критерий не раобтает
	\item Иначе: форма знакопеременная
}

пример: $x^2+y^2 : \mrx{1 & 0 \\ 0 & 1}: \delta_1 > 0, \delta_2 > 0\\
xy : \mrx{0 & 1/2 \\ 1/2 & 0}: \delta_1 = 0\\
x^2 -2xy + y^2 : \mrx{1 & -1 \\ -1 & 1}, \delta_1 = 1, \delta_2 = 0$

\textbf{Достаточное условие} локального экстремума: рассмотрим квадратичную
функцию аргументов $dx_i, i = \overline{1, m}: d^2u(M_0) =
\dst\sum_{i, j = 1}^m\frac{\d^2u}{\d x_i \d x_j}(M_0) dx_i dx_j$. Если $d^2u$
положительно определённая, то $M_0$ - точка локального минимума, если $d^2u$
отрицательно определённая, то $M_0$ - точка локального максимума, иначе надо
доп. исследование
\ntab Доказательство:
\\ Пусть $d^2 u$ положительно определённая, $ > k > 0, \all dx_i \neq 0\\$
Рассмотрим $\exclreg{}{M_0}: f(M) - f(M_0) = du(M_0) + \frac 1 2 d^2(M_0) + \bar
o(\rho^2) = \dst\sum_{i,j = 1}^m a^i_jdx_idx_j + o(\rho^2) = $ ( по Тейлору )\\
$ = \wraps{M_0(\ocirc x_1, \dots, \ocirc x_m), M(\ocirc x_1 + dx_1, \dots, \ocirc x_m +
dx_m) \dst\implies \rho^2 = \sum_idx_i^2} = $\\
$\dst = \frac{\rho^2}2\wrapb{\sum_{i,j=1}^ma_i^j\frac{dx_i}\rho\frac{dx_j}\rho +
o(1)},\quad h_i := \frac{dx_i}\rho, \sum_i h_i^2 = 1$, рассмотрим $Q(h_1, \dots,
h_m)$. $Q$ непрерывна на сфере, достигает точной нижней грани $k > 0$ \\
$\dst f(M) - f(M_0) = \frac{\rho^2}2\wrapb{\underbrace{Q(h_1, \dots, h_m)}_{\geq
k} + \alpha(\rho)}, \al \to 0 \implies \e \rho_0 > 0: 0 < \rho < \rho_0, \rho
\to 0: |\al(\rho)| < \frac k 2$. Для точек $M \in \exclreg{\rho_0}{M_0}: f(M) -
f(M_0) > \dst \frac{\rho^2}2\wrapb{k - \frac k 2} = \frac{\rho^2k}4 \implies \e
\exclreg{\rho_0}{M_0} : \all M \in \Omega f(M) > f(M_0) \implies M_0$ - лок.
минимум

\section*{Лекция 11 (2025-04-01)}
Tue Apr  1 10:53:15 MSK 2025
\section{Глава 3. Нихуявные функции}
рассмотрим уравнение $y^2 = x^2$. оно задаёт \mditem{
	\item 2 дифференцируемые функции $y =  \pm x$
	\item 4 непрерывные функции $y = \pm x,\quad y = \pm |x|$
	\item $\infty$ разрывных функций
}

\textbf{Определение}: Пусть дано уравнение $F(x, y) = 0$. Пусть $\all x \in  \s
X$ однозначно определяется $y$. Тогда говорят, что уравнение $F(x, y) = 0$
неявно задаёт функцию $y = f(x)$ на множестве $\s X$

Вопрос: условие существования, единственности и дифференцируемости неявной
функции.

\textbf{Глобальная теорема} о существовании, единственности и непрерывности
функции: Пусть $F(x, y)$ \\
- определена, непрерывна в прямоугольнике $Q = \ss{(x,y) : a < x <
d \land c \leq y \leq d}$\\
- $\all x \in (a, b)$ строгомонотонна как функция $y$ на отрезке $[c, d]$\\
- $F(x, c)\cdot F(x, d) < 0 \all x \in (a, b)$ \\
Тогда $ \in Q \e!\;y = f(x)$ непрерывную и неявную
\image{math-0104-1}

Замечание: условия теоремы требуют $\e F(x, y)$ на концах для $y$, но не для $x$

Доказательство: т.к. $\all x \in [a, b]\; F(x, y) $ является функцией одного
аргумента $y$, а ещё строго монотонна и непрерывна, имеет значения разных знаков
на концах интервала $y : [c, d]$, поэтому $\all x \e! y_0 \in [c, d]: F(x, y_0)
= 0$, то есть $F(x, y_0) = 0$ задаёт единственную функцию $y = f(x)$ при $x \in
[a,b]a$

Докажем непрерывность в $\all x_0 \in [a, b]: \all; \eps > 0 \e \delta > 0 , \all
x \in [a,b], |x-x_0| < \delta : |f(x) - f(x_0)| < \eps\\$
Пусть $f(x, y)$ монотонно возрастает. Т.к. $F(x_0, y_0) = 0$, непрерывна и
монотонно возрастает по $y$, то при $y = y_0 + \eps \implies F(x_0, f(x_0) + \eps) >$,
аналогично для $y = y_0 - \eps : F(\dots) < 0$

Теперь рассмотрим 2 функции переменной $x : F(x, f(x_0) \pm \eps)$, одна $>0$,
другая $<0$ при $x = x_0$, $\e \reg \delta {x_0}$, в которой эти функции
сохраняют знак и при этом $\all x \in \reg \delta {x_0} : f(x_0) - \eps < f(x) <
f(x_0) + \eps \implies |f(x) - f(x_0)| < \eps \implies f(x)$ непрерывна в точке
$x_0$ 

\textbf{локальная теорема}: Пусть $F(x, y)$ \\
- определена и непрерывна в $\Omega(M_0),\;M_0(x_0, y_0)$ \\
- в этой окресности $\e F_y'$ и непрерывна \\
- $F(x_0, y_0) = 0, F_y'(x_0, y_0) \neq 0$ \\
Тогдададададада $\e \text{ rect }Q\ss{(x, y) : |x - x_0| < c \land |y-y_0| \leq
d \land c, d > 0} \in \Omega(M_0)$, в котором $F(x, y) = 0$ задаёт $!$ функцию
$y  = f(x)$, непрерывную на интервале $x \in (x_0 - c, x_0 + c)$

Доказательство: сами на листочках на лекции, поэтому тут нет

Бля, а оно чёт сложное какое-то...))))) Я такую поеботину на листочке написал,
что просто пиздец

\textbf{теорема о дифференцируемости неявной функции}: Пусть $F(x , y)$:
<Такие же условия, как в локальной теореме> + дифференцируема в $M_0$. 
Тогда $\e Q\ss{(x, y) : |x-x_0| < c \land |y-y_0| \leq d \land c, d > 0}
\subseteq \Omega(M_0)$, в котором $F(x, y) = 0$ задаёт неявную $y  =f(x)$,
дифференцируемую в $x_0$

Доказательство: $y = f(x)$ в $x_0$. По услови. $F(x, y)$ дифференцируема в
$M_0$. Зададим приращение $\Dx, \Dy,\; x_0 - c < x + \Dx < x_0 + c,\;\Dy =
f(x_0) + \Dx - f(x_0)$ (задание приращения $\Dy$ таким образом - важно!!!).
Рассмотрим $\D F(M_0) = F(x_0 + \Dx, y_0 + \Dy) - F(x_0, y_0)  = F_x'(x_0,
y_0)\Dx + F_y'(x_0, y_0)\Dy + \alpha_1(\Dx, \Dy)\Dx + \al_2(\Dx, \Dy)\Dy,\quad
\alpha(\Dx, \Dy)_{1, 2} \to 0 \implies \alpha(\Dx, \D f)_{1,2} \to 0 \\
F_x'(x_0, y_0)\Dx + F_y'(x_0, y_0)\Dx + \al_1(\dots)\Dx + \al_2(\dots)\Dy = 0 =
F_x'(x_0, y_0) + F_y'(x_0, y_0)\frac{\D f}{\D x} + \al_1(\dots) +
\al_2(\dots)\frac{\D f}{\D x} \implies\dst \frac{\D f}{\Dx} = -\frac{F_x'(x_0, y_0)
+ \al_1(\dots)}{F_y'(x_0, y_0) + \al_2 (\dots)},$\[
	f'(x_0) = \lim_{\Dx\to 0}\frac{\D f}{\D x} = -\frac{F_x'(x_0,
y_0)}{F_y'(x_0, y_0)}
\]

Вывод: нихуя не понял, перед сессией буду читать конспект и плакать, но... Я не
выспался. Мне можно. Конец лекции. А негры хорошие ребята. И мать ваша тоже
хорошая женщина. И вы огромный молодец. Возьмите с полки пирожок, протрите на
нём пыль и положите на место.

\section*{Лекция 12 (2025-04-15)}
Tue Apr 15 10:51:22 MSK 2025
\subsection{условный экстремум}

Постановка задачи на условны: определить точки жкстремума функции $u(\dots)$ при
условии связи: \\$\system{&F_1(\dots) = 0 \\ &\vdots \\ &F_n(\dots)= 0}$

Если $M_0(\ocirc x_1, \dots, \ocirc x_m)$ - точка условного экстремума, то в
точке $M_0$ выполняется (УС) [условие связи].
\ntab 1. пусть $F_i'$ дифференцируема в $\Omega(M_0)$
\ntab 2. $\dst \frac{\d F_i}{\d x_j}$ непрерывны в $M_0\quad(i = \overline{1,
m}; j = \overline{1,m})$
\ntab 3. $\dst\at{\frac{D(F_1, \dots, F_n)}{D(x_1, \dots, x_n)}}{M_0} \neq 0$ ($D$ -
якобианы)\\
Тогда задача об условном экстремуме $u$ сводится к задаче о локальном экстремуме
\\$g(x_{n+1}, \dots, x_m) = u(\ph_1(x_{n+1}, \dots, x_m), \dots, \ph_m$).

Если $\ph_i(x_{n+1}, x_m)$ не выражается в явном виде, то можно применить
\textit{метод Лагранжа}:\\
Составим функцию лагранжа $\Phi(x_1, \dots, x_m, \lambda_1, \dots, \l_n) =
u(x_1, \dots, x_m) + \sum_{i=1}^n\l_iF_i(x_1, \dots, x_m)$. Если $M_0$ -
условный экстремум, то $F_i(M_0) = 0; \Ph = u(\ocirc x_1, \dots, \ocirc x_m)$

Зададим необходимые и достаточные условия условного экстремума: \mditem {
	\item \textbf{Необходимое условие}: Пусть $u(x_1, \dots, x_m)$
пусть выполнены условия (1)-(3), пусть $u$ дифф. в $\Omega(M_0)$, пусть $M_0$ -
условный экстремум, тогда можно подобрать такие значения $\l_1, \dots, \l_n$,
что  $\dst\frac{\d\Ph}{\d x_i}(\ocirc x_1, \dots, \l_1, \dots) = 0 \quad i =
\overline{1, m}$ (т.е. нужно решить систему уравнений с условиями связи +
Лагранж).

Доказательство: Запишем $\Ph$ двумя способами:
	\ntab 1. $\dst d\Ph(\dots) = \underbrace{\sum_{i=1}^n\frac{\d\Ph}{\d
x_i}dx_i}_{dx_i = d\ph_i} + \underbrace{\sum_{i=n+1}^m\frac{\d\Ph}{\d
x_i}dx_i}_{x_i\text{ - независимые}} + \underbrace{\sum_{i=1}^n\frac{\d \Ph}{\d
\l_i}d\l_i}_{= F_i = 0}$
	\ntab 2. $\dst d\Ph(\dots) = du(M_0) + \sum_{i=1}^n\l_idF_i(M_0) +
\underbrace{\sum_{i=1}^nF_i(M_0)d\l_i}_{ = 0}$
	\ntab Из этого следует: $\dst \underbrace{\sum_{i=1}^n\frac{\d\Ph}{\d
x_i}dx_i}_{dx_i = d\ph_i} + \underbrace{\sum_{i=n+1}^m\frac{\d\Ph}{\d
x_i}dx_i}_{x_i\text{ - независимые}} = d\Ph(\dots) = du(M_0) +
\sum_{i=1}^n\l_idF_i(M_0) \implies d\Ph = \underbrace{\sum_{i=1}^n\at{\frac{\d u}{\d
x_i}}{M_0}dx_i + \sum_{i=1}^n \l_i \sum_{k=1}^n\frac{\d F_i}{\d
x_k}dx_k}_{\text{зависимые, } dx_i = d\ph_i, dx_k = d\ph_k;\quad=
\sum_{i=1}^n\frac{\d \Ph}{\d x_i}dx_i (????)} +
\underbrace{\sum_{i=n+1}^m \frac{\d\Ph}{\d x_i}dx_i}_{x_i -
\text{независимые}}$. Для того, чтобы все частные производные $\Ph =0$, надо
$\dst\system{
	&\wrapb{\frac{\d u}{\d x_1}(M_0) + \l_1\frac{\d F_1}{\d x_1} + \dots +
\l_n\frac{\d F_n}{\d x_1}} \\
	&\vdots \\
	&\wrapb{\frac{\d u}{\d x_1}(M_0) + \l_1\frac{\d F_1}{\d x_1} + \dots +
\l_n\frac{\d F_n}{\d x_1}} \\
}$. Так как якобиан системы $\neq 0$, она разрешима, поэтому ВЫВОД: 
\ntab Чтобы определить точки возможного услового экстремума, надо решить систему
уравнений $\dst \underset{i = \overline{1,m}}{\frac{\d \Ph}{\d x_i}(x_1, \dots,
x_m, \l_1, \dots, \l_n)} = 0; \underset{j = \overline{1, n}}{F_j(x_{1}, \dots,
x_m)} = 0$
	\item \textbf{достаточное условие} (следствие теоремы о достаточном
условии локального экстремума для функции $g(x_{n+1}, \dots, x_m)$. $d^2g =
\sum_{i, j = n+1}^m\frac{\d^2g}{\d x_i \d x_j}dx_idx_j$ - входят только
независимые переменные) Но у нас нет $g$, у нас только $\Ph$, только хардкор:
$\dst d\Ph = \sum_{i = 1}^n\frac{\d \Ph}{\d x_i}d\ph_i +
\sum_{i=n+1}^m\frac{\d\Ph}{\d x_i}dx_i + \sum_{i=1}^nF_i(M_0)d\l_i$, в сумме
сначала зависимые, потом независимые, потм считаем $\l_i$ независимыми. \\
$g = u(\ph_1(x_{1+n}, \dots, x_m), \ph_2(\dots), \dots, \ph_n(\dots),
x_{n+1}, \dots, x_m);\quad dg(M_0) = d\Ph(M_0), M$ удовл. (УС); \\
$g(M) \equiv \Ph(M);\quad d^2g(M) = d^2\Ph(M); $ найдём \\$\dst d^2\Ph =
\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\frac{\d^2\Ph}{\d x_i\d x_j}d\ph_id\ph_j +
\underbrace{\sum_{i=1}^n\frac{\d\Ph}{\d x_i}d^2\ph_i}_{=0} +
\sum_{i=n+1}^m\sum{j=1}^m\frac{\d^2\Ph}{\d x_i\d x_j}dx_idx_j + \underbrace{\sum_{i = 1}^n
dF_id\l_i}_{=0} \implies \\
d^2\Ph(\mathbf {M_0}, \l_1, \dots, \l_n) =
\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^m\frac{\d^2\Ph}{\d x_i\d x_j}(\ocirc x_1, \dots, \ocirc
x_m, \l_1, \dots, \l_m) \cdot \system{
	&dx_idx_j&, i, j = \overline{n+1, m}\\
	&dx_i\sum{k=1}^n\frac{\d \ph_i}{\d x_k}dx_k&, \system{&i = \overline{n+1,
m} \\ &j = \overline{1,n}}\\
	&dx_j\sum_{k=1}^n\frac{\d \ph_i}{\d x_k}dx_k&, \system{&i  = \overline {1, m} \\&j = \overline{n+1, m}}\\
	&\sum_{k=1}^n\frac{\d \ph_j}{\d x_k}dx_k\sum_{l=1}^n\frac{\d \ph_i}{\d
x_l}dx_l&, i, j = \overline{1, n}\\
}$

БЛЯЯЯЯЯЯТЬ Я ТАК НЕ МОГУУУУУУ

Не, это пиздец. Я Нихуяяяяяяя не понял... вообще нихуя...
}
\section*{Лекция 13 (2025-04-17)}

\section{Глава IV. Двойной интеграл}

\subsection{\$1. Площаддь плоской фигуры} \textbf{Определение}: Плоской фигурой
$\c G$ называется любое множество точек плоскости

\textbf{понятия, известные со школы:} \mditem { \item Многоугольник $\c Q$ \item
площадь многоугольника $P(\c Q)$ \item $\c Q_1 \subs \c Q_2 \implies P(\c Q_1) <
P(\c Q_2)$ }

\textbf{ОБОЗНАЧЕНИЯ:} $\c Q_a - $ описанный многоугольник, $\c Q_b$ - вписанный,
$\c G$ - фигура

\textbf{будем говорить}, что многоугольник $\c Q_a$ описан вокруг фигуры $\c G$,
если $\c G \subs \c Q_a$. При этом если $\c Q_b \subs \c G$ то $\c Q_b$ называется
вписанным в фигуру $\c G$ (замечание: вписать многоугольник можно не во всякую
фигуру).

\textbf{множество площадей} $\ss{P(\c Q)}$ ограничено снизу нулём. При этом,
если в фигуру $\c G$ можно вписать многоугольники, тогда $\ss{P(\c Q_b)}$
ограничено сверху $P(\c Q_a)$


\textbf{определение}: $\e \inf \ss{P(\c Q_a)} := \bar P$ - верхняя площадь
фигуры $\c G$. Так же $\e \sup\ss{P(\c Q_b)} := \rab P$ - нижняя площадь.
Примечание: если в $\c G$ нельзя вписать прямоугольник, то $\rab P := 0$

\textbf{утверждение}: $\bar P \geq \rab P$. \\ Доказательство: $\dst \ntab \bar
P = \ss{P(\c Q_a)} \implies \all \eps > 0 \e \tilde P(\c Q_a): \bar P \leq
\tilde P(\c Q_a) < \bar P + \frac \eps 2\quad(1)\ntab \rab P = \sup\ss{P(\c Q_b)}
\implies \all \eps > 0 \e \tilde P(\c Q_b) : \rab P - \frac \eps 2 < \tilde P(\c
Q_b) \leq \rab P\quad(2)$ \ntab Предположим, что $\rab P > \bar P \implies \e \eps > 0 :
\rab P - \bar P > \eps > 0$. \ntab Из $(2) - (1) : \rab P - \bar P - \eps < \tilde
P(\c Q_b) - \tilde P(\c Q_a) < \rab P - \bar P \implies \tilde P(\c Q_b) >
\tilde P(\c Q_a) > 0$ - противоречие

\textbf{следствие}: $\all P(\c Q_b) \leq \rab P \leq \bar P \leq P(\c Q_a)$

\textbf{определение}: плоская фигура называется \textit{квадрируемой}, если
$\bar P = \rab P$. При этом $\bar P = \rab P = P(\c G)$ называется
\textbf{площадью} фигуры $\c G$


\textbf{Теорема}: необходимое и достаточное условие квадрируемости плоской
фигуры: $\all \eps > 0 \e \c Q_a, \c Q_b : P(\c Q_a) - P(\c Q_b) < \eps$. 
Доказательство: \mditem {
	\item Необходимость: $\bar P = \rab P;\quad \rab P = \sup\ss{P(\c Q_b)} :
-\rab P + \frac \eps 2 > -P(\c Q_b) \geq -\rab P;\quad \bar P = \inf\ss{P(\c Q_a)}:
\bar P \leq P(\c Q_a) < \bar P + \frac \eps 2 \implies 0 = \bar P - \rab P \leq
P(\c Q_a) - P(\c Q_b) < \eps$
	\item Достаточность доказали на листочках
}

\subsection{\$2. Площадь криволинейной трапеции}

Вспомним нижние и верхние суммы Дарбу: $\dst f(x) > 0; m_i := \inf_{[x_{i-1},
x_i]} f(x), dk;sad; as;ld\bar s := \sum_{i=1}^nm_i\Dx_i;\\M_i := \sup_{[x_{i-1}, x_i]} f(x),
\rab S := \sum_{i=1}^nM_i\Dx_id$

\textbf{Лемма дарбу}: $\e \lim_{\D \to 0} \bar s = \rab I; \e \lim_{\D \to
0}\rab S = \bar I$

\textbf{Необх. и дост. условие интегрируемости}: $\bar I = \rab I = I = \int_a^b
f(x)dx$

\textbf{лемма}: для криволинейной трапеции $\rab P = \rab I = I; \bar P = \bar I
= I \implies$ криволинейная трапеция квадрируема $\implies$ есть площад

\textbf{пример неквадроберской фигуры}: $|x| + |y| \leq 1, x, y \in \s Q$. $\bar
P = 2 \neq  \rab P = 0$

\subsection{\$3. Двойной интеграл}

\image{math-0417-1}

Рассмотрим квадриaруемое множество $\c G$. Разделим его на неперескающиеся куски $\c
G_i$ прямыми, параллельными осям $ox, oy$. при этом $\cup_i \c G_i = \c G$.
Пусть $f(M)$ определена для $M \in \c G$. Составим Сумма $I(M_i, \c G_i) =
\sum_i f(\xi_i, \eta_i)P(\c G_i)$. $\c G$ квадрируема и ограничена $\implies \c
G_i$ ограничены и квадрируемы. \\ $\all i \e \sup \rho(M_i^1, M_i^2), M_i^1, M_i^2
\in \c G_i. d_i := \sup \rho(M_i^1, M_i^2)$ называется диаметром $\c G_i;\quad d
:= \max_id_i$ называется диаметром разбиения. если $\e \lim I(M_i, \c G_i)$, то 
то называется двойным интегралом $f(x, y)$ по $\c G$
\[I = \iint_Gf(x, y)dxdy\]
\\\
asdhjasld jhaksdh kja shdka hsdjakhd ajldf aljd asldf jsldfgjksdhjk
hdjklfjkdsgksdfh gksdfkgh dfkjgh kjdfh gkjdf hgkjdfh gkjdfh gkjdfh kgjdf ghdfjkg
sdfl sjdfkl jsdfk jsdfk jlsdfhsdjg sdhkg sdfkghsdfkghksdfh gksdfh g hdsfkg hs
dfhg ksdfh gklsdhfkghsd fkg
\end{document}
