\input ../common.inc
\begin{document}
\tableofcontents
\section*{Лекция 1 (2025-02-10)}

\section*{Введение.}

Предмет молекулярной физики: изучение молекулярной формы движения (т.е. дивжение большой совокупности молекул)

Молекула: наименьшая частица вещества, сохраняющая его химические свойства

\begin{itemize}\setlength\itemsep{0cm}
	\item Все везества состоят из большого числа обособленных частиц: атомов и молекул
	\item Частицы всегда хаотически движута, интенсивность зависит от температуры
	\item Частицы взаимодействуют друг с другом силами притяжения и отталкивания
	\item Есть 2 экспериментальных факта: броуновское движение и диффузия
\end{itemize}

Масса атомов и молекул: измеряется "Относительная Атомная Масса": $\frac 1 {12}$ массы изотопа углерода $\approx 1.26 \cdot 10^{-27}$кг

Моль: количество вещества, содежращая число авокадо молекул: $\nu = \frac N {N_A}$

Молярная масса: $\mu = m_{mol} \cdot N_A = Mm$

$N_A = 6 \cdot 10^{23}$

Оценим расстояние между атомами и молекулами: 
\begin{enumerate}
	\item $H_2O\;(\nu = 1 \implies N = 6\cdot10^{23}). M = 18$г, $\rho = 1 \frac{\text{г}}{\text{см}^3}.\;
	V_\nu = \frac m \rho \sim a^3 \implies a \approx 3 \cdot 10^{-10}\text м \approx 3 \overset \circ A$ (Ангстрем)
\end{enumerate}

Пот. энергия взаимодействия: суперпозиция притяжения и отталкивания.

Энергия связи: Работа, которую необходимо затратить, чтобы развести атомы в молекуле на ББ расстояние

\begin{itemize} \setlength\itemsep{0cm}
	\item Ионная связь: размещены в кристаллической решётке $NaCl$
	\item Ковалентная связь: образуется направленными валентными электронными облаками
	\item Металлическая связь: Игра в горячую картошку
	\item Молекулярная связь: Молекулы связаны между собой слабыми ван-дер-ваальсовыми силами
\end{itemize}

\subsection{Термодинамика}

Задача термодинамики: исследование свойств мат тел, характ-емых макроскопическими параметрами, на основе начал термодинамики, игнорируя микроскопические механизмы

Все изолированные системы со временем приходят в равновесное состояние

Изолированная система: не обменивается ни веществом, ни энергией, с окружающей средой
\ntab $\cdot$ Нулевое начало термодинамики: при равновесном состоянии все части системы будут иметь одинаковую температуру
\ntab $\cdot$  

\section*{Лекция 2 (2025-02-13)}

\subsection*{Температурные шкалы}
Для шкалы нужно иметь 2 реперные точки

\begin{itemize}\setlength\itemsep{0pt}
	\item Цельсий: замерзание воды [0] / кипение воды [100]
	\item Фаренгейт
	\item Кельвин: для разр. газов установил, что $p=p_0(1 + \alpha t)$, и так получилось, что $\alpha = 273$ - абсолютная температурная шкала
\end{itemize}

Измерение температуры: Контактные термоментры (теплообмен), Бесконтактные термоментры (излучениие)

Контактные:
\ntab На расширении (нагретые жидкости расширяются и ползут вверх по шкале) [ртутные]
\ntab Две спиральные пластинки по-разному расширяются, и поэтому закручиваются [Биметаллические]
\ntab Объём газа неизменный, $\frac{P}{P_0} = \frac{T}{T_0}$ [Газовый/Манометрический]
\ntab Есть 2 разных спаянных металла, один конец с температурой $t_1$, другой - $t_2$, 
возникает термоэлектрический ток и измеряется напряжение [Термоэлектрические]
\ntab Электрическое сопротивление линейно зависит от $T$ [Сопротивления]
\\

\image{mol1}
Измерение объёма:
\ntab Через линейные размеры
\ntab Помещая тело в сосуд
\ntab объём газа = объём сосуда 
\\

Измерение давления: $U$-образный манометр (столб жидкости), металлический (распрямляется трубка от давления)

\subsection*{Термодинамические процессы}

Термодинамический процесс - изменение состояния системы со временем

Равновесный процесс (квазистатический): непрерывная последовательность равновесных состояний системы

Обратимый процесс: может протекать как в прямом, так и в обратном направлении 

Термическое уравнение состояния: $f(P, V, T) = 0$ - у нас 2 уравнения; Идеального газа [Менделеева-Клапейрона] и Газа Ван-Дер-Ваальсa [ОТНЫНЕ: ВДВ]

$\dst df = \frac{\d f}{\d P}dP + \frac{\d f}{\d V}dV + \frac{\d f}{\d T}dT = 0$

\begin{itemize}\setlength\itemsep{0pt}
	\item $\dst P = const \implies \frac{\frac{\d f}{\d V}}{\frac{\d f}{\d T}} = -\wrapb{\frac{\d T}{\d V}}_P = 0$
	\item $\dst V = const \implies \wrapb{\frac{\d T}{\d P}}_V = - \frac{\frac{\d f}{\d P}}{\frac{\d f}{\d T}}$
	\item $\dst T = const \implies \wrapb{\frac{\d P}{\d V}}_T = - \frac{\frac{\d f}{\d V}}{\frac{\d f}{\d P}}$
\end{itemize}

$\dst \wrapb{\frac{\d T}{\d P}}_V\cdot\wrapb{\frac{\d P}{\d V}}_T\cdot\wrapb{\frac{\d T}{\d V}}_P = -1$ - уравнение связи

Терм. коэфф. Объёмн. расширения: $\dst \alpha_V = \frac 1 V \wrapb{\frac{\d V}{\d T}_P}$ \\
Термический коэфф. давления: $\dst \gamma = \frac 1 P \wrapb{\frac{\d P}{\d T}_V}$ \\
Изотермическая сжимаемость: $\dst \rho_T  = - \frac 1 V \wrapb{\frac{\d V}{\d P}_T}$ \\
$\dst \frac{\alpha_V}{\rho_T} = \underbrace{\hspace{5cm}}_{\text{Доделайте сами))))0}}$

Уравнение Теплового расширения:
$V = V_0(1 + \alpha_V \Delta T);\; L = L_0(1 + \alpha_L \Delta T)$ \\
$\alpha_V = \alpha_{Lx} + \alpha_{Ly} + \alpha_{Lz}$, для изотропного тела: $\alpha_V = 3 \alpha_L$

\subsection*{мамку ебал}
Первое начало термодинамики: $\dst \Huge \underbrace{\delta Q}_{\text{мера переход. энергии}} = \underbrace{dU}_{энергия хаот. тепл. движ.} + \underbrace{\delta A}_{=pdV: \text{работа против сил } P}$

Внутренняя энергия - энергия хаотивеского движения молекул, потенциальная энергия их взаимодействия, кинетическая энергия движения атомов в молекулах и потенциальная энергия их взаимодействия
\begin{itemize}
	\item $\delta A > 0$: Работа совершается системой 
	\item $\delta A < 0$: Работа совершается над системой
	\item $\delta Q > 0$: Система получает теплоту
	\item $\delta Q < 0$: Система отдаёт теплоту
\end{itemize}
Сжимающийся поршень с газом: $\delta A = (\v F \cdot d \v r) = PSdr = PdV \implies$ $\dst A = \int_1^2PdV$

Уравнение состояние идеального газа: $PV = NK_{\text Б}T$

Уравнение состояние (калорическое) определяет внутреннюю энергию системы: $U = B \frac{ikT}2 = \frac M \mu N_A\frac{ikT}2 = \frac M\mu i \frac{RT}2$ 


\section*{Лекция 3 (2025-02-17)}


Интенсивная величина - не зависит от размеров системы ($P, T, p$)

Экстенсивная - значение зависит от размеров системы (свойство аддитивности) ($V, m, \nu$)

\subsection*{Теплоёмкость}
$\dst C_s = \frac{\delta Q}{dT}$; на практике пользуются молярной ($\nu$) или удельной ($m$) теплоёмкостью

$\dst \overline C = \frac{\delta Q}{mdT}, C = \frac{\delta Q}{\nu dT}$

Рассмотрим ... \\ 
$\dst \delta Q = dU + PdV,\; U = U(V, T) \implies dU = {\wrapb{\frac{\d U}{\d T}}}_V dT + {\wrapb{\frac{\d U}{\d V}}}_T dV \implies \\ \implies
\delta Q = {\wrapb{\frac{\d U}{\d T}}}_V dT + {\wrapb{\frac{\d U}{\d V}}}_T dV + pdV \\
C = \frac{\delta Q}{dT},\; C_V = \wrapb{\frac{\delta Q}{dt}}_V = \wrapb{\frac{\d U}{\d T}}_V,\;
C_P = \wrapb{\frac{\delta Q}{dT}}_P,\hspace{1cm} \delta Q = C_VdT + \wrapb{p + \wrapb{\frac{\d U}{\d V}}}dV\\
C_P = C_V + \wrapb{P + \wrapb{\frac{\d U}{\d V}}_T\wrapb{\frac{\d V}{\d T}}_P}\frac V V$ \\
Блять... Клавсюк просто какую-то неразборную хуету, блять просто невозможно это говнище конспектировать.
Он вообще нихуя не поясняет. Просто хуйню пишет на доске, путается и всё. Без мата блять не описать
Моего разочарования.
\\\\
Короче, то же самое с презы:

Теплоёмкость в изохорическом процессе: $C_V = \frac{dU}{dT} = \frac i 2 R$

В произвольном пр-се: $C = \frac{\delta Q}{dT} = C_V + p\frac{dV}{dT}$

Формула Майера: $C_P = C_V + R$

\subsection*{Внутренняя энергия идеального газа}

Теорема о равнораспределении энергии по степеням свободы: на каждую степень свободы приходится $k \frac T 2$ энергии

Внутренняя энергия равна сумме энергий теплового движения (пост., вращ. и колеб.): \\
$U = NkT\frac i 2 = \frac M \mu i \frac {RT} 2$


\subsection*{Идеальный газ}
Идеальный газ: Такой газ, который описывается уравнением Менделеева-Клапейрона

Закон Авогадро: При одинаковых $T, P, V$ в разных газах одинаковое кол-во молекул, т.е. Молярный объём ($273$K, $10^5$ Па) $\approx 22.4$л

Закон дальтона: В смеси газов общее давление равно суммы парциальных давлений \\ (т.е. $P_\text{смесь} = \sum_i^np_i$)

Изобарический процесс: $p = const; \frac V T = const; A = p\Delta V$ - Гей-Люссак

Изохорничесий процесс: $V = const; \frac P T = const; A = 0$ - Шарль

Изотермический процесс: $T = const; PV = const; A = \int_{V_1}^{V_2}RT\frac{dV}V = \from {RT\ln V}{V_1}{V_2} = RT\ln \frac {V_2}{V_1}$ - Бойль-Мариотт

Адиабатический Процесс: $\dst \delta Q = 0; TV^{\gamma -1} = const; pV^\gamma = const$ \\
$\dst 0 = \mu C_V dT + \frac{pdV\cdot V}V,\; C_VdT = - \frac{RT}VdV,\; \int_{T_0}^T\frac{dT}T = -\frac R {C_V} \int_{V_0}^V \frac {dV}V \implies\\
\implies \ln \frac T {T_0} + \frac {\overset{=C_P - C_V}R} {C_V}\ln \frac V {V_0} = 0;\; \gamma = \frac {C_P}{C_V} \implies \ln \frac T {T_0} = (1 - \gamma)\ln\frac V {V_0} \\
TV^{\gamma - 1}; PV^\gamma = const, PV \sim T$

\section*{Лекция 4 (2025-02-20)}


Адиабатический процесс: \\
{}[с прошлой лекции] $\frac {PV}T = const$ \\
$\dst \delta A = PdV \implies A = \int_1^2PdV = \int_1^2\frac{PdV\cdot V^\gamma}{V^\gamma}
= P_1V^\gamma_1\int_1^2\frac{dV}{V^\gamma} = \frac{P_1V_1^\gamma}{1-\gamma}(V_2^{1-\gamma} - V_1^{1 - \gamma}) \\
\delta Q = dU + \delta A == C_vdT + pdV;\:Q=0 \implies \delta A = -dU; A = -C_V\int_1^2dT = -C_V(T_2 - T_1)$ \\
То есть, у нас получилось целых 2 уравнения для работы - через $V$ и $T$

Теперь про гамму: $\dst \gamma = \frac{C_P}{C_V} = \frac{\frac{i+2}2R}{\frac i 2 R} = \frac{i+2}i$ 
\begin{enumerate}\setlength\itemsep{0pt}
	\item -атомный газ: $i=3; \gamma = \frac 5 3 = 1.\overline6$
	\item -атомный газ: $i=5; \gamma = \frac 7 5 = 1.4$
	\item -атомный газ: $i=6; \gamma = \frac 8 6 = 1.\overline3$
\end{enumerate}

\subsection*{Скорость звука в газе}
$\dst v_\text{зв} = \sqrt{\frac{\d P}{\d \rho}} = \wraps{PV^\gamma = const \implies P = \frac{const}{v^\gamma};
P = \beta\rho^\gamma} = \sqrt{\gamma\frac{\beta \rho^{\gamma}}{\rho}} = \sqrt{\frac\gamma\mu RT}$

\subsection*{Политропический процесс}
Политропический - процесс, в котором темлоёмкость $C = const$

$\dst \delta Q = C_V dT + PdV; C = \frac{\delta Q}{dT} = C_V + \frac{VPdV}{VdT} = \wraps{\nu = 1} \implies
C - C_V = \frac{RTdV}{VdT} \implies \frac{dT}{T} = \frac R {C - C_V}\frac {dV}V;\\
\ln \frac T {T_0} = \frac R {C - C_V}\ln\frac V {V_0} \implies const = TV^{\frac R {C-C_V}} = TV^{\wrapb{\frac{C-C_P}{C-C_V} - 1} =: n + 1}$
\[TV^{n-1} = const; PV^n = const\hspace{1cm} \wraps{n = \frac{C-C_P}{C-C_V}}\]

\begin{itemize}\setlength\itemsep{0pt}
	\item $T = const; n = 1; C = \pm \infty$
	\item $V = const; n = \pm \infty; C = C_v$
	\item $P = const; n = 0; C = C_p$
	\item $Q = const; n = \gamma; C = 0$
\end{itemize}

\section*{Циклические процессы}

Циклический процесс - такой, в результате которого термодинамическая система, изменив своё состояние, в конце возвращается в исходное состояние

$\dst A = \int_1^2PdV + \int_2^1PdV = \oint PdV; \hspace{1cm} \oint dU = 0;\hspace{1cm} \oint \delta A = \oint\delta Q = Q^+ + Q^-$

КПД: $\dst \nu = \frac A {Q^+} = 1 + \frac {Q^-}{Q^+}$

\section*{Лекция 5 (2025-02-24)}
\subsection*{Цикл Карно}
Вывод КПД:
\\
1-2, 3-4: $T_{1,3} = const$
\\
2-3, 4-1: $\delta Q = 0$
\\
1-2: $Q^+ = \nu R T_1 \ln\frac{v^2}{V_1}$
\\
3-4: $Q^- = \nu R T_2 \ln \frac{V_4}{V_3}$
\\
$\dst \system{
	&\text{4-1}: T_1V_1^{\gamma - 1} = T_2V_4^{\gamma - 1} \\
	&\text{2-3}: T_1V_2^{\gamma - 1} = T_2V_3^{\gamma - 1}
} \implies \wrapb{\frac{V_2}{V_1}}^{\gamma -1} = \wrapb{\frac{V_3}{V_4}}^{\gamma = 1}$
\\
$\dst \eta = 1 - \frac{\nu R T_2 \ln \frac{V-3}{V_4}}{\nu R T_1\ln \frac{V_2}{V_1}} = 1 - \frac {T_2}{T_1}
= \frac{T_1 - T_2}{T_1}$
\\
$\dst \eta = \underbrace{1 + \frac {Q^-}{Q^+} = 1 - \frac {T_2}{T_1}}_{T_1 = -T_2 \frac{Q^+}{Q^-}}$ 
 - это даёт нам абсолютную термодинамическою шкалу, то есть цикл Карно можно использовать для определения температуры

\subsection*{Холодильная машина}
Мы поменяли местами $Q^+ \text { и } Q^-$ (1-2: $Q^-$; 3-4: $Q^+$)

Кпд: $\eta = \frac{Q^+}{|A|};\hspace{1cm}
Q^+ =\nu R T_2 \ln\frac{V_3}{V_4};\hspace{1cm}
Q^- = -\nu R T_1 \ln \frac{V^2}{V^1} \implies$ \\
$\dst \eta = \frac{T_2}{T_1 - T_2}$ = коэффицент для холодильной машины

Связь кпд холодильника и кпд тепловой машины: $\dst \eta_\text х = \frac{1 - \eta_\text{тд}}{\eta_\text{тд}}$

\subsection*{Тепловой отсос}
Машина, переносящая тепловую энергию от более холодного тела к более горячему

Коэффицент трансформации энергии: 
$\dst\eta_\text{тр} = \wraps{\text{Для цикла Карно}} = \frac{Q^-}{A} = \frac{-T_1}{T_2 - T_1} = \frac{T_1}{T_1 - T_2}$

Связь с тепловым двигателем: $\dst \eta_\text{тр} = \frac 1 {\eta_{\text{тд}}}$

\subsection*{Цикл стирлинга}
Состоит из: 2 изотермических и 2 изохорический процесса

КПД меньше, чем у цикла Карно, но зато он легче в конструкции и надёжный

$\dst \eta = \frac{Q^+ - Q^-}{Q^+} = \frac{T_1 - T_2}{T_1 + \frac{C_V(T_1 - T_2)}{R\ln\wrapb{\frac{V_2}{V_1}}}}$
\\
Вывод: $\system{
	&4-1-2: Q^+ = \nu R T_1 \ln \frac{V_2}{V_1} + \nu C_V(T_1 - T-2) \\
	&2-3-4: Q^- = -\nu R T_2 \ln \frac{V_2}{V_1} - \nu C_V(T_1 - T-2) \\
}$
, дальше просто

Преимущества: Бесшумен, не имеет выхлопа, может работать при малой разнице температур, не расходует рабочее тепло

\subsection*{Двигатели внутреннего сгорания}
Цикл Отто \\
Цикл Дизеля

\section*{Теоремы Карно}
\enumerate {
	\item КПД любой обратимой машины Карно зависит только от температур 
	(не зависит от рабочего тела и конструктивных деталей двигателя)
	\item КПД Необратимой машины Карно не может быть больше КПД обратимой машиной,
	если используются одинаковые нагреватель и холодильник
}

АХАХАХХА, ОН ВТОРУЮ ПОЛОВИНУ ЛЕКЦИИ НАМ ЮТУБЧИК ПОКАЗЫВАЛ

\section*{Лекция 6 (2025-02-27)}

Напомним первое начало: $\delta Q = dU + \delta A$

\subsection{Второе начало термодинамики}

\textbf{Формулировка Кельвина}: невозможно создать двигатель, который всю ттеплоту преобразовывает в работу 
(невозможность вечного двигателя второго рода)

или: невозможен тепловой двигатель $(A = Q^+) \land (Q^-=0) \land (\eta=1)$
\\
\textbf{Формулировка Клаузиуса}: невозможен циклический процесс, при котором единственный результат: передача теплоты от менее нагретого к более нагретому

Или: невозможнен тепловой насос $(A = 0) \land (Q^+ = \wrapm{Q^-})$

\image{phy-0227-1}
Доказательство эквивалентности формулировок:
ничё не понял, он там какую-то ахинею рисует...

Докажем первую теорему Карно от противного: пусть есть 2 тепловые машины по циклу карно с разным кпд, но с одним нагревателем и холодильником:
\\
Запустим одну машину как тепловой двигатель, вторую - как тепловой насос. Пусть у первой $\eta = \frac 2 3$, у правой $\eta = \frac 1 2$. 
Получается, что такая машина перекачивала бы тепло от более холодного к более горячему - противоречие формулировка Клаузиуса (
Это станет более понятно, если нарисовать стрелочки тепла)

\section{Энтропия}
\image{phy-0227-2}

Для цикла Карно мы получили, что $\eta = 1 + \frac {Q^-}{Q^+} = 1 - \frac {T_2}{T_1}$, то есть $\\\frac{Q^-}{T_2} + \frac{Q^+}{T_1} = 0$ Рассмотрим
$\dst\oint\frac{\delta Q}T = \sum_{i=1}^4\oint_{i}^{i+1 \bmod 4}\frac{\delta Q}T = \frac{Q^+}{T_1} + 0 + \frac{Q^-}{T_2} + 0 = 0$

\textbf{Для любого циклического процесса} $\dst\oint \frac{\delta Q}T = 0$, поэтому $\dst dS = \frac{\delta Q}T$ - функция состояния (значение интеграла зависит только от начального и конечного состояния).

Нарисуем Цикл Карно в $TS$ координатах, получим, что $\delta Q = TdS$, тогда $\eta = 1 + \frac {Q^-}{Q^+} = 1 + \frac{T_2(S_1-S_2)}{T_1(S_2-S_1)} = 1 - \frac{T_2}{T_1}$

\par\noindent\rule{0.7\textwidth}{0.4pt}

Перепишем первое начало термодинамики в других формах:\\
$\dst C = \frac TT \frac{\delta Q}{dT} = T \frac{dS}{dT} \implies C_P = T\at{\wrapb{\frac{dS}{dT}}}P, C_V = T\at{\wrapb{\frac{dS}{dT}}}V \\
PV = \nu RT, \delta Q = dU + PdV \implies \mathbf{TdS = dU + PdV} \\
TdS = C_VdT + PdV = \nu c_V \frac {dT}T + \frac{PV}T\frac{dV}V = \nu c_V \frac {dT}T + \nu R \frac{dV}V \implies 
\ntab\text{через ($T$, $V$): } S = S_0 + \nu c_V \ln\frac{T}{T_0} + \nu R \ln\frac{V}{V_0}
\ntab\text{через ($P$, $V$): } S = S_0 + \nu c_p \ln \frac{V}{V_0} + \nu c_V \ln \frac{P}{P_0}
$

\section*{Лекция 7 (2025-03-03)}
\textbf{Закон возрастания энтропии} В адиабатически изолированной системе: $dS > 0 \text{ (}S(V, T) = C_V\ln\frac T {T_0} + R \ln\frac V {V_0}$)
- это годится как формулировка второго закона термодинамики

Пример 1: сосуд разделён на 2 части; в одной газ есть, в другой нет. Когда мы дадим газу занять весь сосуд, получаем:
\\
$\delta Q = 0; \delta A = 0 \implies dU = 0 \implies T = const; V_2 > V_1 \implies S_2 > S_1$

Пример 2: сосуд на 2 части, один моль газа слева, один моль (другого) газа справа; $T = const$; потом перегородку убираем, получаем:
\\
$\D S = \D S_1 + \D S_2$ (чтобы сделать процесс кавзистатическим, нужны полупроницаемые мембраны)

Прмер 3: соприкосновение 2 сред с разной температурой
\\
$\bar c = \frac T T \frac {\delta Q}{dT} \implies dS = \bar c m \frac {dT} T\\
\Delta S = \bar c_1 m_1 \ln \frac {T_3}{T_1} + \bar c_2 m_2\ln\frac {T_3}{T_2}$

\textbf{Принцип максимальной работы}: При переходе из состояния 1 в 2 максимальная работа достигается только при квазистатическом процессе

\section{Термодинамические функции и потанцевалы}
$P, V, T, U, S$ - это \textbf{термодинамические функции}

Термодинамические функции - функции двух независимых переменных

Основное термодинамическое тождество: $\delta Q = \delta U + \delta A \equiv TdS = dU + pdV$ \\
$\dst dU = \wrapb{\frac{\d u}{\d T}}_VdT + \wrapb{\frac{\d u}{\d V}}_TdV;\;
dS = \underbrace{\frac 1 T \wrapb{\frac{\d u}{\d T}}_{P}}_{P(T, V)}dT + \underbrace{\wrapb{P + \wrapb{\frac{\d u}{\d V}}_T}}_{Q(T, V)}\frac {dV}T$
$\dst\\\wraps{\text{из математики: }dF(T, V) = P(T, V)dT + Q(T, V)dV; \frac{\d^2 F}{dTdV} = \frac{d^2 F}{dVdT}
\implies \frac{\d P}{\d V} = \frac{\d Q}{\d T}}\\
\wrapb{\frac{\d P}{\d V}_T} = \frac{\d}{\d V} \wrapb{\frac 1 T \wrapb{\frac{\d u}{\d T}}_V}_T = \frac 1 T \wrapb{\frac{\d^2u}{\d T \d V}}_{VT}\\
\wrapb{\frac{\d Q}{\d T}}_V = \frac{\d}{\d T}\wrapb{\frac P T + \frac 1 T\wrapb{\frac{\d u}{\d V}}_T}_V 
= \frac 1 T\wrapb{\frac{\d P}{\d T}}_V - \frac P {T^2} + \frac 1 T\wrapb{\frac{\d^2u}{\d V\d T}} - \frac 1 {T^2}\wrapb{\frac{\d u}{\d V}}_T
\\
\text{Левые части равны; из прошлых 2 строчек: } \wrapb{\frac{\d u}{\d V}}_T = T\wrapb{\frac{\d P}{\d T}}_V - P \hspace{1cm}!!!$ - уравнение связи калорического и термического уравнения
\\ Пример: $PV = RT; \wrapb{\frac{\d P}{\d T}}_V = \frac R V$

\subsection{Внутренняя энергия}
$dU = TdS - PdV;\; T = \wrapb{\frac{\d u}{\d S}}_V;\; -P = \wrapb{\frac{\d u}{\d V}}_S $

\section*{Лекция 8 (2025-03-06)}

\subsection{Свободная энергия $F$}

$\dst F = U - TS;\hspace{1cm}dF = \underbrace{dU - TdS}_{-PdV} - SdT = -SdT - PdV;\hspace{1cm} F(V, T)\\
dF(V, T) = \wrapb{\frac{\d F}{\d V}}_TdV + \wrapb{\frac{\d F}{\d T}}_VdT \implies \system {
	&-P = \wrapb{\frac{\d F}{\d V}}_T \\
	&-S = \wrapb{\frac{\d F}{\d T}}_V
}\implies \wrapb{\frac{\d P}{\d T}}_V = \wrapb{\frac{\d S}{\d V}}_T$

\subsection{Энтальпия $H$}
$\dst H = U + pV\hspace{1cm}dH = \underbrace{dU + PdV}_{\delta Q = TdS} + VdP = TdS + VdP;\hspace{1cm} H(S, P)\\
dH(S, P) = \wrapb{\frac{\d H}{\d S}}_P dS + \wrapb{\frac{\d H}{\d T}}_SdP \overset{\text{аналогично}}\implies
\wrapb{\frac{\d T}{\d P}}_S = \wrapb{\frac{\d V}{\d S}}_P$

\subsection{Потенцивал Гиббса $G$}
$\dst G = H - TS\hspace{1cm}dG = dH - TdS - SdT = TdS + VdP - TdS - SdT = VdP - SdT;\hspace{1cm}G(P, T)\\
dG(P, T) = \wrapb{\frac{\d G}{\d P}}_T dP + \wrapb{\frac{\d G}{\d T}}_PdT \overset{\text{аналогично}}\implies
-\wrapb{\frac{\d S}{\d P}}_T = \wrapb{\frac{\d V}{\d T}}_P$

\subsection{Все соотношения максвелла:}
\mditem{
	\item $\wrapb{\frac{\d T}{\d V}}_S = \wrapb{\frac{\d P}{\d S}}_V$ [Внутренняя энергия]
	\item $\wrapb{\frac{\d P}{\d T}}_V = \wrapb{\frac{\d S}{\d V}}_T$ [Свободная энергия]
	\item $\wrapb{\frac{\d T}{\d P}}_S = \wrapb{\frac{\d V}{\d S}}_P$ [Энтальпия]
	\item $-\wrapb{\frac{\d S}{\d P}}_T = \wrapb{\frac{\d V}{\d T}}_P$ [Потенциал Гиббса]
}

\subsection{Химический потенциал}
Нужен, еси число частиц изменяется, чтобы учесть это, к каждому потенциалу добавить слагаемое $\mu^*dN$

Например, $dU = TdS - PdV + \mu^*dN$
\\
Выражения для него: $\mu^* = \wrapb{\frac{\d U}{\d N}}_{V, S} = \wrapb{\frac{\d F}{\d N}}_{T, V} 
= \wrapb{\frac{\d H}{\d N}}_{P, S} = \wrapb{\frac{\d G}{\d N}}_{T, P}$ - получаются из формул потенциалов

\subsection{Устойчивость термодинамической системы}
В необратимых самопроизвольных процессах при постоянстве естественных переменных соответствующий потенциал стремится к нулю 

Например: у нас есть раз, мы его изолировали и держим объём постоянным.
$TdS = C_VdT + PdV \implies \wraps{dQ = 0 \implies C_VdT = -P_0dV} \implies dS = \frac 1 T(P-P_0)dV$

\subsection{Третье начало термодинамики (тепловая теорема Нернста)}: При стремлении температуры к 0 энтропия
стремится к конечному значению $S_0$, не зависящему от давления, агрегатного состояния и т.п. (её можно положить 
равной нулю)

Следствия: $\dst C = \frac{\d Q}{dT} = T\frac{dS}{dT} \to 0$

----------------------------------------------------------------------------------------------------------

Изменение температуры при адиабатическом охлаждении:\\
$\dst - \wrapb{\frac{\d S}{\d P}}_T = \wrapb{\frac{\d V}{\d T}}_P$

Всю вторую половину лекции я проебал))

\section*{Лекция 9 (2025-03-10)}

в жидкостях с повышением температуры обычно теплоёмкость увеличивается

В твёдрых телах работает закон Дюлонга и Пти $C_V = 3R$ (для неметаллических тел).

Для металлов: поправка, связанная с теплоёмкостью электронов

при $T \to 0 : c_v \propto T^3$

\section{Статистический подход}
Напомним, что в молекулярной физике есть 3 подхода: 
\\
Динамический - система из $10^{23}$ уравнений, немного нерешабельно)))
\\
Термодинамический - основан на макропараметрах, $P, V, T, \nu$
\\
Статистический - основан на микропараметрах $\v x, \v v - N_A$ штук для 1 моля 

\textbf{Микросостояние} - совокупность всех микропараметров системы

\textbf{Макропараметр} - величина, определённая макроскопическими измерениями: величина определяется большим числом микросостояний

\textbf{Постулат равновероятности} (основной постулат статистической физики): микросостояния равновесной изолированной системы равновероятны и равны $P_S = 1 / \Gamma_0$, где $\Gamma_0: $ 
количество всех возможных микросостояний

\textbf{Эродическая гипотеза}: среднее по ансамблю равно среднему по времени: $\overline N_1 = \lim_{T \to \infty}\frac 1 T \int_0^TN_1(t)dt$

\textbf{Статистический ансамбль}: совокупность одинаковых статистических систем

Термодинамическая веростность $\Gamma(n,m)$ (макросостояния): число микросостояний, которыми реазируется данное макросостояния

Математическая вероятность: $P = \frac{\Gamma(n, m)}{\Gamma_0}$

Условие нормировки: суммарная вероятность всех исходов равна 1

Математическое ожидание/среднее значение: $\dst \wrapa{\xi} = \sum_{i=1}^n{\xi_i P_i}$

\subsection{Комбинаторика}

Число перестановок: сколькими способами можно поставить в ряд $n$ элементов: $P_n = n!$

Число размещений: сколькими способами из множества размером $n$ выбрать $m$ элементов и расставить в ряд: 
$A_n^m = \frac{P_n}{P_{n-m}} = \frac{n!}{(n-m)!}$

Число сочетаний: сколькими способами выбрать $m$ элемнетов из множества, содержащего $n$ одинаковых элементов: 
$C_n^m = \frac{A^m_n}{P_m} = \frac{n!}{n!(n-m)!}$

дисперсия: $\sigma^2 = \wrapa{\wrapa{\xi - \wrapa{\xi}}^2} = \wrapa{\xi^2} - \wrapa{\xi}^2$

Сейчас он рассказывает про вероятности, я это записывал в 234 праке, там хорошая методичка: \url{http://genphys.phys.msu.ru/rus/lab/mol/Lab234\_2019.pdf}

\section*{Лекция 10 (2025-03-17)}

\subsection{Биноминальное Распределение, распределение Гаусса и Пуассона}

<На этой лекции у меня был разряжен ноут, поэтому конспекта нет, я хз, перепишу я его из тетради или нет>

\subsection{Распределение Максвелла}
Вероятность того, что скорость в интервале $\system{
	&(v_x,v_x+dv_x)\rightarrow dP=f(v_x)dv_x \\
	&(v_y,v_y+dv_y)\rightarrow dP=f(v_y)dv_y \\
	&(v_z,v_z+dv_z)\rightarrow dP=f(v_z)dv_z \\
}\implies\\\implies dP(v_x,v_y,v_z)=\underbrace{f(v_x)f(v_y)f(v_z)}_{f(v)}dv_xdv_ydv_z\\
\dst\frac{\d}{\d v_x}\wrapb{\ln f(v)}=\frac{\d}{\d v_x}\wrapb{\ln f(v_x)+\ln f(v_y)+\ln f(v_z)}\implies
\frac{f'(v)}{f(v)}\frac{dv}{dv_x}=\frac{f'(v_x)}{f(v_x)}\implies\\\implies\wraps{v=\sqrt{v_x^2+v_y^2+v_z^2}\implies 
\frac{\d v}{\d v_x}=\frac{v_x}{\sqrt{\dots}}=\frac{v_x}v}\implies\frac1 v\frac{f'(v)}{f(v)}=\frac1{v_x}\frac{f'(v_x)}{f(v_x)}=\frac1{v_y}\frac{f'(v_y)}{f(v_y)}=\frac1{v_z}\frac{f'(v_z)}{f(v_z)}=:-\alpha\\
\frac {f'(v_x)}{f(v_x)}dv_x=-\alpha v_xdv_x\implies\ln(f(v_x))=-\frac{\alpha v_x^2}2+C,f(v_x)=C'\exp\wrapb{{\frac{-\alpha v_x^2}2}}\\
A\sqrt{\frac2\alpha}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{\frac{-\alpha v_x^2}2}dv_x\sqrt{\frac\alpha2}=1=\wraps{\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}dx=\sqrt\pi}=\sqrt{\frac{\alpha}{2\pi}}\exp\wrapb{{-\frac{\alpha v_x^2}2}}\\
\wrapa{\frac{mv^2}2} = \frac 3 2 k T \implies \wrapa{v^2} = 3 \frac { k T } m;\quad \wrapa{v_x^2}=\wrapa{v_y^2}=\wrapa{v_z^2} \implies \wrapa{v^2}=3\wrapa{v_x^2}=3\frac{kT}m\implies\wrapa{v_x^2}=\frac{kT}m\\
\wrapa{v_x^2} = \int_{-\infty}^{+\infty}v_x^2f(v_x)dx = \sqrt{\frac{\alpha}{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}v_x^2\exp\wrapb{-\frac{\alpha v_x^2}2}dv_x=-2\sqrt{\frac{\alpha}{2\pi}}\frac{\d}{\d \alpha}\int_{-\infty}^{+\infty}\exp\wrapb{-\frac{\alpha v_x^2}2}dv_x=\\=
\sqrt{\frac{\alpha}{2\pi}}(-2)\frac{\d}{\d \alpha}\sqrt{\frac2\alpha}\underbrace{\int_{-\infty}^{+\infty}\exp\wrapb{-\frac{\alpha v_x^2}2}\sqrt{\frac\alpha2}dv_x}_{\sqrt\pi} = -2\sqrt\alpha\frac\d{\d\alpha}\alpha^{-\frac 1 2} = \frac1\alpha = \frac{kT}m \implies \alpha = \frac m {kT}$
\[
f(v_x) = \sqrt{\frac{m}{2\pi k T}}\exp\wrapb{{-\frac{mv_x^2}{2kT}}};\hspace{1cm} f(v) = \sqrt{\wrapb{\frac{m}{2\pi k T}}^3}\exp\wrapb{{-\frac{m(v_x^2+v_y^2+v_z^2)}{2kT}}}
\]
\begin{wrapfigure}{r}{0.3\textwidth}
	\centering
	\includegraphics[width=0.28\textwidth]{mol-0317-1} 
	\includegraphics[width=0.28\textwidth]{mol-0317-2} 
\end{wrapfigure}

По абсолютным значениям скорости: С одинаковым значением скорости мы образуем "сферу"
с одинаковыми скоростями. поэтому вероятность нужно домножить на $4\pi v^2$:
\[
	\begin{aligned}
		&F(v) = \wrapb{\frac{m}{2\pi k T}}^{\frac 3 2}4\pi v^2\exp\wrapb{-\frac{mv^2}{2kT}}\\
		&v_\text{наив.} = \wraps{\frac{d F}{d v} = \dots = 0} = \sqrt{\frac{2kT}{m}}\\
		&\wrapa v = \int_0^\infty vF(v)dv = \sqrt{\frac{8kT}{\pi m}}\\
		&\wrapa{v^2} = \sqrt{\int_0^\infty v^2F(v)dv} = \sqrt{\frac{3kT}m}\\
	\end{aligned}
\]
\section*{Лекция 11 (2025-03-20)}
Thu Mar 20 09:02:14 MSK 2025

\textbf{Чтобы работало} распределение Максвелла, нужно, чтобы расстояние между молекулами $\Gamma_0 \gg \lambda = \frac h P$ было много больше длины волны Де Бройля.
Тогда можно сказать, что одна молекула занимает объём $\underset{\text{конц.}}n\cdot\Gamma_0^3 = 1$\\
$\dst\wrapb{\frac 1 n}^{\frac 1 3} \gg \frac h m \sqrt{\frac{m}{3kT}} \implies 1 \gg  \frac{hn^{\frac 1 3}}{\sqrt{3kTm}} \implies T \gg \frac{h^2n^{\frac 2 3}}{3km}$

\textbf{Принцип детального равновесия}: количество молекул $dN$ в объёме $dxdydz$ не меняется со временем невзирая на количество столкновений

средняя скорость $\dst\wrapa v = \sqrt{\frac{8kT}{\pi m}} = \sqrt{\frac{8RT}{\pi\mu}} \overset{He}\approx 1780 \text{м/с} \overset{O_2}\approx 460 \text{м/с}$

\subsection{Частота ударов молекул о стенку}
<У меня есть фотографии, перепишу позже...>

\section*{Лекция 12 (2025-03-24)}
Mon Mar 24 09:01:52 MSK 2025

\subsection{Уравнение менделеева-клапейрона}
Вычислим давление при температуре $T$ и концентрации $n$: $\D p = 2mv_{1x}\underset{}{\D N_1} = F_1 \D t$ \\
$\D N_1 = n_1 v_{1x}\D t S \frac 1 2$ - половина молекул летит на стенку \\
$\dst P_1 = \frac {F_1} S = n_1 mv_{1x}2 \implies P = \sum P_1 = m\frac{n_1 v_{1x}^2 + \dots + n_N v_{Nx}^2}nn = 
mn\wrapb{\frac{N_1}Nv_{1x}2 + \dots + \frac{N_N}Nv_{Nx}^2} = mn\wrapa {v^2_x} = \frac 1 3 mn\wrapa{v^2} = \frac 2 3 n\wrapa{E_k} = \frac 2 3 n \frac 3 2 k T = nkT = P$

---------------------------------------------------------------------------------

Распределение Максвелла по модулю скоростей: $\dst\wrapb{\frac m {2\pi k T}}^{3/2}3\pi v^2 \exp\wrapb{-\frac{mv^2}{2kT}}dv, \\
E = \frac {mv^2}2 \implies v = \sqrt{\frac{2E}m} \implies dv = \sqrt{\frac{1}{2mE}}dE$, по энергии: $\dst\wrapb{\frac m {2\pi kT}}^{3/2}4\pi \frac {2E} m\exp\wrapb{-\frac E {kT}}\frac 1{\sqrt{2me}}dE = \\
= \frac2{\sqrt \pi}\wrapb{\frac 1 {kT}}^{3/2}\sqrt{E}\exp\wrapb{-\frac E {kT}}dE
\implies \wrapa{E_k} = \int_0^\infty Ef(E)dE = \\ = \wraps{y^2 := \frac E {kT} \to \int_0^\infty y^4e^{-y^2}dy \to \int_0^\infty e^{-y^2}dy \to \frac {\sqrt \pi} 2} = \frac 3 2 k T\\
\wrapa{E^2} = \frac {15}4(kT)^2 \implies \sigma_E^2 = \wrapa{E^2} - \wrapa E^2 = \frac 3 2 (kT)^2$

\subsection{Беброметрическая формула}
Рассмотрим цилиндрический сосуд со слоем $dz$; рассмотрим силу на 1 молекулк: 
$\dst F_{z1}dN + F(z) - F(z+dz) = 0 \implies F_{z1}ndz = S(p(z + dz) - p(z)) \implies F_{1z}n = \frac {\d P}{\d z}, F = -\nabla \Pi \\
n = \frac P {kT} \implies \frac {-1}{kT}\frac {\d \Pi}{\d z} = \frac{\d P}{P \d z} \implies P = P_0\exp\wrapb{-\frac \Pi {kt}} = P_0 \exp\wrapb{-\frac{mgz}{kT} = -\frac{\mu g z}{RT}}$

\section{Boltzmann distribution}
Это, собственно, распределение, основанное на барометрической формуле: $\dst n=n_{0}e^{-\frac{\mu gh}{RT}}$

\section*{Лекция 13 (2025-03-27)}
Thu Mar 27 09:04:29 MSK 2025
\subsection{Распределение больцмана}
Описывает веростность того, что молекула с потенциальной энергией $U$ имеет
координаты $xyz + dxdydz: dP_B(x, y, z) =
\dst A\exp\wrapb{-\frac{U(x,y,z)}{k_BT}}dxdydz$.

Вывод: по барометрической формуле $\dst n(z) = n_0\exp\wrapb{-\frac{mgz}{kT}}
\implies N = \int_0^Hn_0\exp\wrapb{-\frac{mgz}{kT}}\cdot Sdz =
n_0S\frac{kT}{mg}\wrapb{1 - \exp\wrapb{-\frac{mgH}{kT}}};\quad n_0 =
\frac N{HS}\cdot\frac\dots\dots = \wrapa{n} \cdot \frac{mgH}{kT}\frac 1{1 -
\exp\wrapb{-\frac{mgH}{kT}}}$

Пример: Допустим, у нас есть цилиндрический сосуд, вращается со скоростью $\dst
\v \omega, F_\text{цб.} = m\omega^2r, \\A = \frac{m\omega^2r^2}2 \implies n(r) =
n_0\exp\wrapb{\frac{m\omega^2r^2}{2kT}}, N = \wrapa{n}V =
\int_0^H\int_0^{2\pi}\int_0^Rn_0r\exp\wrapb{\frac{m\omega^2r^2}{2kT}}drd\ph dz
= 2\pi H\int_0^Rn_0r\exp\wrapb{\frac{m\omega^2r^2}{2kT}}dr$ - простой интеграл,
берётся заменой $r^2 \to t$ :)

UPD: взяли интеграл на летучке...

\subsection{потанцевальные ямы}
\image{mol-03-27-1}
Попробуем найти низ потенциальной ямы; разложим энергию в ряд тейлора и
попробуем посчитать самые ёбнутые интегралы за эту лекцию:

$\dst U(X) = U_0 + \at{\frac{\d U}{\d x}}{x_0}(x-x_0) + \frac 1 2
\at{\frac{\d^2u}{\d x^2}}{x_0}(x-x_0)^2 + \dots; u_0 := 0, x_0 := 0 \implies
u(x) = cx^2 -gx^3 + fx^4; (c, g, f = \frac 1 {2!, 3!, 4!} \at{\frac {\d ^{2, 3,
4}u}{\d x^{2, 3, 4}}}{x_0})\\ \bar x = \frac { \int_{-\infty}^\infty x
A\exp\wrapb{-\frac{cx^2-gx^3+fx^4}{kT}}dx } { \int_{-\infty}^\infty
A\exp\wrapb{-\frac{cx^2-gx^3+fx^4}{kT}}dx}. \\ \int_{-\infty}^\infty x
\exp\wrapb{-\frac{cx^2}{kT}}\exp\wrapb{\frac{-gx^3+fx^4}{kT}}dx \approx\\\approx
\int_{-\infty}^\infty \exp\wrapb{-\frac{cx^2}{kT}}(\underbrace x_{=0} +
\frac{gx^4}{kT} - \underbrace{\frac{fx^5}{kT}}_{=0})dx =\\=
\frac{g}{c^2}\int_{-\infty}^\infty
\exp\wrapb{-\frac{cx^2}{kT}}\frac{x^4c^2}{(kT)^2}dx\sqrt{\frac{c}{kT}}\sqrt{\frac{kT}c}
= \\ =\frac{g(kT)^{3/2}}{c^{5/2}}\underbrace{\int_{-\infty}^\infty
e^{-t^2}t^4dt}_{=\frac 3 4 \sqrt \pi} = \frac{3g(kT)^{3/2}\sqrt \pi}{4c^{5/2}}
\\ \sqrt{\frac{kT}c}\int_{-\infty}^\infty
\exp\wrapb{-\frac{cx^2}{kT}}dx\sqrt{\frac{c}{kT}} = \sqrt\pi\sqrt{\frac{kT}c}
\implies \system{&\bar x = \frac{3gkT}{4c^2}\\ &\alpha_L = \frac 1{x_0}
\frac{dx}{dT} = \frac{3gk}{4x_0c^2}\\} $


\subsection{микросостояние статичтической системы, фазовое пр-во}
$\dst \Gamma_1 = dxdydzdP_xdP_ydP_z = h^3; \Gamma = \frac{\frac 4 3 \pi\rho^3
V}{h^3} = AE^{3/2}V$

\section*{Лекция 14 (2025-03-31)}
Mon Mar 31 09:03:15 MSK 2025
Разделим сосуд на 2 части. Посчитаем вероятность того, что в левой части энергия $E_1$: 

$\dst P(E_1) = \frac{\Gamma(E_1)\Gamma(E_2)}{\Gamma_0}, \frac{\d P(E_1)}{\d E_1}
= 0 = \frac{\d \ln P(E_1)}{\d E_1} = 0 = \frac{\d \ln \Gamma(E_1)}{\d E_1} +
\frac{\d \ln \Gamma(E_2)}{\d E_2}\underbrace{\wrapb{\frac{\d E_2}{\d E_1}}}_{=
-1} = 0\\
\frac{\d \ln \Gamma(E_1)}{\d E_1} = \frac{\d \ln \Gamma(E_2)}{\d E_2} \implies T_1
= T_2 \implies \frac{\d \ln \Gamma(E)}{\d E} = \frac 1 {kT}$ - статистическое
определение температуры.

\subsection{Распределение Гиббса}
$\dst P(\eps) = \frac{\Gamma(\eps)\Gamma(E_0 = \eps)}{\Gamma_0} \implies P(\eps) =
A\exp\wrapb{-\frac{\eps}{kT}}$

$E \to g(E) = \frac{dP_xdP_ydP_zdxdydz}{h^2} \implies dP =
A\exp\wrapb{-\frac{E}{kT}}dP_xdP_ydP_zdxdydz; E = \frac{mv^2}2 + \Pi(x, y, z)
\implies dP(E) = dP_\text{М} \cdot dP_\text{Б}, dP_\text{М} = A\exp\wrapb
{-\frac{mv^2}{2kT}}\cdot 3\pi v^2dv$

\subsection{Определение энтропии}
$S = f(P)$: энтропия - это функция от вероятности..? $P =
\frac{\Gamma}{\Gamma_0}$. Пример: есть 2 объёма с $S_1, P_1; S_2, P_2$. При
объединении систем: $S_{12} = S_1 + S_2; P_{12} = P_1 \cdot P_2. S_{12} = f(P_1)
+ f(P_2) = f(P_1P_2) \implies f(P) = C \ln(P) = A \ln (\Gamma)$

Найдём $A$: $S(V, T) = C_V\ln\frac{T}{T_0} + R\ln\frac{V}{V_0}$. возьмём 2
сосуда с равными объёмами и объединим их: $\D S = R \ln 2 = A \ln
\frac{\Gamma_\text{Стало}}{\Gamma_\text{Было}} = A\ln\frac{2^{N_A}}1;\quad R =
AN_0 \implies A = k_\text Б$

\[S = k_\text Б \ln\Gamma\]

\subsection{Теорема о равнораспределении $E$ по степеням свободы}

$\dst \wrapa{\eps} = \frac{m \wrapa{v_x^2}}2 + \frac{m \wrapa{v_y^2}}2 + \frac{m
\wrapa{v_z^2}}2 = \frac{kT}2 + \frac{kT}2 + \frac{kT}2 \\
\wrapa{\frac{m{v_x^2}}2} = \int_{-\infty}^\infty \sqrt{\frac{m}{2\pi k
T}}\exp\wrapb{-\frac{mv_x^2}{2kT}}\cdot \frac{mv^2_x}2dv_x = \frac{kT}2\\
\wrapa{\frac{\c J_x \omega_x^2}2} = \frac{\dst \int_{-\infty}^\infty A\exp\wrapb{-\frac{\c
J\omega^2_x}{2kT}} \frac{\c J \omega_x^2}2d\omega_x } {\dst \int_{-\infty}^\infty A
\exp\wrapb{-\frac{\c J\omega^2_x}{2kT}}d\omega_x } = \frac{kT}2\\
\wrapa{E} = \wrapa{\frac{mv_x^2}2} + \wrapa{\frac{kx^2}2} =
\wrapa{\frac{mv^2_x}2} + \wrapa{\frac{m\omega^2x^2}2} = \frac{kT}2 + \frac{\dst
\int_{-\infty}^\infty\frac{m\omega^2x^2}2A\exp\wrapb{-\frac{m\omega^2x^2}{2kT}}dx} 
{\dst  \int_{-\infty}^{\infty}A\exp\wrapb{-\frac{m\omega^2x^2}{2kT}}dx} =
\frac{kT}2 + \frac{kT}2 = kT\\
\wrapa{\eps} = \frac{\wrapb{i_\text{пост} + i_\text{вращ} + 2i_\text{кол}}}2kT$

\subsection{Броуновское движение}
Блуждание частицы: одно перемещение под поздействием ударов

$\dst \vec r_n = \sum_i\vec q_i \implies \wrapa{r^2} = 
\wrapa{\sum_{i \neq j}\vec q_i \cdot \vec q_j} + \wrapa{\sum_i q_i^2}
= \wrapa{\sum_iq_i^2}$

\section*{Лекция 15 (2025-04-10)}
Thu Apr 10 09:04:19 MSK 2025

\subsection{я неделю болел, поэтому пары конспектов нет...}

\subsection{явления переноса}
Диффузия - перенос вещества $\dst J = -D\frac{dn}{dx}; m = -D\frac{\D p}{\D x} \D s \D t; D = \frac n \rho$\\
Вязкость - перенос импульса $\dst F = \eta\wrapm{\frac{dv}{dx}}S; \eta =   \frac 1 3 \rho\wrapa v \lambda = Dp$\\
Теплопроводность - перенос энергии $q - \chi \frac{dT}{dx}s; \chi = \frac 1 3 \wrapa v \rho C_V = \eta C_V$
\section*{Лекция 16 (2025-04-14)}
Mon Apr 14 09:03:12 MSK 2025
\subsection{какая-то нестационарная диффузия}

\imagee{mol-0414-1}{mol-041402}
$\dst \D n = -\wrapb{\c J_N(x + \Dx) - \c J_N(x)}x \implies \frac{\D n}{\Dx \D s \D t} =
\frac{\D n}{\D t} = -\frac{\c J_N(x + \Dx) - \c J_N(x)}\Dx \overset{\Dx, \D t \to 0}
\implies \frac{\d n}{\d t} = -\frac{\d \c J_N}{\d x} \overset{\c J_n = -D \frac{\d
n}{\d x}}= D\frac{\d^2n}{\d x^2}$ -
уравнение нестационарной диффузии в одномерном случае.

\subsection{какая-то нестационарная теплопроводность}
Она рассматривается аналогично; 2 площадки, поток тепла $\c J_Q$\\
$\dst \D Q = \bar c m \D T = \bar c \rho \D s \Dx \D T; \D Q =
-\wrapb{\c J_Q(x+\Dx) - \c J_Q(x)}\D S \D t \implies \frac{\D T}{\D t} = -\frac{ \c J_Q(x
+ \Dx) -\c J_Q(x)}{\Dx} \cdot \frac 1 {\bar c \rho} \overset{\D t, \Dx \to
0}\implies \frac{\d T}{\d t} = -\frac{\d \c J_Q}{\d x \cdot \bar c \rho}
\overset{\c J_Q = -\chi\frac{\d T}{\d x}}=\frac{\chi}{\bar c \rho}\frac{\d
T}{\d x^2} $
\\

\subsection{явления перереноса в разряженном газе}
$\frac{\D N}{\D S \D t} = \frac{\D N_1 - \D N_2}{\D S \D t} = \frac 1 4 \wrapa v
(n_1 - n_2) = \frac 1 4 \wrapa v \frac{\rho_1 - \rho_2}{kT}$

Допустим, теперь есть перегородка между газами, значит, поток в 2 стороны через
неё будет равным в 2 стороны: $\c J_1 = \c J_2 \implies \frac{n_1\wrapa {v_1}}4
= \frac{n_2\wrapa{v_2}}4 \implies \frac{P_1}{\sqrt{T_1}} = \frac{P_2}{\sqrt{T_2}}$

\section{Нереальные газыыыыыы. Уравнение военно-воздушных войск (ВДВ) [ван дыр
вальса]}
% \image{mol-0414-3}
Смотрите методичку 230 прака, там все картинки. Я устал от \LaTeX. Очень. Сюда
невозможно картинки нормально вставить. Давайте теперь займёмся математикой: 
\subsection{молекулы имеют конченый размер :0}
$p = \frac{\nu R T}V = \frac{\nu RT}{V - \nu b}$. Пофиг на моли, $\nu = 1$, в грубом приближении
взаимодействие парное. 2 молекулы находятся в шарике, посчитаем его объём: $V =
\frac 4 3 \pi (2r_0)^3; b = \frac{N_A}2 \frac 4 3 \pi 8 r_0^3$

Но давайте представим, что молекулы упакованы не парами, а сотами (типа они
круглешки). Тогда при $p \to \infty$, $V \to b = 1.35 N_AV_0$

Но! у нас будет пристеночный слой. В этом объёме молекулы размещаться не смогут
немного. Поэтому надо вычесть пристеночный объём. Но если сделать оценки, то
этот объём дохуя мал : $V \ll b$
\subsection{сила притяжения молекул}
В газе уравновешивается, а у стенок - нет. Поэтому давление будет меньше...

$F_\text{вз} = F_1$. Увеличим концентрацию в 2 раза. В том же объёме в 8 раз
больше молекул, и каждая молекула притягивается к каждой. $4F_1$. Ой ну это
такой идиотизм, мы этой хуйнёй зантимаемся потому, что хотим сказать: $F \propto
n^2 \implies F \propto \frac{\nu^2}{V^2}$, $P = \frac{\nu RT}{V - \nu b} - \D p,
\D p = a\frac{\nu^2}{V^2}$ поэтому УРАВНЕНИЕ ВДВ:

\[\wrapb{P + a\frac{\nu^2}{V^2}}\wrapb{V-\nu b} = \nu RT\]

Приведённое уравнение: $\pi := \frac{\rho}{\rho_\text{кр}}; \omega :=
\frac{\omega}{\omega_\text{кр}}; \tau := \frac{T}{T_\text{кр}} \implies$

\subsection{}

\end{document}
