\input ../common.inc
\everymath{\displaystyle}
\begin{document}

\section*{Определители}

\subsection*{Определитель $n$-ого порядка}

Щас будем рассматривать определитель:

Полилинейность: <пропустил кусок лекции>

Кососимметричность: $f(x, y) - -f(y, x)$
\ntab Пример: $f(x, y) = x - y$
\ntab $f(x, y, z) = -f(x, z, y)$

Определитель: $A=K^{n\times n};\;  = \mrx{
	a^1_1 & \dots & a^1_n \\
	\vdots & \dots & \vdots \\
	a^n_1 & \dots & a^n_n} = \mrxddet{A_1 \dots A_n} \\
\det A = \mrxdet{A_1, A_2, \dots, A_n}$ Обладает 3 свойствами:
\begin{enumerate}\setlength\itemsep{0pt}
	\item Полилинейности:
	\ntab $\mrxdet{\alpha^1A_1^1 + \alpha^2A_1^2, A_2, \dots, A_n} = 
	\alpha_1\mrxdet{A_1^1, \dots, A_n} + \alpha_2 \mrxdet{A_1^2, \dots, A_n}$
	\item Кососимметричности:
	\ntab $\mrxdet{A_1, A_2, \dots, A_n} = -\mrxdet{A_2, A_1, \dots, A_n}$
	\item Нормировки $\det \id = 1:
	\ntab \id = \mrx{1 & 0 \\ 0 & 1} = \mrxddet{e_1, e_2, \dots, e_n}, 
	e_1 = \mrx{1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0}, e_2 = \mrx{0 \\ 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0}, \dots, e_n = \mrx{0 \\ \vdots \\ 0 \\ 1}$
	\ntab Свойство базисности: столбцы $e_1, \dots, e_n$ являются базисом в пр-ве столбцов
	\ntab $\mrx{\alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \alpha_3} = \alpha_1\mrx{1\\0\\0} + \alpha_2\mrx{0\\1\\0} + \alpha_3\mrx{0\\0\\1}$
	 - ЛК 
\end{enumerate}

Определитель как функция столбцов $A: \det A = \mrxdet{A_1, \dots, A_n}
\ntab A_1 = \sum_{\sigma_1 = 1}^na_1^{\sigma_1}e_{\sigma_1}, \dots, A_n = \sum_{\sigma_n = 1}^na_n^{\sigma_n}e_{\sigma_n} \\
\det A = \mrxdet{\sum_{\sigma_1 = 1}^na_1^{\sigma_1}e_{\sigma_1}, \dots, A_n} = \sum_{\sigma_1 = 1}^na_1^{\sigma_1}\mrxdet{e_{\sigma_1}, A_2, \dots, A_n}
 = \sum_{\sigma_1 = 1}^n\sum_{\sigma_2 = 1}^n\dots\sum_{\sigma_n = 1}^na_1^{\sigma_1}a_2^{\sigma_2}\dots a_n^{\sigma_n}\mrxdet{e_{\sigma_1}, e_{\sigma_2}, \dots, e_{\sigma_n}}$ \\
По кососимметричности $\mrxdet{e_1, e_1, \dots, e_{n-1}} = -\mrxdet{e_1, e_1, \dots, e_{n-1}} = 0$, т.е. если хотя бы 2 инд. совпадают, опр. равен нулю

$\sigma = \ss{\sigma_1, \sigma_2, \dots, \sigma_n},\; \all (i \neq j \implies \sigma_i \neq \sigma_j): |e_{\sigma_1}, \dots| \neq 0$, поэтому $\sigma$ - перестановки, их $n!$
\ntab
По нормировке: $|e_1, \dots, e_n| = 1 \overset{\text{По нормировкe}}\implies |e_{\sigma_1}, \dots, e_{\sigma_n}| = \pm 1$
\ntab
[Перестановки образовывают группу, но у нас на это нет времени...]
\ntab
Введём чётность перестановки: чётная (нечётная) перестановка получается чётным (нечётным) 
\ntab 
количеством транспозиций, знак перестановки: $\sgn \sigma = (-1)^{(\text{кол-во перестановок})}$

$det A = \sum_{\sigma}^n\sgn \sigma \cdot a_1^{\sigma 1}\dots a_n^{\sigma_n}$

\subsection*{Системы Крамера}
$\system{
	a_1^1x^1 + \dots& + a_n^1x^n = b^1 \\
	\vdots& \\
	a_1^nx^1 + \dots& + a_n^nx^n = b^n \\
} \implies x^1\mrx{a_1^1 \\\vdots \\ a_1^n} + \dots + x_n\mrx{a_n^1\\\vdots\\a_n^n} = \mrx{b^1\\\vdots\\b^n} \implies x^1A_1 + \dots + x^nA_n = B \\
A := \mrxddet{A_1, \dots, A_n}, \Delta = \det A \neq 0, \Delta_1 = \mrxdet{B, A_2, \dots, A_n}, \dots, \Delta_n = \mrxdet{A_1, \dots, A_{n-1}, B} \\
\Delta_1 = \mrxdet{x^1A_1 + \dots + x^nA_n, A_2, \dots, A_n} = x^1\mrxdet{A_1, \dots, A_n} + x^2\underbrace{\mrxdet{A_2, A_2, \dots, A_n} + \dots}_{=0} \implies\\
\implies x^1 = \frac{\Delta_1}\Delta, \text{Аналогично} x^k = \frac{\Delta_k}\Delta$

\subsection*{Свойства определителя $n$-ого порядка}
\begin{enumerate}
	\item $\det A = \det A^T$
	\item $\det (A\cdot B) = \det A \cdot \det B$. Доказательство:
	$C:= A\cdot B = \mrxddet{A^1 \\ \vdots \\ A^n}\mrxddet{B_1, \dots, B_n} = \mrx{A^1B_1 & \dots & A^1B_n \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ A^nB_1 & \dots & A^nB_n}
	\ntab C_k = \mrx{A^1B_k \\ \vdots \\ A^nB_k} = \sum_{s=1}^n\mrx{a^1_sb^s_k \\ \vdots \\ a^n_sb^s_k} = \sum_{s=1}^nb^s_kA_s$, т.е. $K$-ый столбец $(A\cdot B)$ - ЛК столбцов $A$, с коэфф-ами из $k$-ой строки $b$
	\ntab $\det C = \mrxdet{C_1, \dots, C_n} = \mrxdet{\sum_{s_1=1}^nb_1^{s_1}A_{s_1}, \dots} = \sum_{\sigma} \sgn n \cdot b_1^{\sigma_1}\dots b_n^{\sigma_n}\det A = \det A \cdot \det B$
	\item $\mrxdet{1 & a^1_2 & \dots & a^1_n \\ 0 & a^2_2 & \dots & a^2_n \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & a^n_2 & \dots & \a^n_n} = \mrxdet{a^2_2 & \dots & 2^2_n \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ a^n_2 & \dots & a_n^n}$
	\item Определитель треугольной матрицы: т.к. $a^j_k = 0, k > j:$ перестановка $\neq 0 !: \sigma_1 < \sigma_2 < \dots < \sigma_n$ - то есть в единственном случае, который соответствует диагонали \\
	$\mrxdet {a_1^1 & 0 & \dots &\dots& 0 \\ a_1^2 & a_2^2 & 0 & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ a^{n-1}_1 & a^{n-1}_2 & \dots & a^{n-1}_{n-1} & 0\\ a_1^n & a_2^n & \dots & a^n_{n-1} & a^n_n} 
	= \prod_{i=1}^n a_i^i$
\end{enumerate}



\end{document}
