\input ../common.inc

\begin{document}

\subsubsection*{Лекция 2}

Докажем, что $\det A = 0 \Longleftrightarrow $ столбцы ЛЗ

Достаточность:
$A = \mrxddet{A_1, \dots, A_n}, \e (\alpha^1, \alpha^2, \dots) \neq (0, 0, \dots): \alpha^1A_1 + \dots + \alpha^nA_n = 0$
$\beta_n = \frac{\alpha_n}{\alpha_1}$, 

Пусть $\alpha_1 \neq 0$: $A_1 = \frac{\alpha_2}{\alpha_1}A_2 - \dots$

$\det A = \mrxdet{A_1, A_2, \dots} = \mrxdet{\beta^2A_2 + \dots, A_2, \dots} = $ [по полилинейности] $= 0$

\subsection*{Разложение по столбцу/строке}
Пусть $A \in K^{n\times n}, \det A = |A_1, A-2, \dots, A_n|, A_j = \sum_{k=1}^na^k_je_j, \\
\det A = \mrxdet{A_1, A_2, \dots, A-n} = \mrxdet{A_1, \dots, a^k_je_k, \dots, A_n} = a^k_jA^k_j, \text{где }\\
A^k_j = \mrxdet{A_1, \dots, A_{j-1}, e_k, A_{j+1}, A_n}$, перестановками приводим к виду, где первый столбец - это $\mrx{1\\0\\\vdots\\0}$,
таким образом получаем, что знак $(-1)^{k+j}$, т.е. можно записать

\[\dst \det A = \sum_ka^k_jA^k_j \overset{A^k_j = (-1)^{k+j}M^k_j}= \sum_k(-1)^{k+j}a^k_jM^k_j\text{ - это разложение по }j\text{-ому столбцу}\]

$\det A = \det A^T = (a^T)^k_j(A^T)^k_j \overset{(a^T)^k_j = a^j_k}= \sum_ja^k_jA^k_j$ - разложение по $j$-ой строчке

\subsection*{Фальшивое разложение определителя}
$\det A = \mrxdet{A_1, \dots, A_n} = \mrxdet{A-1, \dots, A_{j-1}, A_j, A_{j+1}, \dots, A_n}$ \\
Рассмотрим $\mrxdet{A-1, \dots, A_{j-1}, A_P, A_{j+1}, \dots, A_n}, P \in \overline{1,n}, P \neq j \implies \det A^P = 0$ \\
Разложим по базису: $A^P = \sum_{k=1}^n\mrxdet{A_1, \dots, A_{j-1}, e_k, A_{j+1}, \dots, A_n}  = a^k_PA^k_j
\implies \det\sum_ka^k_PA^k_j = \det A\cdot\delta_{kp}$\\

\subsection*{Обратная матрица}
$A = \mrx{a^1_1 & \dots & a^1_n \\ \vdots & & \vdots \\ a^n_1 & \dots & a^n_n};\; A^{-1}\cdot A = A \cdot \inv A = \id$

Необходимое условие существования: $\det A \neq 0$: легко выводится из определителя произведения

Достаточное условие: $A^T = \mrx{a^1_1 & \dots & a^n_1 \\ \vdots & & \vdots \\ a^1_n & \dots & a^n_n}; 
\adj A = A^\lor = \mrx{A^1_1 & \dots & A^n_1 \\ \vdots & & \vdots \\ A^1_n & \dots & A^n_n}; A\cdot A^\lor 
= \mrxddet{A^1\\A^2\\\vdots\\A^n} \cdot \mrxddet{A^{\lor^1}, A^{\lor^2}, \dots} = \\ 
= \mrx{A^1A^{\lor^1} & \dots & A^1A^{\lor^n} \\ \vdots && \vdots \\A^nA^{\lor^1} & \dots & A^nA^{\lor^n} } 
= \text{по фальшивому разложению} = \diag \det A = \det A \cdot \id$

Тогда получаем, что обратная матрица $A^{-1} = \frac 1 {\det A} A^\lor$

\subsection*{Теорема о базисном миноре}

У нас буквом $M$ обозначается ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЙ минор. Рассмотрим обычный:

Минор матрицы: $A \in \s K^{n\times m} = \mrxddet{A^1\\\vdots\\A^m} = \mrxddet{A_1, \dots, A_n}, r \in [1, \min\ss{m, n}]$

Выберем $r$ строк и столбцов, не меняя порядок, $\\\vvsystem[. {
	&A^{j_1}, \dots, A^{j_m}, 1 \leq j_1 < j_2 \dots < j_r \leq m \\
	&A_{i_1}, \dots, A_{i_n}, 1 \leq i_1 < i_2 \dots < i_r \leq n \\
}$, и составим матрицу из пересечения выбранных строчек и столбцов,\\
и определитель этой матрицы называется минор: $= M^{j_1, \dots, j_r}_{i_1, \dots, i_r}$

Базисный минор: Минор порядка $r$ базисный, если он $\neq 0$, а любой минор $r+1$ порядка, если $\e$, $=0$

Не существует минора нулевой матрицы

Попробуем найти базисный минор: $\mrx{1 & 0 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0}: \text{берём} M^{1, 2}_{1, 2} = \mrxdet{1 & 0 \\ -1 & 1} = 1$ 

Можно найти базисный минор по схеме Гаусса-Жордана

Строчки и столбцы, на пересечении которых находится базисный минор, называются базисными

САМА ТЕОРЕМА (о базисном миноре):\ntab
\begin{enumerate}\setlength\itemsep{0pt}
	\item Базисные столбцы ЛН
	\item Любой столбец матрицы есть ЛК базисных (то же со строками)
\end{enumerate}

Другими словами: Базисные столбцв образовывают базис в линейной оболочке столбцов матрицы

Доказательство: для простоты базисный минор $\e$ - первые $r$ строк и столбцов
\ntab$M \neq 0 \implies \ss{A^{1:r}_1, \dots, A^{1:r}_r}$ ЛН, при этом полные столбцы $\ss{A_1, \dots, A_r}$ тоже ЛН \tiny (мы можем пойти от обратного: предположить, что ЛЗ, составть ЛК$=0$ по определению, стереть часть столбцов и получить противоречие)

\normalsize Если $A_j: j \in \overline{1,r}:$ то выражается как лк $\alpha = 0, \dots, 1_j, \dots, 0$\ntab
Иначе, рассмотрим столбцы $A_1, \dots, A_r, A_j$, строки $A^1, \dots, A^r, A^s$ $s \in \overline{1,m}$-ую строку, и рассмотрим полученный минор:
Если $s \in \overline{1, r}$, то $M = 0$ (есть ЛЗ строки), иначе $M = 0$ т.к. минор $r+1$, и он всегда равен 0 (по условию базисного минора), тогда
все строки и столбцы ЛЗ, тогда $\e$ ЛК столбцов, переносим $A_j$ вправо, получаем $A_j = $ЛК$\ss{A_1, \dots, A_r}$
$\blacksquare$

\end{document}
