\input ../common.inc

\begin{document}
\section*{Линейное пространство}
Пусть $\all a, b \in \mathcal L:
\ntab a+b \in \mathcal L
\ntab \beta\cdot a \in \mathcal L \;(\all \beta \in \s K)$

Линейное пространство: множество $\mathcal L$ с двумя операциями называется ЛП, если выполнены следующие св-ва 
этих операций: \\
1. Коммутативность ($a+b = b+a$) \\
2. Ассоциативность ($a + (b + c) = (a + b) + c$) \\
3. $\e \theta, \all a: a + \theta = a$ (сущ. нулевой элемент) \\
4. $\all a\, \e (-a) \in \mathcal L: a + (-a) = \theta$ \\
5. $\all a 1 \cdot a = a$ \\
6. $\beta(\gamma\cdot a) = (\beta\cdot\gamma)a$ \\
7. $(\beta + \gamma)a = \beta\cdot a + \gamma\cdot a$ \\
8. $\beta(a+b) = \beta\cdot a + \beta\cdot b$

Пример: вектор на прямой $V_1$, аналогично $V_2, V_3$

Другой пример: $P_n(\s{R}):t^0\cdot\alpha_0+t^1\cdot\alpha_1+\dots+t^n\cdot\alpha_n$

Третий пример: Матрицы! $A,B \in K^{m\times{n}}$
\\\\
Лемма 1: Нулевой элемент единственен

Доказательство: Пусть нул. элемента два: $\theta_1, \theta_2: \ntab\system{
	a + \theta_1 = a\\
	a + \theta_2 = a
} \implies \system {
	\theta_2 + \theta_1 = \theta_2 \\
	\theta_1 + \theta_2 = \theta_1
} \implies \theta_1 = \theta_1 + \theta_2 = \theta_2 + \theta_1 = \theta_2 
\implies \mathbf {\theta_1 = \theta_2}$ 
\\
Лемма 2: противоположный вектор единственен.

Доказательство: Пусть $a, b, c \in \mathcal L : \system{a + c = \theta \\ a + b = \theta}\ntab
c = c + \theta = c + (a + b) = (c + a) + b = \theta + b = b \implies \mathbf{c = b}$
\\
Лемма 3: Пусть $a, b \in \mathcal L$ фиксированы, тогда $\e!x: a + x = b$

Доказательство: Существование: $x = b + (-a)$ (очевидно); Единственность: $x = (x + a) + (-a) = b + (-a)$
\\
Лемма 4: $0 \cdot a = \theta$

Доказательство: $0 \cdot a = (0 + 0) \cdot a = 0 \cdot a + 0 \cdot a$. Рассмотрим ур-е, $\e!x:0\cdot a + x = 0\cdot a \implies
\ntab\implies x = 0\cdot a + 0\cdot(-a) = 0$
\\
Лемма 5: $\alpha \cdot \theta = \theta$

Доказательство: $(*) = \alpha \cdot (\theta + \theta) = \alpha\theta + \alpha\theta$, далее аналогично (4). 
\\
Лемма 6: $(-a) = -1\cdot a$

Доказательство: $1\cdot a + (-1)\cdot a = (1 - 1)\cdot a = 0\cdot a = \theta$, поэтому по единственности $-a = -1\cdot a$
\\
Вот они и все основные свойства

\section*{линейная (не)зависиость}

$\alpha_1\cdot a_1 + \dots + \alpha_n \cdot a_n$ - ЛК

Тривиальная ЛК: $\alpha_1\dots\alpha_n = 0$

Семество $a_1\dots a_n$ ЛЗ, если $\e$ нетривиальная ЛК $=0$

Семейство $a_1\dots a_n$ ЛН, $\e$ ЛК $=0 \ioi \alpha_1\dots\alpha_n=0$
\\
Лемма 7: Вектор $a$ линейно зависим тогда и только тогда, когда он равен $\theta$

Доказательство: 
\ntab необходимость: $\alpha\cdot a = \theta, \alpha \neq 0 \implies a = \frac 1 \alpha \theta$
\ntab достаточность: $a = \theta: 1 \theta = \theta \implies a $ ЛЗ
\\
Лемма 8: Если семейство содержит $\theta$, то оно ЛЗ

Доказательство: $\alpha \cdot \theta + 0\cdot\alpha_1 + \dots + 0\cdot\alpha_n = \theta$
\\
Лемма 9: Если у семейства есть ЛЗ подсемейство, то само семейство тоже ЛЗ

Доказательство: $\Delta = \ss{a_1, \dots, a_m, a_{m+1}, \dots, a_n}$, где $\ss{a_1, \dots, a_m}$ ЛЗ. $\implies \e \ss{\alpha_1, \dots, \alpha_m}$: ЛК $=0$
\ntab Покажем ЛК: $\alpha_1 a_1 + \dots + \alpha_m a_m + 0 \cdot a_{m+1} + \dots + 0 \cdot a_n = \theta \implies \ss{a_1\dots a_n}$ - ЛЗ 
\\
Лемма 10: Если семейство векторов $a_1\dots a_n$ ЛН, то любое его подсемейство ЛН

Доказательство: тривиально
\\
Лемма 11: Пусть семейство состоит из $>2$ векторов. Тогда для ЛЗ Необходимо и достаточно, чтобы
\ntab Одиин из векторов линейно выражался через оставшиеся

Доказательство:
\ntab Необходимость: Существует ЛК $=0$, пусть $\alpha_1 \neq 0 \implies a_1 = -\frac{\alpha_2}{\alpha_1}a_2 - \frac{\alpha_3}{\alpha_1}a_3 + \dots$ - выражается
\ntab Достаточность: пусть $a_1 = \beta_2a_2 + \dots \implies (-1)a_1 + \beta_2a_2 + \dots = \theta$ - ЛЗ

\subsection*{Лирическое отступление}
Теорема о базисном миноре: $\b A \in \s K^{m\times n}$, базисные стобцы базисного минора образовывают базис

Пусть у матрицы $\b A = \mrxddet{A^1 \\ \vdots \\ A^m} = \mrxddet {A_1 &\dots & A_n} \e$ базисный минор, построен на первых $1 \leq r \leq \min(n, m)$ строках, столбцах

Запишем $A^T = \mrxddet{A_1^t \\ \vdots \\ A_m^T} = \mrxddet {A^{1^T} &\dots & A^{n^T}}.\; (A')^T = \alpha^1A^{1^T} + \dots \implies A' = \alpha^1A^1 + \dots$, 
крч не понял я это доказательство, но вроде понятно, что для строк теорема о базисном миноре работает.
\\\\
Рассмотрим однородную, но не квадратную систему уравнений: \\
$\system{
	&a^1_1x^1 + \dots + a^1_nx^n = 0 \\
	&a^2_1x^1 + \dots + a^2_nx^n = 0 \\
	&\vdots \\
	&a^m_1x^1 + \dots + a^m_nx^n = 0 \\
}, 1 \leq m < n \hspace{1cm} (!!!)$
\\
Лемма 12: у этой системы $\e$ нетривиальное решение.

Доказательство: перепишем в матричной форме: $\mrx{
	a^1_1 & \dots & a^1_n  \\
	\vdots & \vdots & \vdots \\
	a^m_1 & \dots & a^m_n  \\
}\cdot \mrx{x^1 \\ \vdots \\ x^n} = \mrx{0\\\vdots\\0}
\ntab A = \mrxddet{A^1 \\ \vdots A^m},  \system {
	&A^1\cdot \c X = 0 \\
	&\vdots \\
	&A^m\cdot\c X = 0
}$ - если раскрыть, то это изначальная система.  \\
если $A$ нулевая, решение тривиально. если ненулевая, то есть базисный 
минор (пусть расположен удобно), тогда $j$-ая строка $=c_j^1A^1 + \dots + c^j_rA^r$
(по т-ме о базисном миноре). Рассмотрим укороченную с.\\
$\system {
	&A^1\cdot \c X = 0 \\
	&\vdots \\
	&A^r\cdot\c X = 0
}$ решения полной явл. решениями укороченной. \\проверим обратное:
$A^j\c X = c_1^j(a^1\c X) + \dots + c^j_r(A^r\c X) = c^j_1\cdot 0 + \dots = 0 \hspace{1cm} (j = \overline{r+1, m})$\\
Получается система: 
$\system{
	&a^1_1x^1 + \dots + a^1_nx^n = 0 \\
	&\vdots \\
	&a^r_1x^1 + \dots + a^r_nx^n = 0 \\
} \implies \system {
	&a^1_1x^1 + \dots + a^1_rx^r = - a^1_{r+1}x^{r+1} - \dots - a^1_nx^n \\
	&\vdots \\
	&a^r_1x^1 + \dots + a^r_nx^r = - a^r_{r+1}x^{r+1} - \dots - a^r_nx^n \\
} \\  (1 \leq r \leq \min\ss{m, n} < n) \\
\tilde {\b A_r}\cdot \b{\c{X}}_r = \b B_r;\; \det \tilde{\b A_r} \overset{\text{def}}\neq 0
\implies \c X_r = \wrapb{\tilde{\b A_r}}^{-1}\cdot\b B_r, x = \mrx{x^1_0 \\ \vdots \\ x^r_0 \\ 1 \\\vdots \\ 1}$
\end{document}

