\input ../common.inc
\begin{document}

\textbf{Определение: Полное семейство} - семейство векторов линейного пр-ва $\c L$ называется полным, 
если любой вектор линейного пр-ва можно представить в виде ЛК векторов этого семейства можно представить в виде ЛК векторов этого семейства.
\\
Примечание: в отличие от базиса оно можнет быть ЛЗ

\textbf{Второе определение}: семейтсво полное, если линейная оболочка семейства совпадает с линейным пространством

\textbf{Базис}: ЛН полное семействою

\textbf{Лемма 1}: разложение по базиу единственно.
\\Доказательтво: $\all x \in \c L, \ss{e_1, \dots, e_n} - $ базис. $x = \underbrace{x^ie_i}_\text{разложение} = \underbrace{y^ie_i}_\text{2-е разлож.} \implies
(x^i - y^i)e_i = \theta$ - тогда ЛК тривиальна, соотв. $x^i = y^i$ 

\textbf{лемма 2}: если семейство $\ss{a_1, \dots, a_m}$ ЛН в $\c L$, а $a_{m+1} \not \in \c L(a_1, \dots, a_m)$, но $a_{m+1} \in \c L$, то семейство $\ss{a_1, \dots, a_{m+1}}$ - ЛН
\\Доказательство: пуcть $\ss{a_1, \dots, a_{m+1}}$ - ЛЗ, т.е. $\e \alpha^1a_1 + \dots + \alpha^ma_m + \beta a_{m+1} = \theta$
\ntab Если $\beta = 0: (\alpha_1, \dots, \alpha_m) \neq (0, \dots, 0)$, значит семейство ЛЗ (противоречие)
\ntab Если $\dst \beta \neq 0: -\frac{\alpha_1}\beta a_1 - \dots - \frac{\alpha_m}\beta = a_{m+1} \implies a_{m+1} \in \c L(a_1, \dots, a_m)$ (противоречие)

\textit{напомним: конечномерное пр-во} - это когда есть МАКСИМАЛЬНОЕ число ЛН векторов (максимум называется размерностью).

\textbf{Теорема}: в любом конечномерном протранстве $\e$ базис
\\Доказательство: $\c L \neq \ss \theta, a_1 \neq \theta, a_1 \in \c L$ рассмотрим $\c L(a_1)$:
\ntab либо $\c L(a_1): = \c L$ (тогда базис $a_1$).
\ntab либо $\e a_2 \in \c L : a_2 \not \in \c L(a_1)$ - тогда $\ss{a_1, a_2}$ ЛН. Тогда рассмотрим $\c L(a_1, a_2):$
\ntab\hspace{5mm} Либо $\c L(a_1, a_2) = \c L$ - Тогда базис $\ss{a_1, a_2}$
\ntab\hspace{5mm} Либо $\c L(a_1, a_2) \subs \c L$ - повторяем шаги...
\ntab\hspace{1cm}\vdots
\ntab\hspace{1cm}В итоге получим $n$ ЛН векторов, где $n$ - размерность

\textbf{Лемма 3}: Если даны $\c Q \subs \c P \subs \c L: \system{&\dim \c Q \leq \dim \c P\\&\dim\c Q = \dim\c P \implies \c Q = \c P}$
\\Док-во: пункт 1 очевиден, пункт 2 пойдём от противного: пусть вложение $\c Q \subs \c P$ строгое. Пусть $\ss{e_1, \dots, e_m}$ - базис в $\c Q$.
Т.к. вложение строгое, $\e g \in \c P, g \not \in \c Q$. Тогда $\ss{e_1, \dots, e_m, g}$ - ЛН (в силу леммы 2), тогда 
очевидно, что $\dim\c P > \dim\c Q$ - противоречие.

\textbf{Лемма 4}: $\dim(\c P + \c Q) = \dim\c Q + \dim\c P - \dim(\c P \cap \c Q)$
\\Док-во: пусть $\ss{e_1, \dots, e_m}$ - базис $\c P \cap \c Q$. Справедливо, что $\c P \cap \c Q \in \c P$. Дополним 
бази $\ss{\e_1, \dots, e_m, g_1, \dots, g_n} $ - базис в $\c P$, аналогично пусть $\ss{e_1, \dots, e_m, f_1, \dots, f_l}$ - базис в $\c Q$.\\
$\dim \c P = m + n;\; \dim \c Q = m + l; \dim(\c P \cap \c Q) = m$. Рассмотрим семейство $\ss{e_1\dots e_m,g_1\dots g_n, f_1\dots f_l}, \dim = m+n+l$
\ntab $\all x \in \c Q + \c P, \e x_1 \in \c P, x_2 \in \c Q : x = x_1 + x_2;\;\system{
	&x_1 = \alpha^1e_1 + \dots + \beta^1g_1 + \dots\\
	&x_2 = \delta^1e_1 + \dots + \gamma^1f_1 + \dots\\
} \implies\\\implies x_1 + x_2 = (\alpha^1 + \delta^1)e^1 + \dots + \beta^1g_1 + \dots + \gamma^1f_1$ - значит, семейство \textit{полное}
\ntab $\alpha^1e_1 + \dots + \beta^1g_1 + \dots + \gamma^1f_1 + \dots = \theta \implies \wrapb{\alpha^1e_1 + \dots + \beta^1g_1 + \dots} \subs \c P = \wrapb{-\gamma^1f_1 - \dots} \subs \c Q \implies\\\implies
\gamma^1f_1 + \dots + \gamma^lf_l \in \c P \cap \c Q \implies \gamma^1f_1 + \dots = \delta^1e_1 + \dots \implies \delta^1e_1 + \dots + \delta^me_m - \gamma^1f_1 - \dots - \gamma^lf_l = \theta$, но т.к. это базис в $\c Q$ - всё нули.
Аналогично для $\alpha e, \beta g$. Получаем, что всё семейство ЛН (т.к. ЛК =$\theta$ возможно только при всех коэфф. $=0$)
\\ {}[я сам тут не очень понял, но.... уже 5 пара, простите]

\textbf{Прямая сумма линейных подпространств}: $x \in \c Q + \c P \subs \c L: \e!x_1 \in \c P, x_2 \in \c Q : x = x_1 + x_2$  (единственность разложения)
\\(Если пересечнение двух подпространств нетривиальна [$\neq \emptyset$], то сумма не будет прямой)

\textbf{Теорема 2}: чтобы $\e \c Q, \c P : \c L = \c Q + \c P \ioi \system{&\c Q \cap \c P = \emptyset\\&\dim\c L = \dim \c Q + \dim \c P\\}$
\\Необходимость: Пусть $\c L = \c P + \c Q: \implies \dim \c L = \dim(\c P + \c Q) = \dim \c P + \dim \c Q \implies \c P \cap \c Q = \emptyset $
\\Достаточность: из первого пункта $\c P + \c Q$ - прямая сумма, лежит в $\c L$ (как сумма подпр-в), $\dim (\c P + \c Q) = \dim \c P + \dim \c Q - 0 = \dim \c L \implies \c L = \c P + \c Q$

\section{Изоморфизм линейных пространств}

Пусть имеется $\c L_1, \c L_2$. $\ph: \c L_1 \to \c L_2$, где $\ph$ - взаимнооднозначное линейное отображение. 
Тогда $\ph$ называется \textbf{Изоморфизмом}
\ntab Линейность: $\ph(\alpha_1 x_1 + \alpha_2 x_2) = \alpha_1 \ph(x_1) + \alpha_2 \ph(x_2)$
\ntab Однозначность: $(\all x \in \c L_1 \e! y \in \c L_2 : \ph(x) = y) \land \underbrace{(\all y \in \c L_2 \e! x \in \c L_1 : y = \ph(x))}_{\equiv \e \ph^{-1}(y) = x}$

\subsection{свойства изоморфизма}
\textbf{Свойство 1.} $\ph(\theta_1) = \theta_2$. Док-во: $\ph(\theta_1) = \ph(0 \theta_1) = 0\ph(\theta_1) = \theta_2$\\
\textbf{Свойство 2.} $\ph(x) = \ph_1(\ph_2(x))$. Док-во: взаимнооднозначность очевидна, линейность: 
\\$\ph_1(\ph_2(\alpha_1x_1 + \alpha_2 x_2)) = \ph_1(\alpha_1\ph_1(x_1) + \alpha_2\ph_2(x_2)) = \dots $ - там понятно (я не успел)
\textbf{Свойство 3.} $\ph^{-1}$ - изоморфизим. взаимнооднозначность очевидна, линейность:
\\$\ph^{-1}(\beta^1y_1 + \beta^2y_2) = \wraps{\e!x_1, x_2: y_1 = \ph(x_1), y_2 = \ph(x_2)} = \ph^{-1}(\beta^1\ph(x_1) + \beta^2\ph(x_2))
= \beta^1\ph^{-1}(\ph(x_1)) + \beta^2\ph^{-1}(\ph(x_2)) \\= \beta^1\ph^{-1}(y_1) + \beta^2\ph^{-1}(y_2)$

\end{document}


