\input ../common.inc
\begin{document}

\subsection{Вопрос существования изоморфизма}
\textbf{Лемма 1}: Если размерности линейный пр-в совпадают, то они изоморфны.
\\Доказательство: пусть $\ss{e_1, \dots, e_n} - \text{базис в } \c L_1, \ss{f_1, \dots, f_n} - \text{базис в } \c L_2 \\
\ph_E: \c L_1 \to K^{n\times1}\hspace{1cm} x\in\c L_1, x = x^ie_i = E\cdot X_e = \mrx{e_1 & \dots & e_n}\cdot \mrx{x^1\\\vdots\\x^n},\quad \ph_E(x) = X_e, \ph_E \cdot x \to X_e\\
\text{Покажем однозначность: } x = EX_e = EY_e, E(X_e - Y_e) = \theta \implies (x^i - y^i)e_i = \theta, x^i=y^i \implies X_e = Y_e
\\\text{Получилось, что } \ph_E - \text{взаимнооднозначное отображение. Теперь линейность:}\\
x_3 = \alpha^1x_1 + \alpha^2x_2 = EX_{e3} = \alpha^1EX_{e1} + \alpha^2EX_{e2} \implies E(\underbrace{\alpha^1x_{e1} + \alpha^2x_{e2} = X_{e3}}_{0}) = \theta,\\
X_{e3} = \alpha^1X_{e1} + \alpha^2X_{e2}; \ph(x_3) = \ph(\alpha^1x_1 + \alpha^2x_2) = X_{e3} = \alpha^1X_{e1} + \alpha^2X_{e2} = \alpha_1\ph(x_1) + \alpha_2\ph(x-2)$
\\ Тогда $\ph_E$ - изоморфизм. Аналогично введём $\ph_F$\\
Имеем: $\ph_E: \c L_1 \to K^{n \times 1}, \ph_F: \c L_2 \to K^{n\times 1}, \ph^{-1}_F: K^{n \times 1} \to \c L_2;\hspace{1cm}
\ph = \ph^{-1}_F\circ\ph_E: \c L_1 \to K^{n\times 1} \to \c L_2$

\textbf{Лемма 2}: Если $\dim \c L_1 \neq \dim \c L_2$, то они не изоморфны
\\доказательство: Пусть между ними $\e \ph: \c L_1 \to \c L_2,  m = \dim \c L_1 > \dim \c L_2 = n$. \\
Введём базис $\ss{e_1, \dots, e_m} : \c L_1;\; \ss{f_1, \dots, f_n}: \c L_2\\
\underbrace{\ss{\ph(e_1), \dots, \ph(e_m)}}_m \subs \c L_1 = L(\underbrace{f_1, \dots, f_n}_n)$, из какой-то теоремы
$\ss{\ph(e_1), \dots, \ph(e_m)}$ - ЛЗ.\\
$\alpha^1\ph(e_1) + \dots + \alpha^m\ph(e_m) = \theta_2  \implies \ph(\alpha^1e_1 + \dots + \alpha^me_m) = \theta_2 \implies \alpha^1e_1 + \dots + \alpha^me_m = \ph^{-1}(\theta_2) = \theta_1$
 - отсюда противоречие: базис линейно зависим.

\section{СЛАУ (системы линейный алгебраических уравнений)}
\subsection{Ранг матрицы}
 $A^{m\times n} = \mrxddet{A_1, \dots, A_n} = \mrxddet{A^1 \\ \vdots \\ A^m} $
\textbf{Определение}: $\rg A = \dim \c L(A_1, \dots, A_n)$

Предположим, что $A \neq 0$, базисные столбцы $A$ - первые $r$\\
1. $A_1, \dots, A_r$ - ЛН \\
2. $A_j = \alpha^iA_i, i \in \overline{1, r}, j \in \overline{1, n}$

\textit{Докажем}, что $A_1, \dots, A_r$ - Базис в $\c L(A_1, \dots, A_n)$.\\
$B \in \c L(A_1, \dot, A_n) = \beta^1A_1 + \dots + \beta^nA_n = \beta^1A_1 + \dots + \beta^rA_r + \beta^{r+1}A_{r+1} + \dots + \beta^nA_n =\\= 
\beta^1A_1 + \dots + \beta^rA_r + (\gamma^{11}A_{11} + \dots + \gamma^{r1}A_{r1}) + \dots$

То есть $A_1, \dots, A_r$ - \textbf{Базис в ЛО пространства столбцов}

\textbf{Лемма 3}: $\dim \c L(A^1, dots, A^m) = r$
\\Доказательство: $A \in {m\times n} = \mrxddet{A^1 \\ \vdots \\ A^m}$, пусть базисный минар на первых $r$ строках.\\
$A^T = \mrxddet{A^{1^T}, \dots, A^{m^T}}$, до $A^{r^T}$ - базисные столбцы, $\dim \c L(A^{1^T}, \dots, A^{m^T}) = r\\
L(A^{1^T}, \dots, A^{m^T}) \overset{\text{очевидно}}= L(A^1, \dots, A^m) = r$

\subsection{способы задания СЛУ}
\begin{enumerate}
\item $\system{
	&a^1_1x^1 + \dots + a^1_nx^n = b^1 \\
	&\hspace{25mm}\vdots\\
	&a^m_1x^1 + \dots + a^m_nx^n = b^m \\
}$
\item $A \times X = B,\hspace{1cm}A + \mrx{a^1_1 &  \dots & a^1_n \\ \vdots && \vdots \\ a^m_1 & \dots & a^m_n}, X = \mrx{x^1\\\vdots\\x^n}, B = \mrx{b^1\\\vdots b^m}$
\item $x^1A_1 + \dots + x^nA_n = B\hspace{2cm}\text{или }x^1\mrx{a^1_1\\\vdots\\a^m_1} + \dots + x^n\mrx{a^1_n\\\vdots\\a^m_n} = \mrx{b^1\\\vdots\\b^m}$
\item $A^1X = b^1, \dots, A^mX = b^m\hspace{2cm}A_j = \mrx{a^j_1 & \dots & a^j_n}, X = \mrx{x^1\\\vdots\\x^n}$
\end{enumerate}
\textbf{Совместная система} - есть хотя бы 1 решение, \textbf{невосместная} - нет решений \\
\textbf{Однородная}: $B = 0$, \textbf{Неоднородная}: $B \neq 0$

------------------------------------------------------------------------------------------------------------

$AX = B, A \in \s K^{n\times n}, x , B \in \s K^{n \times 1}$

Если $\det A \neq 0$, то система называется $\textbf{крамеровской}$

\textbf{Теорема 1}. Крамеровская система: $\e!$ решение
\\Рассмотрим: $\dim \s K^{n\times1} = n: e_1 = \mrx{1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0}, r_2 = \mrx{0\\1\\\vdots\\0}, \dots$  - Базис с $n$ векторов.\\
Так же произвольные $n$ ЛН столбцов образовывают базис (т.к. если добавить один любой столбец к семейству, оно станет ЛЗ, т.е. $\e$ нетрив. ЛК $=0$)\\
$-\frac{\alpha^1}\beta A_1 - \dots - \frac{\alpha^n}\beta A_n = A_{n+1} \implies \ss{A_1, \dots, A_n}$ - базис (А если $\beta = 0$, то противорчение: $A_1, \dots, A_n$ ЛЗ)
\\Докажем теорему о крамеровской системе:\\
1. $A_1, \dots, A_n$ - ЛН (т.к. $\det A \neq 0$), поэтому они образуют базис: $\all B \in \s K^{n\times1} \e!\; x^1\dots, x^n \in \s K:\\
x^1A_1 + \dots + x^nA_n = B$. Получается, что $x^1, \dots, x^n$ - ЕДИНСТВЕННОЕ (из единственности разложения по базису) решение.

Рассмотрим $AX = 0,\quad A \in \s K^{m\times n}, X \in \s K{n\times 1}, 0 \in \s K^{m\times1}$. Пусть $X_1, X_2$ - решения. возьмем ЛК:\\
$X_3 = \alpha^1X_1 + \alpha^2X_2 \implies A\cdot X_3 = A(\alpha^1X_1 + \alpha^2X_2) = \alpha^1(AX_1) + \alpha^2(AX_2) = 0 + 0 = 0$, то есть\\
Вывод: \textbf{ ЛК любых 2 решений образовывает новое решение (ОСЛУ) }

Введём множество: $K^{n\times1} \sups \c N_i := \ss{X \in \s K^{n\times1} | AX = 0}$, таким образом $\c N$ - линейное (под)пространство, и тогда там есть БАЗИС - ФСР (фундаментальное семейство рещений)

\subsection{Теорема Кронекера-Капелли}
\textbf{Теорема}: $AX=B$ совместна $\ioi \rg A = \rg A\vdots B$, где $A\vdots B = \mrxddet{A_1, \dots, A_n, B}$
\\Доказательство:
\\ 1. Докажем: $AX=B \text{ совместна } \ioi \c L(A_1, \dots, A_n) = \c L(A_1, \dots, A_n, B)$:
\ntab Необходимость: Пусть система имеет решение: $B = x^1A_1 + \dots + x^nA_n \in \c L(A_1, \dots, A_n) \implies \system {
	&\c L(A_1, \dots, A_n, B) \subseteq L(A_1, \dots, A_n)\\
	&\c L(A_1, \dots, A_n, B) \supseteq L(A_1, \dots, A_n)\\
} \implies \text{ они равны}$
\ntab Достаточность: $\c L(A_1, \dots, A_n, B) = \c L(A_1, \dots, A_n) \implies B \in L(A_1, \dots, A_n) \implies B = x^1A_1 + \dots + x^nA_n$ - решение
\\2. Докажем, что 
\ntab $L(A_1, \dots, A_n) = L(A_1, \dots, A_n, B) \ioi \dim L_A = \dim L_{A:B} \ioi \rg A = \rg A\vdots B$
\\Доказано.

\subsection{Теорема Фредгольма (очень важная!)}
Рассмотрим квадратную СЛУ $AX = B$

\textbf{Первая теорема}: Если однородное уравнение имеет !(тривиальное) решение, но неоднородное уравнение разрешимо для $\all B \in \s K^{n\times 1}$
\\Доказательство: $x^1A_1 + \dots + x^nA_n = 0$ - единственное решение $\implies$ ЛЗ $\implies$ образую базис в $\s K^{n\times1}$, поэтому
$\all B \in \s K^{n\times1}\;\e! x^1, \dots, x^n : B = x^1A_1 + \dots + x^nA_n$

\textbf{Вторая теорема}: Если однородное уравнение $AX=0$ имеет $>1$ решений, то $\e B \in \s K^{n\times1}: AX=B$ несовместна.
\\Доказательство: $x^1A_1 + \dots + x^nA_n = 0$ - имеет нетривиальные решения $\implies$ ЛЗ. \\
Рассмотрим $\c L(A_1, \dots, A_n) \subs \c L(\s K^{n\times1}) \implies \e B \in \s K^{n\times1} \not \in \c L(A_1, \dots, A_n) \implies\\\implies \not \e x^1, \dots, x^n : x^1A_1 + \dots + x^nA_n = B$
, то есть нет решений $AX = B$
\end{document}
