\input ../common.inc
\begin{document}

\subsection{продолжаем ОСЛУ}
множество решений $AX=0$ образует линейное подпространство пространства столбцов

попробуем найти базис: \\
$\system{
	&a^1_1x^1 + \dots + a^1_nx^n = 0 \\
	&\vdots\\
	&a^m_1x^1 + \dots + a^m_nx^n = 0 \\
}, m, n \in \s M\hspace{1cm}
A = \mrx{&a^1_1 &  \dots &  a^1_n \\
	& \vdots &\vdots&\vdots\\
	&a^m_1 & \dots & a^m_n \\
} \hspace{1cm} \\
\text{случай }A=0 \implies \c N = \s K^{n\times 1}, \dim \c N = n\\
\text{случай }A\neq 0: \text{пусть } A^1, \dots, A^r$ - базисные строки\\
$A = \mrxddet{A^1\\\vdots\\a^r\\a^{r+1}\\\vdots\\a^m}, A^j = c_1^jA^1 + \dots + c^j_rA^r; j = \overline{r+1, m}, 
\hspace{1cm}\mrx{a_1^1 & \dots & a^1_n}\mrx{x^1\\\vdots\\x^n} = 0 \implies \\\implies
\system{&A^1X=0\\&\vdots\\&A^jX=0\\&\vdots\\&A^mX=0} (*) \Longrightarrow \system{&A^1X=0\\\vdots\\&A^rX=0} (**)$

Вывод: если $X$ решение $(*)$, то оно же решение $(**)$
\\
Проверим обратное: $A^jX = c^j_1A^1X + \dots + c_1^jA^rX = 0$

Вывод: если $X$ решение $(**)$, то оно же решение $(*)$
\\
Тогда эти две системы \textbf{эквивалентны}. Выпишем укороченную систему: $\\\system{
	&a^1_1x^1 + \dots + a^1_nx^n = 0\\
	&\vdots\\
	&a^r_1x^1 + \dots + a^r_nx^n = 0\\
} \implies \system{
	&a^1_1x^1 + \dots + a^1_{r}x^{r} = - a^1_{r+1}x^{r+1} - \dots -a^1_nx^n\\
	&\vdots\\
	&a^r_1x^1 + \dots + a^r_{r}x^{r} = - a^r_{r+1}x^{r+1} - \dots -a^r_nx^n\\
} \implies \tilde A_r \tilde X_r = \tilde B_r, \\
\tilde A_r = \mrx{a^1_1&\dots&a^1_r\\\vdots&&\vdots\\a^r_1&\dots&a^r_r}, \tilde X_r = \mrx{x^1\\\vdots\\x^r}, 
\tilde B_r = -\mrx{a^1_{r+1}&\dots&a^1_n\\\vdots&&\vdots\\a^{r}_{r+1}&\dots&a^r_{n}}, \det \tilde A_r \neq 0 \implies $
Допустим 2 решения:\\
$AX_0 = AY_0 = 0, X_0 = \mrx{x^1_0\\\vdots\\x^r_0\\x^{r+1}_0\\\vdots\\x^n_0}, Y_0 = \mrx{y^1_0\\\vdots\\y^r_0\\x^{r+1}_0\\\vdots\\x^n_0}, 
\tilde A_r \tilde X_{0r} = \tilde A_r \tilde Y_{0r} = \tilde B_r$, значит решение одно (не очень понял эту часть)

\subsection{алгоритм построения ФСР}
$\tilde A_r \tilde X_r = \tilde B_r, \tilde B_r = -\mrx{a^1_{r+1}&\dots&a^1_n\\\vdots&&\vdots\\a^r_{r+1}&\dots&a^r_n} \mrx{x^{r+1}\\\vdots\\x^n} \text{пусть}
x^{r+1} = 1, x^{r+2} = \dots = x^{n} = 0 \implies \tilde B^{1r} = -\mrx{a^1_{r+1}\\\vdots\\a^r_{r+1}}, \\X_1 = \mrx{x^1_1\\\vdots\\x^r_1\\1\\0\\\vdots\\0}$\hspace{1cm}
Пусть $x^{r+2} = 1,$ остальное нули $\implies \tilde B_{2r} = -\mrx{a^1_{r+2}\\\vdots\\a^r_{r+2}}, X_2 = \mrx{x^1_2\\\vdots\\x^r_2\\0\\1\\0\\\vdots\\0},\\
X_{n-r} = \mrx{x^1_{n-r}\\\vdots\\x^r_{n-r}\\0\\\vdots\\0\\1}$

Более словестное пояснение алгоритма:\\
1. Пусть $x^{r+1} = 1$ получаем столбец \\
2. Пусть $x^{r+2} = 1$ \\
3, \dots, n-r: $x^{r+i} = 1$ \\

Докажем ЛН: $\alpha^1X_1 + \dots + \alpha^{n-r}X_{n-r} = \mrx{z^1_0\\\vdots\\z^r_0\\\alpha^1\\\vdots\\\alpha^{n-r}} = \Theta \implies \alpha^1 = \dots = \alpha^{n-r} = 0$\\

Докажем полноту: \\Пусть $X_0 \in \c N: AX_0 = \Theta;\quad X_0 = \mrx{x^1_0\\\vdots\\x^r_0\\x^{r+1}_0\\\vdots\\x^n_0},\quad
 Y_0 := X_0^{r+1}X_1 + \dots + x_0^nX_{n-r} = \mrx{y^1_0\\\vdots\\y^r_0\\x^{r+1}_0\\\vdots\\x^n_0}, $ нижние переменные совподают 
$\implies X_0 = Y_0 \implies X_0 = x^{r+1}_0X^1 + \dots + x^n_0X_{n-r}$, то есть любое решение можно выразить через базисные столбцы. Столбцов получилось $n-r$, тогда
$\dim \c N = n-r$, где $r$ - порядок базисного минора

\section{Ковекторы}

\textbf{Определение} ковектора (линейной формы/линейного функционала): функция на линейном пр-ве 
\\$f : \c L \to \s K$, обладает свойством линейности: $f(\alpha^1x_1 + \dots + \alpha^nx_n) = \alpha^1f(x_1) + \dots + \alpha^nf(x_n)$.

Часто используется такое обозначение: $\wrapa{f, x} \equiv f(x)$

Примеры ковекторов: $\c L = \text{множество непрерывных функций на } [0, 1] \\
\wrapa{f, \ph} = \int_0^1f(x)\ph(x)dx$, есть свойство линейности.\\
$f \cdot = \int_0^1f(x)\cdot dx$ (точкой обозначается место, где должна стоять другая функция, например)

Пусть $\c L$ - множество дифф. ф-ий: $\wrapa{f, \ph} = \frac{d\ph}{dt}(0)$. Линейность есть, ковектор - это ДЕЙСТВИЕ.

\textbf{$\delta$-функция дирака}: $\wrapa{\delta, \ph} = \ph(0)$\\
НЕВЕРНО её представляют так: $\wrapa{\delta, \ph} = \int_{-1}^1\delta(x)\ph(x)dx, \delta = \system{&+\infty, x = 0\\&0, x\neq 0\\}$\\
Интеграл по риману вообще тут смысла не имеет, по лебегу это тупо 0.

Пусть $\c L$ - линейное пр-во. пусть $\c L^*$ - множество всех ковекторов в $\c L$. попробуем сделать линейное пространство:
\\
\textbf{равные ковекторы}: $f = g \ioi \wrapa{f, x} = \wrapa{g, x} \all x \in \c L$ \\
\textbf{сумма ковекторов}: $h := f+g \ioi \wrapa{h, x} = \wrapa{f, x} + \wrapa{g, x}$, линейность $h$ проверяется элементарно \\
\textbf{произведение ковектора на число}: $h := \alpha f$, линейность опять же очевидна\\
\textbf{нулевой ковектор}: $\wrapa{\Theta^*, x} = 0, \text{ проверим линейность: } \wrapa{\Theta^*, \alpha^1x_1+\dots + \alpha^nx_n} = 0 = \alpha^1\wrapa{\Theta^*, x_1} + \dots + \alpha^n\wrapa{\Theta^*, x_n}$\\
\textbf{противоположный ковектор}: $f' := (-1)f$, проверяем: $\wrapa{f, x} + \wrapa{f', x} = -\wrapa{f, x} + \wrapa{f, x} = 0 = \wrapa{\Theta^*, x} = \wrapa{f'+f, x}$

Аксиомы линейного пространства выполняются потому, что это банально числа: они вытекают из этих же аксиом для чисел.

Короче когда у нас голова будет более свежей, будем строить базис

\end{document}
