\input ../common.inc
\begin{document}
Tue Mar 18 09:02:33 MSK 2025

$A: \c L_1 \to \c L_2$ - лиинейный оператор

$\ker a := \ss{x \in \c L_1 : A(x) = \theta_2} \subseteq \c L_1$

$\im A := \ss{y \in \c L_2: \e x \in \c L_1, y = A(x)} \subseteq \c L_2$

\textbf{Теорема}: $\dim \ker A + \dim \im A = \dim \c L_1$\\
Доказательство: пусть $\ss{e_1, \dots, e_m}$ - базис в $\ker A$, дополняем его до базиса $\c L_1$: $\ss{e_1,\dots,e_m,\underbrace{e_{m+1},\dots,e_n}_{E^+}}\\$
Рассмотрим $Y^+ := \ss{A(E^+)} \subs \im A$. \textit{Докажем полноту}: 
$y \in \im A \implies \e x \in \c L_1, y = A(x) \implies x = x^je_j = \dst\underbrace{\sum_{j=1}^mx^je_j}_{\in \ker A} + \sum_{j=m+1}^nx^je_j \implies
y = A(x) = A\wrapb{\sum_{j=1}^mx^je_j} + A\wrapb{\sum_{j=m+1}^nx^je_j} = 0 + \sum_{j=m+1}^nx^jA(e_j)$ - получили разложение по семейству $Y^+$. 
\textit{Докажем ЛН}: $\dst \sum_{j=m+1}^n\alpha^jA(e_j) = A\underbrace{\wrapb{\sum_{j=m+1}^n\alpha^je_j}}_{\in \ker A} = \theta_2;\\
\sum_{j=m+1}^n\alpha^je_j = \sum_{j=1}^m\beta^je_j \implies 
\sum_{j=1}^m\alpha^je_j - \sum_{j=m+1}^n\beta^je_j = \theta_1 
\ioi \alpha^1 = \dots = \alpha^m = \beta^{m+1} = \dots = \beta^n = 0 \implies \dim \im A = n - m\\
m = \dim \ker A, n = \dim \c L_1$

\section{Матрица линейного оператора}
$A: \c L_1 \to \c L_2;\; E: $ базис в $\c L_1\\
\all x \in \c L_1:  A(x) = A(x^j\cdot e_j) = x^jA(e_j)$

$A : \c L \to \c L, E: \text{ Базис } \c L\\ A(E) \in \c L, A(e_j) = a^k_je_k; \hspace{1cm}
\mrx{A(e_1) & \dots & A(e_n)} = \mrx{e_1 & \dots & e_n}\mrx{
	a^1_1 & \dots & a^1_n\\
	\vdots & \ddots & \vdots \\
	a^n_1 & \dots & a^n_n\\
} $ - это называется матрицей оператора в базисе $E$, обозначается $A_E$ (с индексом внизу)

\subsection{Как меняется матрица оператора при переходе к новому базису?}
$A: \c L \to \c L, \text{базисы }E, E'; e_{i'} = c^i_{i'}e_i;\; A_E = \wrapb{a^j_k}^n_n, A_{E'} = \wrapb{a^{j'}_{k'}}^{n'}_{n'}\\
A(e_{j'}) = a^{k'}_{j'}e_{k'} = a^{k'}_{j'}c^k_{k'}e_k = A(c^j_{j'}e_j) = c^j_{j'}A(e_j) = c^j_{j'}a^k_je_k \implies a^{k'}_{j'}c^{k}_{k'} = c^j_{j'}a^k_j\\
\ss{C}^k_{k'}\ss{A_{E'}}^{k'}_{j'} = \ss{A_E}^k_j\ss{C}^j_{j'} \implies \ss{C\cdot A_{E'}}^k_{j'} = \ss{C\cdot A_E}^j_{j'} \implies$
\[
	A_{E'} = C^{-1}\cdot A_E\cdot C
\]

\subsection{Множество линейных операторов}
$A \in L(\c L, \c L)$ - сделаем его линейным пространством

1. \textbf{Сложение}: $C := A+B, C(x) = A(x) + B(x)$\\
$C(\alpha^1x_1 + \alpha^2x_2) = A(\alpha^1x_1 + \alpha^2x_2) + B(\alpha^1x_1 + \alpha^2x_2) = \alpha^1(A(x_1) + B(x_1)) + \alpha^2(A(x_2) + B(x_2)) = \alpha^1C(x_1) + \alpha^2C(x_2)$

2. \textbf{Умножение}: $C := \alpha A, C(x) = \alpha A(x)$\\Тут доказательство простое

проверим 8 Аксиом линейного пространства:\\
\mdenum{
\item Коммутативность: выполняется в силу того, что она выполняется для векторов линейного пространства\\
\item Все оставшиеся аксиомы: будут свойствовать из свойст линейного пространства, из которого действует линейный оператор\\
\item Нулевой оператор: Всему пространству задаёт нулевой вектор
\item Противоположный оператор: $A^- = (-1)A \implies A^- + A = \Theta$
}

Введём умножение операторов: $C := AB, C(x) = A(B(x))$. Линейность типа проверили. \\Единичный оператор: $\id : x \to x$
\\
Обратный оператор: $A^{-1}(A) = \id$
\\
Матрица произведения операторов: $C(e_j) = A(B(e_j)) = A(b^m_j e_m) \implies c^k_je_k = b^m_ja^k_me_k \implies\\\implies
\text{ - так же, как мы делали до этого - } C_E = A_EB_E$ в матричной форме. Можно доказать, что \\$\wrapb{C^{-1}}_E = C^{-1}_E$

\textbf{Теорема об обратном операторе}: Пусть $A \in L(\c L, \c L)$. Тогда \\$\e A^{-1} \in L(\c L, \c L) \ioi\\\ioi \im A = \c L \ioi\\\ioi \ker A = \theta$\\
Это можно доказать цируклярно: $1 \implies 2 \implies 3 \implies 1$. Доказательство: 

$1 \implies 2: \e A^{-1} \in L(\c L, \c L): \all y \in \c L \e!x\in\c L : y = A(x) \in \im A \implies \im A = \c L$

$2 \implies 3: \im A = \c L; \dim \ker A = \dim L - \dim \im A = 0 \implies \ker A = \ss{\theta}$

$3 \implies 1: \ker A = \ss{\theta} \implies (\dim\im A = \dim \c L \land \im A \subs \c L) \implies \im A = \c L \implies 
\all y \in \c L, \e x \in \c L: y = A(x).\\
\text{единственность: } y_0 \in \c L \e x_1, x_2 \in \c L: y_0 = A(x_1) = A(x_2), A(x_1 - x_2) = \theta \implies x_1 - x_2 \in \ker A = \ss{\theta} \implies x_1 = x_2\\
\text{линейность: } y_1, y_2 \in \c L \e ! x_1, x_2 \in \c L, y_1 = A(x_1), y_2 = A(x_2), x_1 = A^{-1}(y_1), x_2 = A^{-1}(y_2)\\
A^{-1}(\beta^1y_1 + \beta^2y_2) =  A^{-1}(A(\beta^1x_1 + \beta^2x_2)) = \beta^1x_1 + \beta^2x_2 = \beta^1A^{-1}(y_1) + \beta^2A^{-1}(y_2)
$
\end{document}
