\input ../common.inc
\begin{document}
Tue Mar 25 09:05:04 MSK 2025
\section{собственные векторы; собственные значения}
\textbf{Инвариантное подпространство линейного оператора}: пусть $\c L$ - 
линейное пространство над полем $\s K$. Рассмотрим линейное подпространство $\c U$:
$\all \alpha^1, \alpha^2 \in \s K, \all x_1, x_2 \in \c U: \alpha^1x_1 + \alpha^2x_2 \in \c U;\quad A = L(\c L, \c L)\\
Ax \in \c U \all x \in \c U$

Пусть $E_1$ - базис в $\c U$, $E_2 \sups E_1$ - базис в $\c L$.
$A(e_1) = \sum_{i=1}^n\alpha^ie_i + \underbrace{0 + \dots + 0}_{m-n}, \dots, A(e_n) = \dots\\
A = \mrx{
	\alpha^1_1 & \alpha^1_m & \dots & \beta^1_1 & \dots & \beta^1_{n-m}\\
	\vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
	\alpha^m_1 & \dots & \alpha^m_m & \beta^m_1 & \dots & \beta^m_{n-m} \\
	0 &\dots&0&\vdots&\dots& \vdots\\
	\vdots &\ddots&\vdots& \vdots &\dots& \vdots\\
	0 &\dots&0&\beta^n_1&\dots&\beta^n_{m-n}
} = \mrx{B_e & D_e \\ 0 & C_e}$

\subsection{задачи на собственные векторы и значения}
Пусть $A \in L(\c L, \c L), \\ A(e) = \lambda e\quad \e x \in \s K : \e e \neq \theta$

Пример: оператор поворота: $A_\alpha e = 1\cdot e$

Общий вид решения: пусть $E - $ базис в $\c L, e = \al^ie_i = E\cdot X_e;\quad
A(e) = A(\al^ie_i) = \al^iA(e_i) = \\
(A(e_1) \dots A(e_n))\mrx{\al^1\\\vdots\\\al^n} = (e_1 \dots e_n) A_e X_e = EA_eX_e \implies \lambda e = \lambda \al^ie_i = E(\lambda X_e) \\
E(A_eX_e) = E(\lambda X_e) \implies E\wraps{A_eX_e - \lambda X_e} = \theta \implies A_eX_e = \lambda X_e \overset{X_e \neq (0\dots)}\implies (EA_e)X_e = \lambda (EX_e) \implies\\\implies
A(E)X_e = A(x^ie_i) = A(e) = \lambda x^ie_i = \lambda e,\quad A(e) = \lambda e, e \neq 0$

В итоге мы получили, что задача на собственные векторы эквивалентна задаче, к которой мы пришли: 
$\mrx{A(e) = \lambda e\\x \in \s K\\e \neq \theta} \ioi \mrx{e = EX_e \\ A_eX_e = \lambda X_e \\ \lambda \in \s K, X_e \neq 0}$

Необходимое и достаточное условие существования решения: $\det (A - \lambda \id) \neq 0$

Рассмотрим характерестический многочлен $f(\lambda) = \det(A_e - \lambda \id), E' = EC, A_{e'} = C^{-1}A_eC, \id = C^{-1}C\\
\det(A_{e'} - \lambda \id) = \det\wrapb{C^{-1}\wraps{A_e - \lambda \id}C} = \det C^{-1}\det(A_e - \lambda \id)\det C = \det (A_e - \lambda\id)$\\
Это значит, что характеристический многочлен не зависитот базиса

Вот так обозначается множество всех собственных векторов значения $\lambda$:
$V_\lambda(A) = \ker (A - \lambda \id)$

Нужно доказать, что $\all x \in V_\lambda(A), Ax \in V_\lambda(A)$. Пусть $x \in V_\lambda(A)$\\
$x \in \ker(A - \lambda\id) \implies Ax - \lambda x = \theta \implies A_x = \lambda x \in V_\lambda(A)$

\textbf{Теорема}: если $\s K = \s R$, то у оператора $A \in L(\c L, \c L)$ есть или одномерное, или двумерное (или оба) инвариантное подпространство\\
Доказательство: $A(E_n) = \lambda_nE_n,\quad A \in L(\c L, \c L), \c L(\s C)\quad \lambda_n \in \s C, e_0 \neq \theta$\\
Построим $\c U = L(e_0) = \ss{\mu e_0, \all \mu \in \s C}$




\end{document}
