\input ../common.inc
\begin{document}
Tue Apr  1 09:01:00 MSK 2025
\subsection{Билинейные формы}
\textbf{Определение}: числовая функция 2 аргументов $B(x, y) \in \s K; x, y \in
\c L (\s K)$ называется билинейной формой, если она обладает свойством
линейности по обоим аргументам.

Пример: пусть $X = \mrx{x_1\\x_2}, Y = \mrx{y_1\\y_2}, B(X, Y) = \mrxdet{x_1 &
y_1 \\ x_2 & y_2}$

Пусть $E = (e_1, \dots, e_n)$ - базис в $\c L; x = x^je_j; y = y^ke_k \implies
B(x, y) = B(x^je_j, y^ke_k = x^jy^kB(e_j, e_k)\\
\ss{B(e_j, e_k)}_{j,k = \overline{1, n}}$ - матрица билинейной формы.

Введём обозначение $b_{jk} := B(e_j, e_k) \implies B(x, y) = x^jy^kb_{jk} = *\\
b_{jk}y^k = \mrx{b_{j1} & \dots & b_{jn}}\mrx{y^1\\\vdots\\y^n} = B_jY_e\\
x^jb_{jk}y^k = x^jB_JY_e = \mrx{x^1 & \dots & x^n}\mrx{B_1 & Y_e \\ \vdots &
\vdots \\ B_N & Y_e}; \quad B_eY_e = \mrxddet{B_1 \\ \vdots \\ B_n}\mrxddet{Y_e}
= \mrx{B_1 & Y_e \\ \vdots & \vdots \\ B_N & Y_e} \\
* = (x^1, \dots, x^n)B_eY_e \implies$\[B(x, y) = X^T_e B_e Y_e\]

При переходе к новому базису:
$E, E'. E' = EC,\quad e_{j'} = c^j_{j'}e_j\\
b_{j'k'} = B(e_{j'}, e_{k'}) = B(c^j_{j'}e_j, c^k_{k'}e_k) =
c^j_{j'}c^k_{k'}B(e_j, e_k) = c^j_{j'}c^k_{k'}b_{jk} \\
b_{j'k'} = \ss{B_{e'}}^{j'}_{k'} = \ss{C}^j_{j'}\ss{C}^k_{k'}\ss{B_e}^j_k = 
\ss{C}^j_{j'}\underbrace{\ss{B_e}^j_k\ss{C}^k_{k'}}_{\ss{B_E\cdot C}^j_{k'}} =
\ss{C^T}^{j'}_{j}\ss{B_E\cdot C}^j_{k'} = \ss{C^TB_eC}^{j'}_{k'}$
\[ \vsystem . {B_{e'} = C^TB_eC \\ A_{e'} = C^{-1}A_eC}, A_{e'} - \text{оператор
(пр. лекции)}\]

\textbf{Замечание}: преобразование базиса: $E' = EC$. Другой способ записи: $x =
EX_e  = E'X_{e'} \implies X_e = CX_{e'}.$ Ещё один, новый способ: $X_e = X_{e'},
\all x = EX_e = E'X_{e'},\quad ECX_{e'} = E'X_{e'} \implies
\underbrace{\wraps{{EC-E'}}}_{\hat E}X_{e'}
= \theta \implies \hat EX_{e'} = \theta\quad\all X_{e'} \in \s K^{n\times 1}.\\
x^1\bar e_1 + \dots + x^n\bar e_n  = \theta \implies \hat E = (\theta, \dots)
\implies EC = E'$

\subsection{(Анти)симметричные билинейные формы}
Для любой формы справедливо: $B(x. y) = \frac{B(x, y) + B(y, x)}2 + \frac{B(x,
y)^2 - b(y, x)}2$ 

<Начиная отсюда я начал жёстко засыпать и записывать без доказательств>

<Заранее прошу прощения у себя, готовящегося к сессии>

\textbf{Определение: } билинейная форма симметричная, если $B(x, y) = B(y, x)$
\textbf{Определение: } билинейная форма антисимметричная, если $B(x, y) = -B(y, x)$

\textbf{Любая форма разложима на ЛК симметричной и антисимметричной} $B_{s1}(x,
y) + B_{a1}(yx, y) = \text{второе такое же} $

\subsection{Ранг матрицы, инварианты билинейных форм}
$C = AB \implies \rk C \leq \rk B$

$B_e = \wrapb{C^{T}}^{-1}B_{e'}C^{-1} \land B_{e'} = C^TB_eC \implies \rk B_e =
\rk B_{e'}\\
\sgn \det B_e = \sgn \det B_{e'}$

\subsection{Квадратичные формы}
$Q(x) = B(x, x) = X^T_e Q_e X_e$, или $q_{ij}x^ix^j$

Наиболее простой вид: $\sum_i x_j(x^j)$

\textbf{Теорема Лагранжа}: у любой квадратичной формы $\e$ базис, в котором она
имеет канонический (наиболее простой) вид. 


\end{document}
