\input ../common.inc
\begin{document}
Thu Apr 10 10:57:38 MSK 2025
\subsection{я пропустил несколько лекций по болезни}
\subsection{евклидовы пространства}
\textbf{свойства скалярного произведения}: очереди в кофепорте убивают... а в сфа холодно...\\
\textbf{Неравенство Коши-Буряковского}: $(x, y)^2  \leq (x, x)(y, y)$\\
\textbf{Норма вектора}: $\norm{x} = \sqrt{(x, x)}$

Свойства: \mdenum{
	\item $\norm x \geq 0; \norm x = 0 \ioi x = \theta$
	\item $\norm{\al x} = \al \norm x$
	\item $\norm {x + y} \leq \norm x + \norm y$. Доказательство: \\
		$\norm {x+y}^2 = (x+y, x+y)^2 = (x, x) + 2(x, y) + (y, y) = \norm x + \norm y
		+ 2 (x, y) \leq \norm x + \norm y + 2 \wrapa{(x, y)} \leq \norm x + \norm y + 2\norm x\norm y =
		(\norm x + \norm y)^2 \implies \norm{x+y} \leq \norm x + \norm y$
}

\textbf{Метрический тензор} - матрица билинейной формы: $(x, y) = G(x, y) \implies G(x, y) = X_e^TG_eY_e \\
\ss{G_e}^j_k = (G(e_j, e_k))$

\textbf{Лемма 1}: $\det G_e > 0$
\ntab $G(x, x) = X_e^TG_eX_e > 0 \quad\all x \neq \theta$
\ntab Т.к. $G$ - положительно определённая форма, то все её угловые миноры $>0$, значит, $\det G > 0$

$\dst \cos \ph := \frac{(x, y)}{\norm x \norm y}$

\subsection{унитазное пространство}
\textbf{Полуторолинейная форма} $G(x, y)$: Пусть $\c L$ - комплексное линейное пространство. Числовая функция $G(x, y)$ называется полуторолинейной формой, если выполнены следующие 2 свойства:\mdenum {
	\item $G(x, y) = \overline{G(y, x)}$ (комплексно сопряжённое число)
	\item $G(\al^1x_1 + \al^2x_2, y) = \al^1G(x_1, y) + \al^2G(x_2, y)$
}

Свойства полуторолинейных форм: \mdenum {
	\item $G(x, \beta^1y_1 + \beta^2y_2) =\bar \beta^1 G(x, y_1) + \bar
\beta^2 G(x, y_2)$ - антилинейность. Доказывается через перестановку аргументов
	\item $G(x, x) \in \s R$ : доказывается по перестановку аргументов
}

\textbf{определение}: полуторолинейная форма $G(x, y)$ называется положительно
определённой, если $G(x,x) > 0\quad\all x \neq \theta$

\textbf{Определение унитазного пространства}: унитазным пространством
называется комплексное линейное пространство, на котором введена положительно
определённая полуторолинейная форма... Скибиди доп yes yes

Пример: Введём Функцию Комплексного Переменного: $f(x \in \s C) = f_1(x) +
if_2(x); f_1, f_2 \in \s R; \\
f \in \s C [0, 1] \ioi f_1, f_2 \in \s R [0, 1]$ - непрерывны. поэтому это
линейное пространство. введём форму: $\dst G(f, g) := \int_0^1 f(x)
\overline{g(x)}dx$. Линейна по первому аргументу как обычный интеграл по
риману; переставим аргументы: $\dst G(g, f) = \int_0^1g(x) \overline{f(x)}dx =
\int_0^1 \overline{f(x)\overline{g(x)}}dx = \overline{\int_0^1
f(x)\overline{g(x)}dx} = \overline{G(f, g)}$. Ну, конечно, мы не слишком строго
это доказали, но по сути это доказывается через суммы Дарбу. \\
$G(f, f) = \dst \int_0^1 f(x)\overline{f(x)}dx = \int_0^1\wrapm{f(x)}^2dx \quad
( = 0 \ioi f = 0)$ - ура она положительно определённая 
\\\\\\\\
Пусть $G(x, y)$ - полуторолинейная форма, пусть $E$ - базис нашего комплексного
линейного пространства; раскладываем: $\dst G(x^ie_i, y^je_j) =
x^i\cdot \overline{y^j}\cdot G(e_i, e_j) = x^i\cdot \overline{y^j} \cdot g_{ij}
= X_e^T \cdot G_e \cdot \overline{Y_e}$

\textbf{Лемма 2}: $\det G_e \neq 0$

Докажем от противного: $\det G_e = \mrxdet{
	(e_1, e_1) & \dots & (e_1, e_n) \\ 
	\vdots & \ddots & \vdots \\
	(e_n, e_1) & \dots & (e_n, e_n)
}^T = \mrxdet{
	(e_1, e_1) & \dots & (e_n, e_1) \\ 
	\vdots & \ddots & \vdots \\
	(e_1, e_n) & \dots & (e_n, e_n)
} = 0 \implies \\\implies \al^1\mrx{(e_1, e_1) \\ \vdots \\ (e_1, e_n)} + \dots +
\al^n\mrx{(e_n, e_1)\\\vdots\\(e_n, e_n)} = 0, (\al^1, \dots, \al^n) \neq 0
\implies \mrx{(\al^1e_1, e_1) \\ \vdots \\ (\al^1e_1, e_n)} + \dots +
\mrx{(\al^ne_n, e_1)\\\vdots\\(\al^ne_n, e_n)} = \mrx{(\al^1e_1 + \dots + \al^ne_n,
e_1) \\ \vdots \\ (\al^1e_1 + \dots + \al^ne_n, e_n)} = 0 \overset{x :=
\al^ie_i}=\mrx{(x, e_1) \\ \vdots \\ (x, e_n)} = 0; \implies \overline{\al^1}(x,
e_1) + \dots + \overline{\al^n}(x, e_n) = 0 = \\ =(x,  \al^1 e_1) + \dots + (x,
\al^ne_n)= (x, \al^1e_1 + \dots + \al^ne_n)  = (x, x) = 0 \implies x = 0
\implies \al^ie_i = 0$ - значит, $E$ - не базис, противоречие: $\det G_e \neq 0$

\textbf{Важно: все дальнейшие результаты будут справедливы и для евклидового, и
для унитарного пространства, такие результаты будем помечать как $\eps(u)$}

\textbf{Норма в унитарном пространстве}: $\norm x = \sqrt{G(x,x)}$

\textbf{Неравенство Коши-Буниковского (u)}: $|G(x, y)|^2 \leq G(x,x)G(y,y)$.

Доказательство: $(\al x + y, \al x + y) \geq 0 = \al (x, y) + \overline \al (y, x) +
\al \overline \al (x, x) + (y, y) = \wraps{ \al := -\dst\frac{\overline{(x, y)}}{(x,
x)} } =\\= \dst\frac{|(x, y)|^2}{(x, x)^2}(x, x) - \frac{|(x, y)|^2}{(x, x)} -
\underbrace{\frac{(x, y)}{(x, x)}(y, x)}_{=|(x, y)|^2 / (x,x)} + (y, y) \geq 0
\implies \frac{|(x, y)|^2}{(x, x)} \leq (y, y)$ - что по сути и есть неравенство

Свойства нормы: \mdenum{
	\item $\norm x \geq 0\quad (\norm x = 0 \ioi x = \theta)$
	\item $\norm {\al x} = |\al| \norm x$. Доказательство: $\norm {\al x} =
\sqrt{(\al x, \al x)} = \sqrt{\al \overline \al (x, x)} = \sqrt{\al ^2} \norm x
= |\al| \norm x$
	\item $\norm {x + y} \leq \norm x + \norm y$. Доказательство: $\norm
{x+y}^2 = (x+y, x+y) = (x,x) + (y,x)+(x,y)+(y,y) = \norm x^2 + \norm y^2 +
\underbrace{(x,y) + \overline {(x, y)}}_{=2 \Re(x, y)} \leq \norm x^2 + \norm
y^2 + 2\wrapm{\Re (x, y)} \leq \norm x^2 + \norm y^2  + 2\norm x\norm y = (\norm
x + \norm y)^2 \implies \\\implies \norm {x + y} \leq \norm x + \norm y$,
доказано $\blacksquare$
}

\textbf{Ортогональность}: в следующий раз :000

\end{document}
