\input ../common.inc \begin{document}
Tue Apr 15 09:04:18 MSK 2025

\subsection{ортогональность}
\mdenum{
\item ОНБ - ортонормированный базис
}
\textbf{определение}: $a \perp b \ioi (a, b) = 0$

$\c Q \perp \c P : \all a \in \c Q, \all b \in \c P : (a, b) = 0$

\textbf{лемма 1}: $x \perp x_j (j \in \overline{1,m}) \implies x \perp \c L(x_1, \dots, x_m)$

\textbf{лемма 2}: $x \perp e_j (j \in \overline{1,m}, \ss{e_1, \dots, e_m} - \text{ базис в } \c L) \implies x = \theta$ \\
Доказательство: $x = \al^je_j;\quad (e_j, x) = 0 \all j;\quad \al^j(e_j, x) = 0
\implies (\al^je_j, x) = 0 \implies (x, x) = 0 \implies x =  \theta \\
\blacksquare$

\textbf{лемма 3}: $\dst e_j \neq \theta\quad(j = \overline{1,m}) \land (e_j, e_k) =
0\quad(j \neq k) \implies \ss{e_1, \dots, e_m}$ - линейно независимо. \\
Доказательство: пусть $\dst \al^je_j = \theta, (\al^je_j, e_k) = 0 \implies a^j(e_j,
e_k) = 0 \ioi a_j = 0\quad\all j = \overline{1,m}$ - значит, ЛН

\textbf{определение ОНБ}: $\dst \ss{e_1, \dots, e_m} : (e_j, e_k) = \delta_{jk}\quad 
\all j, k = \overline{1, m}$

\textbf{теорема 1}: $\dst \ss{e_1, \dots, e_n}$ - ОНБ $ \dst \implies x = \sum_j^n (x_j,
e_j)e_j,\quad \norm x = \sum_j^n \wrapm{(x_j, e_j)}^2$  (формула Гиббса и
равенство Парсеваля соотв.) \\
Доказательство: $\dst x = x^je_j \implies (x_j, e_k) = (x^je_j, e_k) = x^j(e_j, e_k)
= x_k \implies x = \sum_j^n(x^j, e^j)e_j$ \\
$\dst \norm x^2 = (x, x) = \wrapb{\sum_j^k (x^j, e^j)e_j, \sum_j^n(x^j, e^k)e_k}
= \sum_j^n(x^j, e^j)\wrapb{e_j, \sum_j^n (x^j, e^k)e_k} = \sum_j^n\sum_j^n (x^j,
e^j) \overline{(x^j, e^k)}\underbrace{\wrapb{e_j, e_k}}_{=\delta_{jk}} = \\ = 
\sum_j^n (x^j, e^j)\overline{(x^j, e^j)} = \sum_j^n \wrapm{(x^j, e^j)}^2$\\

Пусть имеется базис $E, E'$ - ОНБ: $E' = EC$. Какие ограничения на эту матрыцу?
$EC = \mrx{a_1, \dots, a_n}, \\ \det C \neq 0 \implies \ss{a_1, \dots, a_n}$ -
тоже базис (не обязательно ОНБ). Доказательство будет на консультации перед
экзаменом. А что делать, чтобы базис $A$ был ОНБ?

\textbf{Лемма 4}: Ортонормаированная матрица обладает свойством: $C^T\overline C
= \id$\\
Доказательство: пусть $x = EX_e = E'X_{e'}; y = EY_e = E'Y_{e'}; (x, y) = 
G(x, y) = X_e^TG_e\overline Y_e = X_{e'}^TG_{e'}\overline Y_{e'}$, где 
$\ss{G_e}^j_k = G(e_j, e_k)$, поэтому $(e_j, e_k) = \delta_{jk};\quad (e_{j'},
e_{k'}) = \delta{j'k'} \implies G_e = G_{e'} = \id \implies X^T_e\overline Y_e =
X^T_{e'}\overline Y_{e'} \implies\\\implies 
X^T_{e'}C^T\overline C \overline Y_{e'} = X^T_{e'}\overline Y_{e'} \implies
X^T_{e'}\wraps{C^T\overline C - \id}\overline Y_{e'}\quad \all X_{e'}, Y_{e'}
\in \s K^{n \times 1} = 0$. Пока что не будем доказывать, докажем на консультации,
что то, что внутри квадратных скобках равно нулю, поэтому $C^T\overline C = \id$

\textbf{задача о перпендикуляре}
 пусть имеется ортонормированное семейство $E$, содержится в евклидовом или
унитарном пространстве $\c L$, $e_j \neq \theta$. Пусть $\e x \not \in L(e_1, \dots,
e_m), x \in \c L.\quad x = y + z, \text{ где } y \in L(E), z \perp L(E)$.
Другими словами, надо представить $x$ как сумму перпендикуляра к линейной
оболочке и чего-то из линейной оболочке. $y = x^je_j; z := x - x^je_j$. Я не
понял, почему, но $(z, e_k) = 0 \quad \all k \in \overline{1,m}$, поэтому \\
$(x - x^je_j, e_k) = 0; (x_j, e_k) = \sum \lambda^j(e_j, e_k) \implies (x_j,
e_k) = \lambda^k(e_k, e_k) \implies \lambda^k = \dst\frac{(x_j, e_k)}{(e_k,
e_k)}$. 

\textbf{теорема Грама-Шмидта}: в любом евклидовом или унитарном пространстве
$\e$ ОНБ. \\
Доказательство: Пусть $\c L = \eps \lor \c L = \c U$. Пусть $E = (e_1, \dots,
e_n). e_{1'} := e_1 \implies L(e_1) = L(e_{1'})$. Предположим, что мы построили
ортогональное семейство $\ss{e_{1'}, \dots, e_{m'}} \in L(e_1, \dots, e_m);\\
L(e_{1'}, \dots, e_{m'}) = L(e_1, \dots, e_m)$. Теперь $e_{m'+1} := e_{m+1} - \dst\sum_{j=1}^{m'}\frac{(e_{m+1},
e_{j'})}{(e_{j'}, e_{j'})}$. По построению $e_{m'+1} \perp L(e_1, \dots, e_m)\\
e_{m' + 1} \in L(e_1, \dots, e_m, e_{m+1}) = L(e_{1'}, \dots, e_{m'}, e_{m+1})$.
То есть наше новое дополненное семейство - базис в "дополненной" ЛО. Вывод:
$\ss{e_{1'}, \dots, e_{m'}, e_{m'+1}} - \text{ базис в }  L(e_1, \dots, e_m,
e_{m+1})$. Таким образом на $n$ шагов строим базис в $\c L$. Таким образом на
$n$ шагов строим ортогональный базис в $\c L$. Чтобы построить ОНБ, просто
нормируем базис. ГГ. $\blacksquare$

\section{Линейные операторы в евклидовых и унитазных пространствах}
\subsection{сопоряжённый оператор}
Пусть $A \in L(\c L, \c L)\quad (\c L = \eps \lor \c L = \c U)$

\textbf{определение}: сопряжённый оператор: $A^*(\c L \to \c L): (x, A^*y) =
(Ax, y)\quad \all x, y \in \c L$

Пример: сопряжённый оператоор $\id^*$ равен $\id$. С нулевым оператором то же
самое. Теперь посмотрим на линейный оператор векторного произведения: $A\v x :=
[\v a, \v x]$. $(A\v x, \v y) = ([\v a, \v x], \v y) = \wrapa{\v a, \v x, \v y}
= \wrapa{\v y, \v a, \v x} = \wrapa{\v x, \v y, \v a} = (\v x, [\v y, \v a]) =
(\v x, -[\v a, \v y]) = (\v x, -A\v y) \implies A^* = -A$
\end{document}
