\input ../common.inc

\begin{document}

\everymath{\displaystyle}

\section{ФНП}
\subsection{Множества точек}

Определения: 

Точка: Упорядоченная совокупность вещ. чисел $(x_1, \dots, x_n);\; x_i$ называется координатами точки

$M$-мерное координатное пр-во: Совокупность всех точек с $M$ координатами

Множество точек: Любая совокупность точек $M$-мерного коорд. пр-ва

Расстояние между точками: $M_1(x^1_1, \dots, x^1_n), M_2(x^2_1, \dots, x^2_n): \rho = \sqrt{\sum_{i=1}^n\wrapb{x^1_i - x^2_i}^2}$

$M$-мерное Eвклидово пр-во: Такое пр-во, в котором расстояние между точками введено по прошлой формуле $\s R^m$

Начало координат: Точка $O(0, 0, \dots, 0)$

Открытый шар: Множестчо точек $\ss{M \in \s R^m | \rho(M, A) < R,\; A(a_1, \dots, a_m),\; R \in \s R^+}$. $A$ - центр, $R$ - радиус

$\eps$-окресность $A$: $\ss{M \in \s R^m | \rho(M, A) < \eps} =: \reg\eps A$

Прямоугольная окресность $A(a_1, \dots, a_m)$: $\ss{M \in \s R^m | \wrapm{x_i - a_i} < c_i (c_i > 0 \all i)}$

Внутренняя $A$ точка мн-ва $\ss M$: $\e \reg\eps A \in \ss M$

Граничная точка $A$ мн-ва $\ss M$: в $\all \reg\eps A$ $\e M \in \ss M, \e M' \not \in \ss M$

Изолированная точка $A$ мн-ва $\ss M$: $\e \reg\eps A: \not \e (M \neq A) \in \Omega$ (есть окресность, в которой нет точек)

Предельная точка $A$ мн-ва $\ss M$: $\all \exclreg\eps A \e M \in \ss M$ (в любой окресности есть точки из мн-ва)

Граница $\ss M$: Совокупность всех граничных точек мн-ва $\ss M$

Замкнутое множество: такое мн-во, которое содержит все свои граничные точки

Открытое множество: Все точки множества внутренние

$M$ ограничено, если оно целиком содержится в некотором шаре

($\e R > 0, A \in \s R^m: \all M \in \ss M : \rho(M, A) < R$)

Непрерывная кривая в $\s R^m$: мн-во точек $\ss {M(x_1, \dots, x_m) | x_i = \overset{\text{непр.}}{\ph_i(t)}, t \in [\alpha, \beta]}$ 

Концы кривой: точки $[A(\ph_1(\alpha), \dots, \ph_m(\alpha)), B(\ph_1(\beta), \dotsm \ph_m(\beta))]$

Кривая замкнутая, если $A=B$

Прямая в по-ве $\s R^m$: мн-во $\ss{M_i(x_1, \dots, x_m) | x_i = \overset\circ{x_i}+ a_it, t \in \s R}$

Связное мн-во: $\all M_1, M_2 \in \ss M$ можно соеднить непр. кривой, лежащей в $\ss M$

По определению ТОЛЬКО $\s R^m, \emptyset$ являются и открытыми, и замкнутыми
\\
Пример: $\ss{M(x_1, \dots, x_n) | \all i \in \overline{1,m} \; x_i \in \s Q, |x_i| < 1}$

$\all M \in \ss M \all \reg\eps M $ содержит точки с иррац коорд-ми, все эти точки так же являются граничными

То есть граничные точки и ВСЕ те, которые принадлежат множеству. и ВСЕ те, которые лежат "внутри куба", т.е. граница > мн-ва
\\
Утверждение: Любая внутренняя точка мн-ва является предельной

Док-во: Дано: $\e \reg{\eps_0} A \subs \ss M$, Доказать: $\all \eps > 0 \e M \in \reg\eps A$

Для $\eps > \eps_0: \all M \in \reg{\eps_0}A \in \ss M$

Для $\eps < \eps_0: \reg{\eps}A \subs \reg{\eps_0} A \subs \ss M \implies \all M \in \reg{\eps}A \in \ss M$
\\
Утверждение: Любая граничная точка множества является либо предельной, либо изолированной

1. $\system{
\text{Дано: } \all \reg\eps A \e M \in \ss M, \e M' \not \in \ss M (M, M' \in \reg\eps A) \\
\text{Отрицание изолированной: }\all \reg\eps A \e M \in \ss M (M \neq A)
} \implies \all \exclreg \eps A \e M \in \ss M \implies$

$\implies A$ - пред. точка 

2. Если $\e \reg\eps A, \e!A\in\ss M, $ то $A$ - изолированная
\\
Очень важное следствие: Замкнутое мн-во содержит все свои предельные точки

\subsection{Посл-ти точек в $\s R^m$}
Определения:

Если каждому числу $n \in \s N$ ставится в соответствие точка $M_n \in \s R^m$, то это посл-ть точек

Посл-ть точек ограничена, если $\e R > 0, \all n \in \s N: \rho(M, 0) < R$
\\
Лемма: Чтобы посл-ть была ограниченной $\Longleftrightarrow$ чтобы были ограничены посл-ти координат

Док-во:

1. Достаточность: $\ss{x_i^n}$ огр.: $\e R^n > 0: \all n |x_i^n| \leq \frac R {\sqrt m} \implies \rho = \sqrt{\sum_{i=1}^m\frac{R^2}{m}} = R$
\end{document}
