\input ../common.inc

\begin{document}

Лемма о координатной ограниченности: 
Для того, чтобы последовательносто $\ss{M_n} \in \s R^m$ была ограничена $\ioi$, чтобы были ограничены посл-ти координат

Необходимость: если ограничена, то координаты ограничены.\\
Дано: $\dst \e R > 0: \all n \rho(0, M_n) < R \implies \sqrt{\sum_{i=1}^n{x^2_i}} < \implies |x_i| < R$, доказано
\vspace{1cm}\\
Примечание: $\all m, \all m'$ обозначают "все координаты"\\
А теперь определения и леммы: \begin{itemize}\setlength\itemsep{0pt}
	\item $A = \lim_{n\to\infty}M_n$, если 
	$\all \eps > 0 \e N \in \s N, \all n < N : \rho(M_n, A) < \eps$
	\item Лемма: если $\ss{M_n} \in \ss{M}$ - замкнутое мн-во, $\ss{M_n} \to A \implies A \in \ss{M}$
	\ntab Док-во: 
	\ntab 1. $\e n, M_n = A \implies A \in \ss{M}$
	\ntab 2. $\all n\, M_n \neq A, \ss{M_n} \to A \implies \all \exclreg\eps A \e  M_n \in \ss{M}; A$ - предельная точка $\ss{M}$,
	а замкнутое мн-во содержит свои предельные точки
	\item Лемма о покоординатной сходимости: $\ss{M_n(x^n_1, \dots, x^n_m)} \to A(a_1, \dots, A_m) \ioi \all m': \ss{x^n_{m'}} \to a_{m'}$
	\ntab Доказательство достаточно простое :)
	\item Фундаментальная посл-ть $\ss{M_n} \in \s R^m$: $\all \eps > 0 \e N \in \s N, \all n > N, \all p \in \s N: \rho(M_n, M_{n+p}) < \eps$
	\item лемма о покоординатной фунд-сти: $\ss{M_n(x^n_1, \dots, x^n_m)} \text{ - фунд. } \ioi \all m': \ss{x^n_{m'}} \text{ - фунд. }$
	\item Теорема $\ss{M_n} \text{ сходится } \ioi \ss{M_n} \text{ фунд. }$ Док-во: 
	\ntab Достаточность: фунд $\implies$ сход; по лемме о координатной фунд-сти $\ss{x_i^n}$ - фундаментальные числовые последовательности $\implies$ они сходятся. 
	По лемме о координатной сход-сти $\ss{M_n}$ сходится
	\item Подпоследовательность: пусть $\ss{M_n} \in \s R^m$, выберем $\ss{K_n} \in \s N, \all n: k_n \geq n \land k_{n+1} > k_n, \all n$. Тогда подпосл. - это $M_{k_n}$
	\item Лемма: Если $\ss{M_n} \to A \implies \all K_n: \ss{M_{K_n}} \to A$. Доказательство:
	\ntab $\all \eps > 0 \e N \in \s N, \all n > N : \rho(M_n, A) < \eps;\; K_n > n > N \implies \rho(M_{K_n}, A) < \eps$
	\item ТЕОРЕМА Больцано-Вейерштрасса: Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Доказательство:
	\ntab По лемме о коорд. огран-сти $\all i \in \overline{1, m} \ss{\overset n x_i} - $ огр. 
	\ntab Выберем из $\ss{\overset n x_1}$ сходящуюся $\ss{\overset {k^1_n} x_{1}} \to a_1$. 
	\ntab Рассмотрим $\ss{M_{k_n^1}} \subs \ss{M_n}, M_{k_n^1} = (\overset {k^1_n}x_1, \dots, \overset{k^1_n} x_m)$ - ограничена, сходится к $A (a_1, \dots, a_m)$
	\ntab выделим $\ss{\overset {k^2_n} x_{1}} \subs \ss{\overset {k^1_n} x_{1}} \to a_1$
	\ntab Рассмотрим $\ss{M_{k^2_n}} \to A$, через $m$ итерация $\ss{M_{K^m_n}} \to A(a_1, \dots, A_m)$
	\ntab По лемме о покоординатной сходимости: $\ss{M_{k^m_n}} \to A$
\end{itemize}

\section*{\$ 3. Понятие ФНП}

Определения: \begin{itemize}\setlength\itemsep{0pt}
	\item Область в $\s R^m$ - всякое открытое связное множество
	\item Если каждой точке в множестве $\ss{M} \subs \s R^m$ поставлено в соответствие число $u \in \s R^1$, то на множестве $\ss{M}$ задана функция $u: \s R^m \to \s R^1 = f(M)$
	\item Предел ФНП: пусть $f(M)$ опр. в области $\c D$, $A$ - пред. точка $\c D$.
	\ntab по Коши: $(b = \lim_{M\to A}f(M)) \ioi (\all \eps > 0 \e \delta > 0, \all M \in \c D, \rho(M, A) < \delta: |f(M) - b| < \eps)$
	\ntab по Гейне: $(b = \lim_{N\to A}f(M)) \ioi (\all \ss{M_n} \subs \c D, \all n\, M_n \neq A, \ss{M_n} \to A : \ss{f(M_n)} \to b)$
	\item  Теорема: определения предела ФНП по Коши и по Гейне эквивалентны. Доказательство аналогично случаю функции 1 переменной. \\
	Пример 1: $U^I(M) : \s R^2 \to \s R^1$ - на осях равна нулю, везде кроме этого равна единице. \ntab
	$\system{
		&\ss{M^1_n} = \ss{(\frac 1 n,  0)} \to 0 \\
		&\ss{M^2_n} = \ss{(\frac 1 n,  \frac 1 n)} \to 1 \\
	}$ - предела не существует \\
	$U^{II}(M): $ не существует на осях, везде равна единице - предел существует (тоже по гейне)
	\\
	Пример 2: Докажем, что Если $(x+y)\sin\frac 1 x \sin\frac 1 y = 0, $ то $M(x, y) \to O(0, 0)$
	\ntab $\all \eps > 0 \e \delta \, \all M \in \s R^2\ss{ox, oy}, 0 < \rho(M, 0) < \delta: \wrapm{x+y}\wrapm{\sin\frac 1 x}\wrapm{\sin\frac 1 y} < \eps
	\ntab 0 < \rho (M, )) = \sqrt{x^2 + y^2} < \delta \implies |x| < \delta, |y| < \delta, \wrapm{x+y}\wrapm{\sin\frac 1 x}\wrapm{\sin\frac 1 y} < |x+y| < |x| + |y| < 2\delta \implies \delta = \frac \eps 2$
	\item Определение: $U: \s R^m \to \s R^1 = f(M)$ удовлетворяет Критерию коши в точке $M_0$, если \ntab
	$\all \eps > 0 \e \delta > 0, \all M_1, M_2 \in \exclreg \delta {M_0} : (\rho(M_1, M_0) < \delta \land \rho(M_2, M_0) < \delta \implies |f(M_1) - f(M_2)| < \eps)$ \ntab
	ЭТО НАДО ПЕРЕФОРМУЛИРОВАТЬ, ПОТОМУ ЧТО ЛЕВАШОВА ЗАПУТАЛАСЬ. 
	\item Теорема о критерии Коши для функций: 
	\ntab Чтобы существовал предел $u$ в точке $M_0$, она должна удовлетворять критерию Коши в этой точке
	\item Определение: $f(M)$ бесконечно малая (БМ) в точке $A$, если $\lim_{M\to A}f(M) = 0$
	\item Определение: Пусть $f(M), g(M)$ БМ в точке $A$, тогда $f(M) = o(g(M))$, если $\lim_{M\to A}\frac{f(M)}{g(M)} = 0$
\end{itemize}
\end{document}
