\input ../common.inc
\begin{document}
\section*{Лекция 3}

\hspace{5mm}теоремы o БМ:\\
Если $f(M), g(M)$ определены в $\exclreg{}{M_0}, f(M)\to 0, g(M) \to 0, \rho(M, M_0) \to 0$, то $\ss{f(M) \pm g(M)} \to 0$ 
\\
Если $f(M), g(M)$ определены в $\exclreg{}{M_0}, f(M) \to 0, \rho(M, M_0) \to 0, g(M)$ огр., То $f(M)\cdot G(M) \to 0$
\\
Если $f(M) \to 0$ при $\rho(M, M_0) \to 0$, то $\frac 1 {f(M)} \to \infty$

"Очень Важная Лемма": \\
Если $\lim_{M\to M_0} f(M) = b$, то $f(M) = b + \alpha(\rho(M, M_0))$, где $\alpha \to 0$ при $\rho(M, M_0) \to 0$

Док-во: \\
Взять определение предела, написать, что $\alpha(\rho) = |f(M) - \beta|$, по сути гг

Лемма, обратная к "Очень Важной Лемме":\\
Если $f(M)$ представима в виде $f(M) = b + \alpha(\rho(M, M_0))$, где $\alpha \to 0$, тогда $\lim_{M \to M_0}f(M) = b$

Теоремы об арифметических операциях: \\
Пусть $\dst f(M), g(M)$ определены в $\dst \exclreg{}{M_0}, \e \lim_{M \to M_0}f(M) =: a, \lim_{M \to M_0} =: b$. тогда
\mditem {
	\item $\dst \e \lim_{M \to M_0} f(M) \pm g(M) = a \pm b$
	\item $\dst \e \lim_{M \to M_0} f(M) \cdot g(M) = a \cdot b$
	\item И если $B\neq0$, то $\dst \e \lim_{M \to M_0}\frac{f(M)}{g(M)} = \frac A B$
}

Примеры вычисления пределов:\\
$\dst \lim_{\ss{x\to 0, y \to 2, z \to 3}} \frac{\sin{xyz}}x = \lim_{\ss{t \to 0, y \to 2, z \to 3}}yz\frac{\sin t}t = 6$

иногда удобно перейти к полярным координатам: \\
$\dst \lim_{x\to 0, y \to 0} \frac{xy}{x^2+y^2} = \wraps{x = \rho\cos\ph, y = \rho\sin\ph} = \lim_{\rho \to 0}\frac{\rho^2\sin\ph\cos\ph}{\rho^2} = \frac 1 2 \sin 2\ph$, значит, предел $\not \e$

\section*{\$ 4. Непрерывность ФНП.}
Определение: \\
Пусть $f(M)$ определена на $\s{M}$, $M_0$ - пред. точка $\s{M}$ \\
Тогда $f(M)$ непрерывна в $M_0$, если $\lim_{M \to M_0} f(M) = f(M_0)$

(по Коши)
$\all \eps >0 \e \delta > 0, \underset{=\sqrt{\sum_{i=1}^m{(M_i-{M_0}_i)^2}}}{\rho(M, M_0)} < \delta : |f(M) - f(M_0)| < \eps$ \\
Пусть $\Delta x_i := x_i - \overset \circ x_i$, Тогда $M_0(\overset \circ x_1, \dots, \overset \circ x_m), M(x_1 + \Delta x_1, \dots, x_m + \delta x_m)$ \\
По лемме о покоординатной сходимости: $M \to M_0 \ioi \all i = \overline{1, m}\; \Delta x_i \to 0 \ioi \rho(M, M_0) \to 0$ \\
$f(M) $ непр $\overset{\text{def}}\ioi M \to M_0 \implies f(M) \to f(M_0)$; \\
$\D f = f(M) - f(M_0) \to 0$, если $\D x_i \to 0 (\all i \in \overline{1, m})$ - разностная форма определения непрерывности!

Определение: $\D_if := f(\overset\circ x_1, \dots, \ocirc {x_{i-1}}, \ocirc {x_i} + \D x_i, \ocirc{x_{i+1}}, \dots, \ocirc {x_m}) -  
f(\overset\circ x_1, \dots, \ocirc {x_{i-1}}, \ocirc {x_i}, \ocirc{x_{i+1}}, \dots, \ocirc {x_m})$ - приращение вдольь координаты $x_i$

Определение: $f(x_1, \dots, x_m)$ непрерывна по координате $x_i$, если $\D_if \to 0$ при $\D x_i \to 0$

Лемма: Если $f(x_1, \dots, x_m)$ непр. в $M_0(\ocirc x_1, \dots, \ocirc x_m)$, то она непрерывна в этой точке по каждой координате 
(Это непосредственное следствие определения непрерывности и разностной формы).

Примечание: Обратное неверно! Непрерывность по каждой координате $\lnot \implies$ непрерывность в точке 
$\wrapb{f(x, y) = \system{&\frac{xy}{x^2+y^2}, x^2+y^2 \neq 0 \\ &0, x^2+y^2 = 0} \text{т.к. предел в точке не сущуствеует}}$

Для непрерывнфх функций имеют место теоремы: \mditem{ 
	\item об арифметических операциях с функциями
	\item О сохранении знака непрерывной функции: \\
		$f(M)\lessgtr 0\quad(M \in \reg{}{M_0})$. Тогда $\e \reg 1 {M_0} \subseteq \reg{}{M_0}, 
		\all M \in \Omega_1: f(M) \lessgtr 0$
	\item О прохождении функции через любое промежуточное значение (на связном мн-ве $\c D$): \\
		$M_1, M_2 \in \c D, u_1 := f(M_1), u_2 := f(M_2)\quad \all u_0 \in [u_1, u_2]$ на $\all$ кривой, соед. $M_1, M_2$, $\e A: f(A) = u_0$
	Доказательство: $\c D$ - связное, кривая $x_1 = \ph_1(t), \dots, x_m = \ph_m(t)$, где $\ph_i(t)$ непр. $\all i \in \overline{1, m}, t \in [t_1, t_2]$\\
	$u_1 = M_1(\ph_1(t_1), \dots, \ph_m(t_1)), u_2 = \text{[аналогично]}$. $f(\ph_1(t), \dots, \ph_m(t))$ - непрерывна, тогда $\e t_a \in [t_1, t_2]: f(\ph_1(t_a), \dots, \ph_m(t_a)) = u_0$
	по теореме для одномерного случая.
	\item Непрерывность сложной функции: есть $m$ функций $k$ переменных: $x_1 = \ph_1(t_1, \dots, t_k), \dots, x_m = \ph_m(t_1, \dots, t_k)$,
	Они определены в $\reg{}A$, непрерывны в $A(a_1, \dots, a_k)$. Пусть $u = f(M) = f(x_1, \dots, x_m)$ определены в $\reg{}B 
	\wraps{B(\ph_1(A), \dots, \ph_m(A))}$ и непрерывны в $B$. Тогда $F(t_1, \dots, t_k) = f(\ph_1(t_1, \dots, t_k), \dots, \ph_2(t_1, \dots, t_k))$
	непрерывны в точке $A$.

	Доказательство: $f(x, y), x = \ph(u, v), y = \psi(u, v)$ \\
	По условию $\all \eps > 0 \e \delta > 0, \all (x, y): \sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2} < \delta :
		|f(x, y) - f(x_0, y_0)| < \eps$.\\
	По условию $\all \delta > 0 \e \gamma, \all (u, v) \sqrt{(u-u_0)^2 + (v-v_0)^2 } < \gamma:\ntab
		|x-x_0| = |\ph(u, v) - \ph(u_0, v_0)| < \frac \delta {\sqrt 2} \land |y-y_0| = |\psi(u, v) - \psi(u_0, v_0)| < \frac \delta {\sqrt 2} $ \\
	Тогда $\rho((x, y), (x_0, y_0)) < \delta \implies |f(x, y) - f(x_0, y_0)| = |f(\ph(u, v), \psi(u, v)) - f(\ph(u_0, v_0), \psi(u_0, v_0))| < \eps$ \\
	Запишем определение из того, что написано выше: \ntab
		$\all \eps > 0 \e \gamma, \all u, v \sqrt{(u-u_0)^2 + (v-v_0)^2} : |f(\ph(u, v), \psi(u, v)) - f(\ph(u_0, v_0), \psi(u_0, v_0))| < \eps$ \\
	Что является определением непрерывности сложной функции
}
\end{document}
