\input ../common.inc
\begin{document}

\textbf{Теорема}: Достаточное условие дифференцируемости функции \\
Пусть $u = f(M)$ опр. в $\Omega(M_0)$. Докажем для $M(x, y), M_0(x_0, y_0)$ (2-мерный случай) \\
Пусть $\e u_x'(M), u_y'(M), M \in \Omega_1(M_0)$, они же непрерывны в $M_0$, тогда $u = f(M)$ дифф-ма 
В точке $M_0$

Доказательство: Рассмотрим $\D u(M_0) = f(M) - f(M_0) = f(M) - f(M') + f(M') - f(M_0)\\
f(M) - f(M') = f(x_0 + \Dx, y_0 + \Dy) - f(x_0, y_0 + \Dy)$ - считаем приращением функции $x$,где $y_0 + \Dy$ - параметр.
По теореме о формуле Лагранжа $\wrap {[[}{]]}{f(x_0 + \Dx) - f(x_0) = f'(x_0 + \theta \Dx)\Dx, \theta \in [0, 1]}$ \\
$\dst f_x'(x_0 + \theta\Dx, y_0 + \Dy)\Dx. f_x'$ непр. в $\dst M_0 \implies \lim_{\Dx, \Dy \to 0}f_x'(x_0 + \theta\Dx, y_0 + \Dy) = f_x'(x_0, y_0)$\\
По "очень важной лемме": $f_x'(x + \theta\Dx, y_0 + \Dy) = f_x'(x_0, y_0) + \alpha_1(\Dx, \Dy), \text{ где } \alpha \to 0$\\
Окончательно: $f(M) - f(M') = f_x'(x_0, y_0)\Dx + \alpha_1(\Dx, \Dy)\Dx$\\
Рассмотрим $f(M') - f(M_0) = f(x_0, y_0 + \Dy) - f(X_0, y_0) \overset{\text{лагранж}}= f_y'(x_0, y_0 + \theta\Dy)\Dy \overset{\text{оч важ лемм}}=\\=
f_y'(x_0, y_0)\Dy + \alpha(\Dx, \Dy)\Dy$

Тогда: $\D u = f_x'(x_0, y_0)\Dx + f_y'(x_0, y_0)\Dy + \alpha_1(\Dx, \Dy)\Dx + \alpha_2(\Dx, \Dy)\Dy$

\textit{Пример 1}: $u(x, y) = (x^2+y^2)\sin\frac1{\sqrt{x^2+y^2}}$, доопред. $u(0, 0) = 0$
\\$\dst u_x'(0, 0) = \lim_{\Dx \to 0}\frac{\D_xu(0, 0)}\Dx = \lim_{\Dx\to0}\frac{(\Dx)^2\sin\frac 1 {\wrapm{\Dx}}}{\Dx} = 0;\quad u_y'(0, 0) = 0$\\
В окресности $\exclreg{}{0, 0}$ работает таблица производных: $\dst u_x' = 2x\sin\frac 1 {\sqrt{x^2+y^2}} - \frac x {\sqrt{x^2 + y^2}}\cos\frac 1 {\sqrt{x^2+y^2}}$\\
В полярных координатах: $\dst\lim_{\rho \to 0, \ph \in [0, 2\pi]}\wrapb{2\rho\cos\ph\sin\frac1\rho-\frac{\rho\cos\ph}\rho\cos\frac1\rho} \not \e$, значит, разрывна - 
достаточное условие не выполнено

Проверим по определению: $\dst \lim_{\Dx, \Dy \to 0}\frac{u(\Dx, \Dy) - 0 - 0\Dx - 0\Dy}{\sqrt{\Dx^2 + \Dy^2}} = 0$, значит, дифференцируема

\textit{Пример 2}: $\system{&1, xy\neq0\\&0,xy=0\\}$
\hspace{1cm}Разрывна $\implies$ недифференцируема\\
$\dst u_x'(0, 0) = \lim_{\Dx\to0}\frac{\D_xu}{\Dx} = \lim_{\Dx\to0}\frac{u(\Dx, 0) - u(0, 0)}\Dx = 0 = u_y'(0, 0)\\
u_x'(0, y_0 \neq 0) = \lim_{\Dx\to0} \frac{u(\Dx, y_0) - u(0, 0)}{\Dx} \not \e \\
u_x', u_y'(x_0 \neq 0, y_0 \neq 0) = 0$ (по работающей таблице производных) \\
Получилось, что $u_x', u_y'$ непрерывны в области определения

\textbf{Теорема о дифф. сложной функции}: Пусть $x \ph(u, v), y = \psi(u, v)$ дифф в $(u_0, v_0),\;x_0 = \ph(u_0, v_0), y_0 = \psi(u_0, v_0)$, пусть 
$f(x, y)$ дифф в точке $(x_0, y_0)$, тогда $F(u, v) = f(\ph(u, v), \psi(u, v))$ дифф. \\
Док-во: $\system {
	&\Dx(u_0, v_0) = \ph_u'(u_0, v_0)\D u + \ph_v'(u_0, v_0)\D v + \alpha_1(\D u, \D v)\D u + \alpha_2(\D u, \D v) \D v\\
	&\Dy(u_0, v_0) = \psi_u'(u_0, v_0)\D u + \psi_v'(u_0, v_0)\D v + \beta_1(\D u, \D v)\D u + \beta_2 (\D u, \D v)\D v\\
}, \system{\alpha_1, \alpha_2 - \text{БМ}\\\beta_1, \beta_2 - \text{БМ}} \\
\D z(x_0, y_0) = f_x'(x_0, y_0)\underbrace\Dx_* + f_y'(x_0, y_0)\underbrace\Dy_* + \gamma_1(\Dx, \Dy)\Dx + \gamma_2(\Dx, \Dy)\Dy $
\\ Подставим $*: \D z(x_0, y_0) = \\
f_x'(x_0, y_0)\ph_u'(u_0, v_0)\D u + f_y'(x_0, y_0)\psi_u'(u_0, v_0)\D u + 
f_x'(x_0, y_0)\ph_v'(u_0, v_0)\D v + f_y'(x_0, y_0)\psi_v'(u_0, v_0)\D v + \\
f_x'(x_0, y_0)\alpha_1(\D u, \D v)\D u + f_y'(x_0, y_0)\beta_1'(\D u, \D v)\D u + 
\gamma_1(\Dx, \Dy)\ph_u'(u_0, v_0)\D u + \gamma_1(\Dx, \Dy)\alpha_1(\D u, \D v)\D u + 
\gamma_2(\Dx, \Dy)\psi_u'(u_0, v_0)\D u + \gamma_2(\Dx, \Dy)\beta_1(\D u, \D v)\D u + 
f_x'(x_0, y_0)\alpha_2(\D u, \D v)\D v + f_y'(x_0, y_0)\beta_2'(\D u, \D v)\D v + 
\gamma_1(\Dx, \Dy)\ph_v'(u_0, v_0)\D v + \gamma_1(\Dx, \Dy)\alpha_2(\D u, \D v)\D v + 
\gamma_2(\Dx, \Dy)\psi_v'(u_0, v_0)\D v + \gamma_2(\Dx, \Dy)\beta_2(\D u, \D v)\D v
$\\
Т.к. $\D u, \D v \to 0 : \D x, \D y \to 0, \gamma_{1,2} \to 0, $ все функции дифференцируемы $\implies$ непрерывны $\implies$ ограничены:
$F(u, v) = z(\ph(u, v), \psi(u, v));\quad 
\system {
	&F_u'(u_0, v_0) = f_x'\ph_u'(u_0, v_0) + f_y'\psi_u'(u_0, v_0)\\
	&F_v'(u_0, v_0) = f_x'\ph_v'(u_0, v_0) + f_y'\psi_v'(u_0, v_0)\\
}$\\
Общая формула: $\dst f(\ph_1(t_1, \dots), \dots): 
\frac{\d f}{\d t_k} = \sum_{i=1}^m\frac{\d f}{\d \ph_i}\frac{\d \ph_i}{\d t_k}$

\end{document}
