\input ../common.inc
\begin{document}

Напомним теорему о производной сложной функции ФНП: $F = f(\ph(u, v), \psi(u, v)). F'_u = f_x'\ph_u' + f_y'\psi_u'$

\section{Дифференциал ФНП}
Пусть $u = f(M)$ определена в $\Omega(M_0), M_0(\circ x_1, \dots, \circ x_m), M(\circ x_1 + \Dx_1, \dots, \circ x_m + \Dx_m)$. \\
Если $u$ дифференцируема в $M_0 \overset{def}\ioi \D u = u(M) - u(M_0) = \underbrace{A_1\Dx_1 + \dots + A_m\Dx_m}_{\text{дифференциал}} + o(\rho(M, M_0))$

\textbf{Дифференциал (первый)} - линейная часть приращения функции

Будем использовать обозначения $A_i = \frac{\d u}{\d x_i}, dx_i \equiv \D x_i$
\\
Дифференциал обозначается \textit{так}: $\dst \wrap . | {du}_{M_0} = \frac{\d u}{\d x_1}(M_0)dx_1 + \dots + \frac{\d u}{\d x_m}(M_0)dx_m $
Дифференциал является линейной функцией $m$ переменных $\d x_i, i = \overline{1, m}$
\\{}

\textbf{Инвариантность формы первого дифференциала}:\\
На примере, рассмотрим функцию $F = \underbrace{f(\ph(u, v), \psi(u, v))}_{dx = \ph_u'du + \ph_v'dv, dy = \psi_u'du + \psi_v'dv}:\\
dF = F_udu + F_vdv = (f_x'\ph_u' + f_y'\psi_u')du + (f_x'\ph_v' + f_y' \psi_v')dv 
= f_x'(\ph_u'du + \ph_v'dv) + f_y'(\psi_u'du + \psi_v'dv) = f_x'dx + f_y'dy$

Свойство инвариантности формулы первого дифференциала состоит в том, что мы можем записать функцию сложной переменной
через $dx, dy$, через $du, dv$, и это будет одно и то же

\subsection{Теоремы об арифметических операциях дифференцируемых функций}
Пусть $f(M), g(M)$ определены и дифференцируемы в $\Omega(M_0)$. тогда:\\
$f(M) \underset{*}\pm g(M)$ дифференцируемы, и если $\frac 1 {g(M)}$ дифференцируема, то $\frac{f(M)}{g(M)}$ тоже дифференцируема

\section{\$ 6. Геометрический смысл дифференцируемости}

\image{m-0306}
\textbf{Теорема о касательной плоскости}\\
$S$ - поверхность, $\pi$ - плоскость $\e N_0(x_0, y_0, z_S(x_0, y_0)) \in S \cap \pi, N_1 \in \pi, NN_1 \perp \pi$

Плоскость $\pi$ называется касательной плоскостью к поверхности $S$, если $\dst \lim_{N \to N_0, N \in S}\frac{\rho(N, N_1)}{\rho(N, N_0)} = 0$

\textbf{Достаточное условие $\e$ касательной плоскости}\\
Если функция $u = f(x, y)$ дифференцируема в точке $M_0$, то у поверхности $z_S = f(x, y) \e$ касательная плоскость в точке $N_0(x_0, y_0, f(x_0, y_0))$, 
которая имеет уравнение $z - f(x_0, y_0) = \frac{\d f}{\d x}(x_0, y_0)(x-x_0) + \at {\frac{\d f}{\d y}}{(x_0, y_0)}(y-y_0)$
\\
Доказательство: $u(M) - u(M_0) = \frac{\d f}{\d x}(x_0, y_0)\underbrace{(x-x_0)}_{=\D x} + \frac{\d f}{\d y}(x_0, y_0)\underbrace{(y-y_0)}_{=\Dy} + o(\rho) =\\=
u(M) - \wrapc{\underbrace{f(x_0, y_0) + \frac{\d f}{\d x}(x_0, y_0)(x-x_0) + \frac{\d f}{\d y}(x_0, y_0)(y-y_0)}_{z_\pi(M)}} = o(\rho)
\\
z_S(M) - z_\pi(M_0) = o(\rho(M, M_0)) = NN_0\hspace{1cm}N_0N > M_0M;\\
 NN_1 < NN_2 = MM_0; \dst\lim_{N\to N_0}\frac{NN_1}{NN_0} = \wraps{0 < \frac{NN_1}{NN_0} = \frac{\rho(N,N_1)}{\rho(N_1,N_0)} < \frac{o(\rho(M_0, M))}{\rho(M_0, M)} \to 0 (N \to N_0, M \to M_0)} =\\= 0$

\section{Производная по направлению и градиент}

\image{m-0306-2}
\textbf{Производная по направлению} $\v l: \dst \lim_{M\to M_0 \in L}\frac{u(M) - u(M_0)}{M_0M}, M_0M = \system{&|M_0M|, M_0M \collin \v l\\&-|M_0M|, M_0M \collin -\v l\\}$

Обозначается: $\dst \frac{\d u}{\d l}(M_0)$

Рассмотрим: $M(x, y), M_0(x_0, y_0), u(M) = f\wrapb {\vsystem . {x = x_0 + t\cos\alpha\\y = y_0 + t\sin\alpha}} = \ph(t) \implies \frac{\d u}{\d l}(M_0) =
\dst \lim_{t \to 0}\frac{\ph(t) - \ph(0)}t$

Пример: $u = \sqrt[3]{x^2y}, l = \ss{\cos \alpha, \sin \alpha}, \frac{\d u}{\d l}(0, 0) = ? \\
$

\end{document}
