\input ../common.inc
\begin{document}
\subsection{Теоремы об арифметических операциях}
Если $u = f(M), h = f(M) $ опр. $\in \Omega(M) \land$ дифф. в $ M$, тогда $u \pm v, uv$ дифф. и верны равенства:\\
$d(u\pm v) = du \pm dv\hspace{1cm} d(uv) = udv+vdu$\\
Если $\dst v \neq 0 \in \Omega(M): d\frac u v = \frac{vdu-udv}{v^2}$

Доказательство 1: \\
$\dst \D u(M) = \sum_{i=1}^m\frac{\d u}{\d x_i}\Dx_i + \bar o(\rho);\quad \D v = \sum_{i=1}^m\frac{\d v}{\d x_i}\Dx_i + \bar o(\rho)\\
\D u + \D v = \sum_{i=1}^m\wrapb{\frac{\d u}{\d x_i} + \frac{\d v}{\d {x_i}}}\Dx_i =
 f(x_1 + \Dx_1, \dots) + g(x_1 + \Dx_1, \dots) - f(\dots) - g(\dots) = \D(u+v) = \sum_{i=1}^m \frac{\d(u+v)}{\d x_i}\Dx_i + \bar o(\rho)$ - 
значит, дифференцируемая. Пользуясь линейностью оператора дифференцирования по 1 переменной, разбиваем на 2 суммы: 
$\dst \sum_{i=1}^m\frac{\d u}{\d x_i}\Dx_i + \sum_{i=1}^m\frac{\d v}{\d x_i}\Dx_i + \bar o(\rho) = du + dv$

Докажем 2 и 3:
$w := u(\dots)v(\dots)$ - сложная функция, дифференцируемая в $(u(M), v(M))$. По теореме о 
дифференцировании сложной функции и свойству инвариантности 1 дифференциала: \\
$\dst d(uv) = vdu+vdu;\quad d\wrapb{\frac u v} = u d\wrapb{\frac 1 v} + \frac 1 v du = \frac{udv -vdu}{v^2}$

\subsection{Продолжаем параграф 6. Градиент.}
Рассмотрим $u = f(M)$, дифф. в $M_0$.
На прямой $L$ с направлением $\v l\ss{\cos\alpha, \sin\alpha}$

$\dst \frac{\d u}{\d l} = \lim_{t\to 0}\frac{f(x + t\cos\alpha, y + t\sin\alpha)}t = \frac{\d f}{\d t}_{t=0} = f_x'(x_0, y_0)\cos\alpha + f_y'(x_0, y_0)\sin\alpha$

Введём \textbf{Градиент}: $u(M_0) = \ss{f_x'(x_0, y_0), f_y'(x_0, y_0)} = \nabla u(M_0) \implies
\frac{\d u}{\d l}(M_0) = \wrapb{\nabla u(M_0) \cdot \v l}$, где $l$ - \textbf{ЕДИНИЧНЫЙ} вектор, а $u$ \textbf{ДИФФЕРЕНЦИРУЕМА} в точке

Замечание 1: формула верня для любого $\s R^m, m \in \s N$.

Замечание 2: направление градиента совпадает с направлением \textit{максимальной скорости роста} функции.
На этом основаны алгоритмы gradient descent.

Пример 1: $u = x^2+y^2+z^2\quad L= \ss{1,1,1}\quad M_0(1, 2, 3)\quad \frac{\d u}{\d l}(M_0) = ?\\
\nabla u = \ss{2x, 2y, 2z};\quad l=\ss{\frac1 {\sqrt 3}, \frac 1 {\sqrt 3}, \frac 1 {\sqrt 3}};\quad
\frac{\d u}{\d l}(M_0) = \frac 1 {\sqrt 3} (2 + 4 + 6) = 4\sqrt 3
$ 

Пример 2: поле точечного заряда в точке $\dst M_0 (\v r_0);\quad u = l\frac e{\wrapm{\v r - \v r_0}};\quad E = -\nabla u
\\\wrapm{\v r - \v r_0} = \sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 + (z-z_0)^2}, \nabla \wrapb{\frac 1 {\wrapm{\v r - \v r_0}}} =\\=
\wrapc{\frac \d {\d x} \frac 1 {\sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 + (z-z_0)^2}}, \frac \d {\d y} \frac 1 {\sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 + (z-z_0)^2}}, \frac \d {\d z} \frac 1 {\sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 + (z-z_0)^2}}}$

\section{\$ 7. Производные и дифференциалы высшиъ порядков.}
Пусть $u$ дифф. в $\Omega(M), тогда \e u_{x_i}'(M)$. если $u_{x_i}'$ дифф. в $M$, то $\dst \frac{\d u_x'}{\d x_k}$ - вторая частная производная $u$ по $x_i, x_k: \dst \frac {d^2u}{dx_idx_k}Ъ$. 
Если $i \neq k$, то производная смешанная

Сейчас мы записываем примеры, но я этих примеров уже столько нарешался в первом семестре, что тошно...

Пример 2: $u = \system{-xy, |y| > |x|\\xy, |y| \leq |x|}$ - разрывна на прямых $y = \pm x$\\
$u_x': y, -y, y, -y, u_y': x, -x, x, -x$ в разных местах относ. прямых разрыва\\
$\dst u_x'(0, 0) = \lim_{\Dx\to0}\frac{\D_x u(\Dx, 0) - u(0, 0)}\Dx = 0 = u_y'\\
\lim_{x, y \to 0}u_x' = 0 = \lim_{x, y \to 0}u_y'$ - выполнено достаточное условие дифференцируемости в $(0, 0)$
посчитаем вторые частные производные: $\dst \system{
	&u_{xy}''(0, 0) = \lim_{\Dy \to 0}\frac{u_x'(0, \Dy) - u_x'(0, 0)}{\Dy} = -1 \\
	&u_{yx}''(0, 0) = \lim_{\Dx \to 0}\frac{u_x'(\Dx, 0) - u_x'(0, 0)}{\Dy} = 1\\
}$

Во хуетаааа... :000

\end{document}
