\input ../common.inc
\begin{document}
Tue Mar 18 10:51:08 MSK 2025

\section{\$7. Производные и дифференциалы высших порядков.}

\textbf{Теорема}: Пусть $u = f(x, y)$ имеет частные производные $f_{xy}", f_{yx}"$ в $\Omega(M_0)$ и непрерывны в $M_0$, 
тогда $f_{xy}"(M_0) = f_{yx}"(M_0)$

\image{math-0381-1}
Доказательство: составим $F(h) = f(x_0 + h, y_0 + h) + f(x_0, y_0) - f(x_0, y_0 + h) - f(x_0 + h, y_0)$. 
Введём $\ph(x) = f(x, y_0 + h) - f(x, y_0)$. Тогда $F(h) = \ph(x_0 + h) - \ph(x_0)$. 
Введём $\psi(y) = f(x_0 + h, y) - f(x_0, y)$. Тогда $F(h) = \psi(y_0 + h) - \psi(y_0)$.\quad $\ph, \psi$ дифференцируемы по условию, 
функции одной переменной, по теореме Лагранжа:\\
$\system{
	&F(h) & = & \ph(x_0+h) - \ph(x_0) = \ph_x'(x_0 + \theta_1 h)\cdot h =  \\
	& & = & f_x'(x_0 + \theta_1 h, y_0 + h)h - f_x'(x_0 + \theta_1 h, y_0)h = \\
	& & = & f_{xy}"(x_0+\theta_1h, y_0 + \theta_2h)h^2 = (f_{xy}"(x_0, y_0) + \alpha_1(h))h^2\quad(h \to 0)\\
	&F(h) & = & f_{yx}"(x_0, y_0)h^2 + \alpha_2(h)h^2\\
}\\\implies f_{xy}"(x_0, y_0) + \alpha_1(h) = f_{yx}"(x_0, y_0) + \alpha_2(h) 
\overset{h \to 0}\implies\\\implies f_{xy}"(x_0, y_0) = f_{yx}"(x_0, y_0)$

\textbf{Определение}: Функция называется дважды дифференцируемой, если она дифф. в окресности $M_0$ и все её первые ЧП дифф. в точке

\textbf{Теорема}: если функция дважды дифференцируема в точке, то её смешанные вторые частные производные в этой точке равны

Доказательство: используя переход по Лагранжу в прошлом доказательстве:
$F(h) = \underbrace{\wrapb{f_x'(x_0 + \theta_1 h, y_0 + h) - f_x'(x_0 + \theta_1 h, y_0)}}_{\D f_x} h\\
\system{
	&\D f_x' = f_{xx}"(M_0)\underbrace\Dx_{=0} + f_{xy}"(M_0)\underbrace\Dy_{=h} + \bar o(h)\\
	&\D f_y' = f_{yx}"(M_0)\underbrace\Dx_{=h} + f_{yy}"(M_0)\underbrace\Dy_{=0} + \bar o(h)
}\implies F(h) = \wrapb{f_{xy}"\cdot h + \bar o(h)}h = \wrapb{f_{yx}"\cdot h + \bar o(h)}h \overset{h\to 0}\implies \\ \implies
f_{xy}(M_0) = f_{yx}(M_0)$

\textbf{Определение}: $n$ раз дифф. в точке $M_0$, если она $n-1$ раз дифф-ма в окресности $M_0$ и все её частные производные $n-1$-ого порядка дифференцируемы в точке $M_0$

\textbf{Теорема}: Если $u = f(M) \quad n$ раз дифференцируема в точке $M_0$, то все её смешанные частные производные до $n$-ого порядка не зависят от порядка дифференцирования

\subsection{Дифференциалы высших поряков}
Пусть $u = f(M)$ дважды дифференуируема в $M(x, y) \implies du = f_x'(M)dx = d_y'(M)dy$
\mdenum{
	\item Считаем, что $dx, dy$ - фиксированные константы
	\item Считаем, что $du(x, y)$ - функция переменных $x, y$
	\item Вычислим $d^2u = d(du)$, считая, что $dx, dy$ не меняются
}
$d^2u = d(f_x'(x, y)dx + f_y'(x, y)dy) = (f_{xx}"\delta x + f_{yy}"\delta y)dx + (f_{xy}"\delta x + f_{yx}"\delta y)dy \overset{\delta x = dx}= f_{xx}dx^2 + 2f_{xy}dxdy + d_{yy}dy^2$

\textbf{Определение}: Оператор - правило, по которому каждой функции из некоторого множества ставится в соответсвие другая функция (из того же или другого множества)

\textbf{Операторы}: $\system{
	&\frac{\d}{\d x}: u \to u_x'\\
	&\frac{\d}{\d y}: u \to u_y'\\}\hspace{1cm}\system{
	&d = \frac{\d}{\d x}dx + \frac{\d}{\d y}dy\\
	&d^2 = \frac{\d^2}{\d x^2}dx^2 + \frac{\d^2}{\d y^2}dy^2 + 2 \frac{d^2}{dxdy}dxdy\\
}$

По индукции верно: $\dst \d^n = \wrapb{\sum_{i=0}^m\frac{\d}{\d x_i}dx_i}^n = \wrapb{\frac{\d}{\d x_1}dx_1 + \dots \frac{\d}{\d x_m}dx_m}^n$

\textbf{Второй дифференциал сложной функции}: $f(x(t_1, \dots, t_k), y(t_1, \dots, t_k))\\
df = f_x'dx + d_y'dy, dx = \frac{\d x}{\d t_i}dt^i, dy = \frac{\d y}{\d t_i}dt^i$ (обозначания Энштейна для ЛК)\\
$d^2 f = d(f_x'dx + f_y'dy) = d(f_x')dx + f_x'd^2x + d(f_y')dy + f_y'd^2y = f_{xx}"dx^2 + 2f_{xy}"dxdy + f_{yy}"dy^2 + f_x'd^2x + f_y'd^2y$ - это свойство
\textbf{не инвариантности} формулы второго дифференциала

Заметим, что если $x = \alpha^it_i, y = \beta^it_i$, то формула дифференциала всё-таки сохраняется для любого порядка (т.к. $d^n x = d^n y = 0$)

\section{Формула тейлора для ФНП}
\image{math-0381-2}
Пусть $u = f(M)\;n$ раз дифференцируема в окресности $\Omega(M_0)$, тогда $\e N \in \Omega(M_0):\\ u(M) = u(M_0) + du(M_0) + \frac 1 {2!}d^2u(M_0) + \dots + \frac{1}{n!}d^nu(M_0) + \frac 1 {n+1}!d^{n+1}u(N)$

Доказательство: Уравнение отрезка $MM_0: \system{
	&x_1 = \ocirc x_1 + \underbrace{(\overset m x_1 - \ocirc x_1)}_{\Dx_1}t\\
	&\hspace{25mm}\vdots\\
	&x_n = \ocirc x_n + \underbrace{(\overset m x_n - \ocirc x_n)}_{\Dx_n}t
}\\
u(M) = f(\ocirc x_1 + (\overset m x_1 - \ocirc x_1)t, \dots, \ocirc x_n + (\overset m x_n - \ocirc x_n)t)$, и применяя формулу для одномерного случая получаем формулу тейлора: 
$F(1) = F(0) + dF(0) + \dots,\quad F(1) = u(M)\quad F(0) = u(M_0)\\
dF(0) = \at{\frac{\d f}{\d x_i}}{M_0}\Dx^i = df(M_0)\quad d^2F(0) = \wrapb{\at{\frac{\d}{\d x_i}}{M_0}\Dx^i}^2 = d^2u(M_0)$

\end{document}
