\input ../common.inc
\begin{document}
Thu Mar 20 10:51:19 MSK 2025

\textbf{Многочлен тейлора:} $\dst P_n(M) = u(M_0) + du|_{M_0} + \frac 1 2 d^2u|_{M_0} + \dots + \frac 1 {n!}d^nu|_{M_0}$

\textbf{Свойства остатка в разложении тейлора}: \mdenum{
	\item $P_n(M)$ - многочлен $n$-ого порядка от $M$
	\item Все производные $P_n(M)$ вплоть до порядка $n$ в точке $M_0$ совпадают с производными $u$ в $M_0$
}

напомним \textbf{определение}: $u = f(M)\quad n$ раз дифференцируема в $M_0$ $\Longleftarrow$ дифференцируема в $\Omega(M_0)$ и 
все её частные производные $n-1$-ого порядка дифференцируемы в $M_0$

\textbf{Теоремы о формуле тейлора:} \mdenum{
	\item Конечные приращения: 1 раз дифф-ма в $M_0$ (опр. в $\Omega(M_0)$) $\implies u(M) - u(M_0) = du(N)$
	\item Остаточный член Пеано: $f(M)\quad n$ раз дифференцируема в $M_0$. Тогда для $M \in \Omega(M_0)$ верно $u(M) = P_n(M_0) + \bar o(\rho(M, M_0))$
	
	Доказательство: По индукции. Если $n=1$, $u = f(x, y)$ дифф-ма в $M_0$, то её приращание \\
	$u(x, y) - u(x_0, y_0) = u_x'(x_0, y_0)\Dx + u_y'(x_0, y_0)\Dy + \bar o(\rho)$\\
	Для $n = 2$: $R_3(M) = u(M) - P_2(M) \implies R_3(M) - R_3(M_0) = \frac{\d R_3}{\d x}(N)\Dx + \frac{\d R_3}{\d y}(N)\Dy,$ это выражение дифференцируемо 2 раза, поэтому 
	$\frac{\d R_3}{\d x}(n) = \underbrace{P^{R_3}_1(M_0)}_{=0} + \bar o(\rho(N, M_0)) = \bar o(\rho(M, M_0))
	\implies R_3(M) = \bar o(\rho)\Dx + \bar o(\rho)\Dy = \bar o(\rho^2)$
}

\end{document}
