\input ../common.inc
\begin{document}
Tue Mar 25 10:51:27 MSK 2025
\section{\$9. Локальный экстремум ФНП}
Пусть $u = f(M)$ определена в области $\c D, \ocirc M(\ocirc x_1, \dots, \ocirc x_m) \in \c D$

\textbf{Локальный минимум}: $\e \Omega(M_0) \in \c D, \all M \in \exclreg{}(M_0): f(M) > f(M_0)$

\textbf{Локальный максимум}: Аналогично

\textbf{Локальный экстремум}: Либо минимум, либо максимум
\\
\textbf{Необходимое условие $\e$ локального экстремума}: Если $M_0$ - точка 
локального экстремума $f(M)$ и $\e$ $\dst{\d u}\over{\d x_k}$ $(M_0)$, то
$\frac{\d u}{\d x_k}(M_0) = 0$

Доказательство: Дано, что $\e \Omega(M_0), \all M \in \ocirc\Omega(M_0) \wraps{f(M) >
f(M_0) \lor f(M) < f(M_0)}$. Это верно для точек $M_k$, на множестве точек
$\ss{M_k}$ рассмотрим функцию 1 переменной $\ph(x_k) = f(\ocirc x_1, \dots, x_k,
\dots, \ocirc x_m)$. Т.к. $\e \frac{\d f}{\d x_k}(M_0) = \ph'(\ocirc x_k)$, и
выполняется $\wrapc{f(M_k) < f(M_0) \lor f(M_k) > f(M_0)} \ioi\\\ioi \wrapc{\ph(x_k) <
\ph(\ocirc x_k) \lor \ph(x_k) > \ph(\ocirc x_k)} \implies \ocirc x_k$ -
локальный экстремум $\ph(x_k)$, а $\wrapb{\e \ph'(\ocirc x_k) = 0}
\implies\\\implies \wrapb{\e \frac{\d f}{\d x_k}(M_0) = 0}$ 

\textbf{Следствие}: $M_0$ - локальный экстремум дифференцируемой функции $u =
f(M)$, то её полный дифференциал равен нулю.

Пример 1: $u = x^2+y^2; (0,0)$ - точка локального минимума, $\system{
	u_x'(0, 0) = 2x = 0 \\
	u_y'(0, 0) = 2y = 0 \\
}$

Пример 2: $u = xy$ - гиперболический парабабабабаабабабабабабаб $\system {
	u_x'(0, 0) = u_y'(0, 0) = 0 \\
	u_x(x > 0, y > 0) > 0 \\
	u_x(x > 0, y < 0) < 0 \\
	u_x(x < 0, y < 0) > 0 \\
	u_x(x < 0, y > 0) < 0 \\
} $ - нет такой окресности точки $(0, 0)$, в которой $u(0, 0)$ было бы
максимальным или минимальным значением, то есть экстремума нет (но производные
равны нулю!)

\textbf{Квадратичная форма}: $Q(X_1, \dots, X_m) = \dst\sum_{i,j=1}^m
a_{ij}x_iy_i$

\textbf{Определённость квадратичной формулы}: \mdenum{
	\item Положительно определённая: $Q(x_1, \dots, x_m) > 0 \quad\all(x_1,
\dots, x_n) \neq (0, \dots, 0)$
	\item Отрицательно определённая: $\all (x_1, \dots, x_m) \neq (0,
\dots, 0): Q(x_1, \dots, x_m) < 0$
	\item Знакоопределённая: Либо положительно, либо отрицательно
определённая
	\item Квазизнакоопределённая: знакоопределённая с нестрогим неравенством
$\land \e (x_1, \dots, x_m) \neq (0, \dots, 0): Q(x_1, \dots, x_m) = 0$. Пример:
$x^2 - 2xy + y^2$
	\item Знакопеременная: всё остальное ($\e X' := (x_1', \dots, x_n'), X"
:= (x_1", \dots, x_n");\quad X', X" \neq (0, \dots, 0) :\\ \sgn Q(X') \neq \sgn Q(X")$)
}

\textbf{Критерий Сильвестера}: матрица квадроберской формы $A = \mrx{
	a^1_1 & \dots & a^1_n \\
	\vdots & \ddots & \vdots \\
	a^n_1 & \dots & a^n_n
}$. Составим угловые миноры: $\delta 1 = \mrxdet{a^1_1}, \delta_2 =
\mrxdet{a^1_1 & a^1_2 \\ a^2_1 & a_2^2}, \delta_3 = \mrxdet{
	a^1_1 & a^1_2 & a^1_3 \\
	a^2_1 & a^2_2 & a^2_3\\
	a^3_1 & a^3_2 & a^3_3
}, \dots, \delta_n = \mrxdet{
	a^1_1 & \dots & a^1_n \\
	\vdots & \ddots & \vdots \\
	a^n_1 & \dots & a^n_n
}$. \mditem{
	\item $\all i: \delta_i > 0$: положительно определённая
	\item $\delta_1 < 0, \delta_2 > 0, \dots, \delta_{2n-1} < 0, \delta_{2n}
> 0,\quad n \in \s N$ : отрицательно определённая
	\item $\e i: \delta_i = 0: $ критерий не раобтает
	\item Иначе: форма знакопеременная
}

пример: $x^2+y^2 : \mrx{1 & 0 \\ 0 & 1}: \delta_1 > 0, \delta_2 > 0\\
xy : \mrx{0 & 1/2 \\ 1/2 & 0}: \delta_1 = 0\\
x^2 -2xy + y^2 : \mrx{1 & -1 \\ -1 & 1}, \delta_1 = 1, \delta_2 = 0$

\textbf{Достаточное условие} локального экстремума: рассмотрим квадратичную
функцию аргументов $dx_i, i = \overline{1, m}: d^2u(M_0) =
\dst\sum_{i, j = 1}^m\frac{\d^2u}{\d x_i \d x_j}(M_0) dx_i dx_j$. Если $d^2u$
положительно определённая, то $M_0$ - точка локального минимума, если $d^2u$
отрицательно определённая, то $M_0$ - точка локального максимума, иначе надо
доп. исследование
\ntab Доказательство:
\\ Пусть $d^2 u$ положительно определённая, $ > k > 0, \all dx_i \neq 0\\$
Рассмотрим $\exclreg{}{M_0}: f(M) - f(M_0) = du(M_0) + \frac 1 2 d^2(M_0) + \bar
o(\rho^2) = \dst\sum_{i,j = 1}^m a^i_jdx_idx_j + o(\rho^2) = $ ( по Тейлору )\\
$ = \wraps{M_0(\ocirc x_1, \dots, \ocirc x_m), M(\ocirc x_1 + dx_1, \dots, \ocirc x_m +
dx_m) \dst\implies \rho^2 = \sum_idx_i^2} = $\\
$\dst = \frac{\rho^2}2\wrapb{\sum_{i,j=1}^ma_i^j\frac{dx_i}\rho\frac{dx_j}\rho +
o(1)},\quad h_i := \frac{dx_i}\rho, \sum_i h_i^2 = 1$, рассмотрим $Q(h_1, \dots,
h_m)$. $Q$ непрерывна на сфере, достигает точной нижней грани $k > 0$ \\
$\dst f(M) - f(M_0) = \frac{\rho^2}2\wrapb{\underbrace{Q(h_1, \dots, h_m)}_{\geq
k} + \alpha(\rho)}, \al \to 0 \implies \e \rho_0 > 0: 0 < \rho < \rho_0, \rho
\to 0: |\al(\rho)| < \frac k 2$. Для точек $M \in \exclreg{\rho_0}{M_0}: f(M) -
f(M_0) > \dst \frac{\rho^2}2\wrapb{k - \frac k 2} = \frac{\rho^2k}4 \implies \e
\exclreg{\rho_0}{M_0} : \all M \in \Omega f(M) > f(M_0) \implies M_0$ - лок.
минимум

\end{document}
