\input ../common.inc
\begin{document}
Tue Apr  1 10:53:15 MSK 2025
\section{Глава 3. Нихуявные функции}
рассмотрим уравнение $y^2 = x^2$. оно задаёт \mditem{
	\item 2 дифференцируемые функции $y =  \pm x$
	\item 4 непрерывные функции $y = \pm x,\quad y = \pm |x|$
	\item $\infty$ разрывных функций
}

\textbf{Определение}: Пусть дано уравнение $F(x, y) = 0$. Пусть $\all x \in  \s
X$ однозначно определяется $y$. Тогда говорят, что уравнение $F(x, y) = 0$
неявно задаёт функцию $y = f(x)$ на множестве $\s X$

Вопрос: условие существования, единственности и дифференцируемости неявной
функции.

\textbf{Глобальная теорема} о существовании, единственности и непрерывности
функции: Пусть $F(x, y)$ \\
- определена, непрерывна в прямоугольнике $Q = \ss{(x,y) : a < x <
d \land c \leq y \leq d}$\\
- $\all x \in (a, b)$ строгомонотонна как функция $y$ на отрезке $[c, d]$\\
- $F(x, c)\cdot F(x, d) < 0 \all x \in (a, b)$ \\
Тогда $ \in Q \e!\;y = f(x)$ непрерывную и неявную
\image{math-0104-1}

Замечание: условия теоремы требуют $\e F(x, y)$ на концах для $y$, но не для $x$

Доказательство: т.к. $\all x \in [a, b]\; F(x, y) $ является функцией одного
аргумента $y$, а ещё строго монотонна и непрерывна, имеет значения разных знаков
на концах интервала $y : [c, d]$, поэтому $\all x \e! y_0 \in [c, d]: F(x, y_0)
= 0$, то есть $F(x, y_0) = 0$ задаёт единственную функцию $y = f(x)$ при $x \in
[a,b]a$

Докажем непрерывность в $\all x_0 \in [a, b]: \all; \eps > 0 \e \delta > 0 , \all
x \in [a,b], |x-x_0| < \delta : |f(x) - f(x_0)| < \eps\\$
Пусть $f(x, y)$ монотонно возрастает. Т.к. $F(x_0, y_0) = 0$, непрерывна и
монотонно возрастает по $y$, то при $y = y_0 + \eps \implies F(x_0, f(x_0) + \eps) >$,
аналогично для $y = y_0 - \eps : F(\dots) < 0$

Теперь рассмотрим 2 функции переменной $x : F(x, f(x_0) \pm \eps)$, одна $>0$,
другая $<0$ при $x = x_0$, $\e \reg \delta {x_0}$, в которой эти функции
сохраняют знак и при этом $\all x \in \reg \delta {x_0} : f(x_0) - \eps < f(x) <
f(x_0) + \eps \implies |f(x) - f(x_0)| < \eps \implies f(x)$ непрерывна в точке
$x_0$ 

\textbf{локальная теорема}: Пусть $F(x, y)$ \\
- определена и непрерывна в $\Omega(M_0),\;M_0(x_0, y_0)$ \\
- в этой окресности $\e F_y'$ и непрерывна \\
- $F(x_0, y_0) = 0, F_y'(x_0, y_0) \neq 0$ \\
Тогдададададада $\e \text{ rect }Q\ss{(x, y) : |x - x_0| < c \land |y-y_0| \leq
d \land c, d > 0} \in \Omega(M_0)$, в котором $F(x, y) = 0$ задаёт $!$ функцию
$y  = f(x)$, непрерывную на интервале $x \in (x_0 - c, x_0 + c)$

Доказательство: сами на листочках на лекции, поэтому тут нет

Бля, а оно чёт сложное какое-то...))))) Я такую поеботину на листочке написал,
что просто пиздец

\textbf{теорема о дифференцируемости неявной функции}: Пусть $F(x , y)$:
<Такие же условия, как в локальной теореме> + дифференцируема в $M_0$. 
Тогда $\e Q\ss{(x, y) : |x-x_0| < c \land |y-y_0| \leq d \land c, d > 0}
\subseteq \Omega(M_0)$, в котором $F(x, y) = 0$ задаёт неявную $y  =f(x)$,
дифференцируемую в $x_0$

Доказательство: $y = f(x)$ в $x_0$. По услови. $F(x, y)$ дифференцируема в
$M_0$. Зададим приращение $\Dx, \Dy,\; x_0 - c < x + \Dx < x_0 + c,\;\Dy =
f(x_0) + \Dx - f(x_0)$ (задание приращения $\Dy$ таким образом - важно!!!).
Рассмотрим $\D F(M_0) = F(x_0 + \Dx, y_0 + \Dy) - F(x_0, y_0)  = F_x'(x_0,
y_0)\Dx + F_y'(x_0, y_0)\Dy + \alpha_1(\Dx, \Dy)\Dx + \al_2(\Dx, \Dy)\Dy,\quad
\alpha(\Dx, \Dy)_{1, 2} \to 0 \implies \alpha(\Dx, \D f)_{1,2} \to 0 \\
F_x'(x_0, y_0)\Dx + F_y'(x_0, y_0)\Dx + \al_1(\dots)\Dx + \al_2(\dots)\Dy = 0 =
F_x'(x_0, y_0) + F_y'(x_0, y_0)\frac{\D f}{\D x} + \al_1(\dots) +
\al_2(\dots)\frac{\D f}{\D x} \implies\dst \frac{\D f}{\Dx} = -\frac{F_x'(x_0, y_0)
+ \al_1(\dots)}{F_y'(x_0, y_0) + \al_2 (\dots)},$\[
	f'(x_0) = \lim_{\Dx\to 0}\frac{\D f}{\D x} = -\frac{F_x'(x_0,
y_0)}{F_y'(x_0, y_0)}
\]

Вывод: нихуя не понял, перед сессией буду читать конспект и плакать, но... Я не
выспался. Мне можно. Конец лекции. А негры хорошие ребята. И мать ваша тоже
хорошая женщина. И вы огромный молодец. Возьмите с полки пирожок, протрите на
нём пыль и положите на место.

\end{document}
