\input ../common.inc
\begin{document}
Tue Apr 15 10:51:22 MSK 2025
\subsection{условный экстремум}

Постановка задачи на условны: определить точки жкстремума функции $u(\dots)$ при
условии связи: \\$\system{&F_1(\dots) = 0 \\ &\vdots \\ &F_n(\dots)= 0}$

Если $M_0(\ocirc x_1, \dots, \ocirc x_m)$ - точка условного экстремума, то в
точке $M_0$ выполняется (УС) [условие связи].
\ntab 1. пусть $F_i'$ дифференцируема в $\Omega(M_0)$
\ntab 2. $\dst \frac{\d F_i}{\d x_j}$ непрерывны в $M_0\quad(i = \overline{1,
m}; j = \overline{1,m})$
\ntab 3. $\dst\at{\frac{D(F_1, \dots, F_n)}{D(x_1, \dots, x_n)}}{M_0} \neq 0$ ($D$ -
якобианы)\\
Тогда задача об условном экстремуме $u$ сводится к задаче о локальном экстремуме
\\$g(x_{n+1}, \dots, x_m) = u(\ph_1(x_{n+1}, \dots, x_m), \dots, \ph_m$).

Если $\ph_i(x_{n+1}, x_m)$ не выражается в явном виде, то можно применить
\textit{метод Лагранжа}:\\
Составим функцию лагранжа $\Phi(x_1, \dots, x_m, \lambda_1, \dots, \l_n) =
u(x_1, \dots, x_m) + \sum_{i=1}^n\l_iF_i(x_1, \dots, x_m)$. Если $M_0$ -
условный экстремум, то $F_i(M_0) = 0; \Ph = u(\ocirc x_1, \dots, \ocirc x_m)$

Зададим необходимые и достаточные условия условного экстремума: \mditem {
	\item \textbf{Необходимое условие}: Пусть $u(x_1, \dots, x_m)$
пусть выполнены условия (1)-(3), пусть $u$ дифф. в $\Omega(M_0)$, пусть $M_0$ -
условный экстремум, тогда можно подобрать такие значения $\l_1, \dots, \l_n$,
что  $\dst\frac{\d\Ph}{\d x_i}(\ocirc x_1, \dots, \l_1, \dots) = 0 \quad i =
\overline{1, m}$ (т.е. нужно решить систему уравнений с условиями связи +
Лагранж).

Доказательство: Запишем $\Ph$ двумя способами:
	\ntab 1. $\dst d\Ph(\dots) = \underbrace{\sum_{i=1}^n\frac{\d\Ph}{\d
x_i}dx_i}_{dx_i = d\ph_i} + \underbrace{\sum_{i=n+1}^m\frac{\d\Ph}{\d
x_i}dx_i}_{x_i\text{ - независимые}} + \underbrace{\sum_{i=1}^n\frac{\d \Ph}{\d
\l_i}d\l_i}_{= F_i = 0}$
	\ntab 2. $\dst d\Ph(\dots) = du(M_0) + \sum_{i=1}^n\l_idF_i(M_0) +
\underbrace{\sum_{i=1}^nF_i(M_0)d\l_i}_{ = 0}$
	\ntab Из этого следует: $\dst \underbrace{\sum_{i=1}^n\frac{\d\Ph}{\d
x_i}dx_i}_{dx_i = d\ph_i} + \underbrace{\sum_{i=n+1}^m\frac{\d\Ph}{\d
x_i}dx_i}_{x_i\text{ - независимые}} = d\Ph(\dots) = du(M_0) +
\sum_{i=1}^n\l_idF_i(M_0) \implies d\Ph = \underbrace{\sum_{i=1}^n\at{\frac{\d u}{\d
x_i}}{M_0}dx_i + \sum_{i=1}^n \l_i \sum_{k=1}^n\frac{\d F_i}{\d
x_k}dx_k}_{\text{зависимые, } dx_i = d\ph_i, dx_k = d\ph_k;\quad=
\sum_{i=1}^n\frac{\d \Ph}{\d x_i}dx_i (????)} +
\underbrace{\sum_{i=n+1}^m \frac{\d\Ph}{\d x_i}dx_i}_{x_i -
\text{независимые}}$. Для того, чтобы все частные производные $\Ph =0$, надо
$\dst\system{
	&\wrapb{\frac{\d u}{\d x_1}(M_0) + \l_1\frac{\d F_1}{\d x_1} + \dots +
\l_n\frac{\d F_n}{\d x_1}} \\
	&\vdots \\
	&\wrapb{\frac{\d u}{\d x_1}(M_0) + \l_1\frac{\d F_1}{\d x_1} + \dots +
\l_n\frac{\d F_n}{\d x_1}} \\
}$. Так как якобиан системы $\neq 0$, она разрешима, поэтому ВЫВОД: 
\ntab Чтобы определить точки возможного услового экстремума, надо решить систему
уравнений $\dst \underset{i = \overline{1,m}}{\frac{\d \Ph}{\d x_i}(x_1, \dots,
x_m, \l_1, \dots, \l_n)} = 0; \underset{j = \overline{1, n}}{F_j(x_{1}, \dots,
x_m)} = 0$
	\item \textbf{достаточное условие} (следствие теоремы о достаточном
условии локального экстремума для функции $g(x_{n+1}, \dots, x_m)$. $d^2g =
\sum_{i, j = n+1}^m\frac{\d^2g}{\d x_i \d x_j}dx_idx_j$ - входят только
независимые переменные) Но у нас нет $g$, у нас только $\Ph$, только хардкор:
$\dst d\Ph = \sum_{i = 1}^n\frac{\d \Ph}{\d x_i}d\ph_i +
\sum_{i=n+1}^m\frac{\d\Ph}{\d x_i}dx_i + \sum_{i=1}^nF_i(M_0)d\l_i$, в сумме
сначала зависимые, потом независимые, потм считаем $\l_i$ независимыми. \\
$g = u(\ph_1(x_{1+n}, \dots, x_m), \ph_2(\dots), \dots, \ph_n(\dots),
x_{n+1}, \dots, x_m);\quad dg(M_0) = d\Ph(M_0), M$ удовл. (УС); \\
$g(M) \equiv \Ph(M);\quad d^2g(M) = d^2\Ph(M); $ найдём \\$\dst d^2\Ph =
\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\frac{\d^2\Ph}{\d x_i\d x_j}d\ph_id\ph_j +
\underbrace{\sum_{i=1}^n\frac{\d\Ph}{\d x_i}d^2\ph_i}_{=0} +
\sum_{i=n+1}^m\sum{j=1}^m\frac{\d^2\Ph}{\d x_i\d x_j}dx_idx_j + \underbrace{\sum_{i = 1}^n
dF_id\l_i}_{=0} \implies \\
d^2\Ph(\mathbf {M_0}, \l_1, \dots, \l_n) =
\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^m\frac{\d^2\Ph}{\d x_i\d x_j}(\ocirc x_1, \dots, \ocirc
x_m, \l_1, \dots, \l_m) \cdot \system{
	&dx_idx_j&, i, j = \overline{n+1, m}\\
	&dx_i\sum{k=1}^n\frac{\d \ph_i}{\d x_k}dx_k&, \system{&i = \overline{n+1,
m} \\ &j = \overline{1,n}}\\
	&dx_j\sum_{k=1}^n\frac{\d \ph_i}{\d x_k}dx_k&, \system{&i  = \overline {1, m} \\&j = \overline{n+1, m}}\\
	&\sum_{k=1}^n\frac{\d \ph_j}{\d x_k}dx_k\sum_{l=1}^n\frac{\d \ph_i}{\d
x_l}dx_l&, i, j = \overline{1, n}\\
}$

БЛЯЯЯЯЯЯТЬ Я ТАК НЕ МОГУУУУУУ

Не, это пиздец. Я Нихуяяяяяяя не понял... вообще нихуя...
}
\end{document}
