\input ../common.inc
\begin{document}
\textbf{Закон возрастания энтропии} В адиабатически изолированной системе: $dS > 0 \text{ (}S(V, T) = C_V\ln\frac T {T_0} + R \ln\frac V {V_0}$)
- это годится как формулировка второго закона термодинамики

Пример 1: сосуд разделён на 2 части; в одной газ есть, в другой нет. Когда мы дадим газу занять весь сосуд, получаем:
\\
$\delta Q = 0; \delta A = 0 \implies dU = 0 \implies T = const; V_2 > V_1 \implies S_2 > S_1$

Пример 2: сосуд на 2 части, один моль газа слева, один моль (другого) газа справа; $T = const$; потом перегородку убираем, получаем:
\\
$\D S = \D S_1 + \D S_2$ (чтобы сделать процесс кавзистатическим, нужны полупроницаемые мембраны)

Прмер 3: соприкосновение 2 сред с разной температурой
\\
$\bar c = \frac T T \frac {\delta Q}{dT} \implies dS = \bar c m \frac {dT} T\\
\Delta S = \bar c_1 m_1 \ln \frac {T_3}{T_1} + \bar c_2 m_2\ln\frac {T_3}{T_2}$

\textbf{Принцип максимальной работы}: При переходе из состояния 1 в 2 максимальная работа достигается только при квазистатическом процессе

\section{Термодинамические функции и потанцевалы}
$P, V, T, U, S$ - это \textbf{термодинамические функции}

Термодинамические функции - функции двух независимых переменных

Основное термодинамическое тождество: $\delta Q = \delta U + \delta A \equiv TdS = dU + pdV$ \\
$\dst dU = \wrapb{\frac{\d u}{\d T}}_VdT + \wrapb{\frac{\d u}{\d V}}_TdV;\;
dS = \underbrace{\frac 1 T \wrapb{\frac{\d u}{\d T}}_{P}}_{P(T, V)}dT + \underbrace{\wrapb{P + \wrapb{\frac{\d u}{\d V}}_T}}_{Q(T, V)}\frac {dV}T$
$\dst\\\wraps{\text{из математики: }dF(T, V) = P(T, V)dT + Q(T, V)dV; \frac{\d^2 F}{dTdV} = \frac{d^2 F}{dVdT}
\implies \frac{\d P}{\d V} = \frac{\d Q}{\d T}}\\
\wrapb{\frac{\d P}{\d V}_T} = \frac{\d}{\d V} \wrapb{\frac 1 T \wrapb{\frac{\d u}{\d T}}_V}_T = \frac 1 T \wrapb{\frac{\d^2u}{\d T \d V}}_{VT}\\
\wrapb{\frac{\d Q}{\d T}}_V = \frac{\d}{\d T}\wrapb{\frac P T + \frac 1 T\wrapb{\frac{\d u}{\d V}}_T}_V 
= \frac 1 T\wrapb{\frac{\d P}{\d T}}_V - \frac P {T^2} + \frac 1 T\wrapb{\frac{\d^2u}{\d V\d T}} - \frac 1 {T^2}\wrapb{\frac{\d u}{\d V}}_T
\\
\text{Левые части равны; из прошлых 2 строчек: } \wrapb{\frac{\d u}{\d V}}_T = T\wrapb{\frac{\d P}{\d T}}_V - P \hspace{1cm}!!!$ - уравнение связи калорического и термического уравнения
\\ Пример: $PV = RT; \wrapb{\frac{\d P}{\d T}}_V = \frac R V$

\subsection{Внутренняя энергия}
$dU = TdS - PdV;\; T = \wrapb{\frac{\d u}{\d S}}_V;\; -P = \wrapb{\frac{\d u}{\d V}}_S $

\end{document}
