\input ../common.inc
\begin{document}

\subsection{Свободная энергия $F$}

$\dst F = U - TS;\hspace{1cm}dF = \underbrace{dU - TdS}_{-PdV} - SdT = -SdT - PdV;\hspace{1cm} F(V, T)\\
dF(V, T) = \wrapb{\frac{\d F}{\d V}}_TdV + \wrapb{\frac{\d F}{\d T}}_VdT \implies \system {
	&-P = \wrapb{\frac{\d F}{\d V}}_T \\
	&-S = \wrapb{\frac{\d F}{\d T}}_V
}\implies \wrapb{\frac{\d P}{\d T}}_V = \wrapb{\frac{\d S}{\d V}}_T$

\subsection{Энтальпия $H$}
$\dst H = U + pV\hspace{1cm}dH = \underbrace{dU + PdV}_{\delta Q = TdS} + VdP = TdS + VdP;\hspace{1cm} H(S, P)\\
dH(S, P) = \wrapb{\frac{\d H}{\d S}}_P dS + \wrapb{\frac{\d H}{\d T}}_SdP \overset{\text{аналогично}}\implies
\wrapb{\frac{\d T}{\d P}}_S = \wrapb{\frac{\d V}{\d S}}_P$

\subsection{Потенцивал Гиббса $G$}
$\dst G = H - TS\hspace{1cm}dG = dH - TdS - SdT = TdS + VdP - TdS - SdT = VdP - SdT;\hspace{1cm}G(P, T)\\
dG(P, T) = \wrapb{\frac{\d G}{\d P}}_T dP + \wrapb{\frac{\d G}{\d T}}_PdT \overset{\text{аналогично}}\implies
-\wrapb{\frac{\d S}{\d P}}_T = \wrapb{\frac{\d V}{\d T}}_P$

\subsection{Все соотношения максвелла:}
\mditem{
	\item $\wrapb{\frac{\d T}{\d V}}_S = \wrapb{\frac{\d P}{\d S}}_V$ [Внутренняя энергия]
	\item $\wrapb{\frac{\d P}{\d T}}_V = \wrapb{\frac{\d S}{\d V}}_T$ [Свободная энергия]
	\item $\wrapb{\frac{\d T}{\d P}}_S = \wrapb{\frac{\d V}{\d S}}_P$ [Энтальпия]
	\item $-\wrapb{\frac{\d S}{\d P}}_T = \wrapb{\frac{\d V}{\d T}}_P$ [Потенциал Гиббса]
}

\subsection{Химический потенциал}
Нужен, еси число частиц изменяется, чтобы учесть это, к каждому потенциалу добавить слагаемое $\mu^*dN$

Например, $dU = TdS - PdV + \mu^*dN$
\\
Выражения для него: $\mu^* = \wrapb{\frac{\d U}{\d N}}_{V, S} = \wrapb{\frac{\d F}{\d N}}_{T, V} 
= \wrapb{\frac{\d H}{\d N}}_{P, S} = \wrapb{\frac{\d G}{\d N}}_{T, P}$ - получаются из формул потенциалов

\subsection{Устойчивость термодинамической системы}
В необратимых самопроизвольных процессах при постоянстве естественных переменных соответствующий потенциал стремится к нулю 

Например: у нас есть раз, мы его изолировали и держим объём постоянным.
$TdS = C_VdT + PdV \implies \wraps{dQ = 0 \implies C_VdT = -P_0dV} \implies dS = \frac 1 T(P-P_0)dV$

\subsection{Третье начало термодинамики (тепловая теорема Нернста)}: При стремлении температуры к 0 энтропия
стремится к конечному значению $S_0$, не зависящему от давления, агрегатного состояния и т.п. (её можно положить 
равной нулю)

Следствия: $\dst C = \frac{\d Q}{dT} = T\frac{dS}{dT} \to 0$

----------------------------------------------------------------------------------------------------------

Изменение температуры при адиабатическом охлаждении:\\
$\dst - \wrapb{\frac{\d S}{\d P}}_T = \wrapb{\frac{\d V}{\d T}}_P$

Всю вторую половину лекции я проебал))

\end{document}
