\input ../common.inc
\begin{document}

\subsection{Биноминальное Распределение, распределение Гаусса и Пуассона}

<На этой лекции у меня был разряжен ноут, поэтому конспекта нет, я хз, перепишу я его из тетради или нет>

\subsection{Распределение Максвелла}
Вероятность того, что скорость в интервале $\system{
	&(v_x,v_x+dv_x)\rightarrow dP=f(v_x)dv_x \\
	&(v_y,v_y+dv_y)\rightarrow dP=f(v_y)dv_y \\
	&(v_z,v_z+dv_z)\rightarrow dP=f(v_z)dv_z \\
}\implies\\\implies dP(v_x,v_y,v_z)=\underbrace{f(v_x)f(v_y)f(v_z)}_{f(v)}dv_xdv_ydv_z\\
\dst\frac{\d}{\d v_x}\wrapb{\ln f(v)}=\frac{\d}{\d v_x}\wrapb{\ln f(v_x)+\ln f(v_y)+\ln f(v_z)}\implies
\frac{f'(v)}{f(v)}\frac{dv}{dv_x}=\frac{f'(v_x)}{f(v_x)}\implies\\\implies\wraps{v=\sqrt{v_x^2+v_y^2+v_z^2}\implies 
\frac{\d v}{\d v_x}=\frac{v_x}{\sqrt{\dots}}=\frac{v_x}v}\implies\frac1 v\frac{f'(v)}{f(v)}=\frac1{v_x}\frac{f'(v_x)}{f(v_x)}=\frac1{v_y}\frac{f'(v_y)}{f(v_y)}=\frac1{v_z}\frac{f'(v_z)}{f(v_z)}=:-\alpha\\
\frac {f'(v_x)}{f(v_x)}dv_x=-\alpha v_xdv_x\implies\ln(f(v_x))=-\frac{\alpha v_x^2}2+C,f(v_x)=C'\exp\wrapb{{\frac{-\alpha v_x^2}2}}\\
A\sqrt{\frac2\alpha}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{\frac{-\alpha v_x^2}2}dv_x\sqrt{\frac\alpha2}=1=\wraps{\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}dx=\sqrt\pi}=\sqrt{\frac{\alpha}{2\pi}}\exp\wrapb{{-\frac{\alpha v_x^2}2}}\\
\wrapa{\frac{mv^2}2} = \frac 3 2 k T \implies \wrapa{v^2} = 3 \frac { k T } m;\quad \wrapa{v_x^2}=\wrapa{v_y^2}=\wrapa{v_z^2} \implies \wrapa{v^2}=3\wrapa{v_x^2}=3\frac{kT}m\implies\wrapa{v_x^2}=\frac{kT}m\\
\wrapa{v_x^2} = \int_{-\infty}^{+\infty}v_x^2f(v_x)dx = \sqrt{\frac{\alpha}{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}v_x^2\exp\wrapb{-\frac{\alpha v_x^2}2}dv_x=-2\sqrt{\frac{\alpha}{2\pi}}\frac{\d}{\d \alpha}\int_{-\infty}^{+\infty}\exp\wrapb{-\frac{\alpha v_x^2}2}dv_x=\\=
\sqrt{\frac{\alpha}{2\pi}}(-2)\frac{\d}{\d \alpha}\sqrt{\frac2\alpha}\underbrace{\int_{-\infty}^{+\infty}\exp\wrapb{-\frac{\alpha v_x^2}2}\sqrt{\frac\alpha2}dv_x}_{\sqrt\pi} = -2\sqrt\alpha\frac\d{\d\alpha}\alpha^{-\frac 1 2} = \frac1\alpha = \frac{kT}m \implies \alpha = \frac m {kT}$
\[
f(v_x) = \sqrt{\frac{m}{2\pi k T}}\exp\wrapb{{-\frac{mv_x^2}{2kT}}};\hspace{1cm} f(v) = \sqrt{\wrapb{\frac{m}{2\pi k T}}^3}\exp\wrapb{{-\frac{m(v_x^2+v_y^2+v_z^2)}{2kT}}}
\]
\begin{wrapfigure}{r}{0.3\textwidth}
	\centering
	\includegraphics[width=0.28\textwidth]{mol-0317-1} 
	\includegraphics[width=0.28\textwidth]{mol-0317-2} 
\end{wrapfigure}

По абсолютным значениям скорости: С одинаковым значением скорости мы образуем "сферу"
с одинаковыми скоростями. поэтому вероятность нужно домножить на $4\pi v^2$:
\[
	\begin{aligned}
		&F(v) = \wrapb{\frac{m}{2\pi k T}}^{\frac 3 2}4\pi v^2\exp\wrapb{-\frac{mv^2}{2kT}}\\
		&v_\text{наив.} = \wraps{\frac{d F}{d v} = \dots = 0} = \sqrt{\frac{2kT}{m}}\\
		&\wrapa v = \int_0^\infty vF(v)dv = \sqrt{\frac{8kT}{\pi m}}\\
		&\wrapa{v^2} = \sqrt{\int_0^\infty v^2F(v)dv} = \sqrt{\frac{3kT}m}\\
	\end{aligned}
\]
\end{document}
