\input ../common.inc
\begin{document}
Mon Mar 24 09:01:52 MSK 2025

\subsection{Уравнение менделеева-клапейрона}
Вычислим давление при температуре $T$ и концентрации $n$: $\D p = 2mv_{1x}\underset{}{\D N_1} = F_1 \D t$ \\
$\D N_1 = n_1 v_{1x}\D t S \frac 1 2$ - половина молекул летит на стенку \\
$\dst P_1 = \frac {F_1} S = n_1 mv_{1x}2 \implies P = \sum P_1 = m\frac{n_1 v_{1x}^2 + \dots + n_N v_{Nx}^2}nn = 
mn\wrapb{\frac{N_1}Nv_{1x}2 + \dots + \frac{N_N}Nv_{Nx}^2} = mn\wrapa {v^2_x} = \frac 1 3 mn\wrapa{v^2} = \frac 2 3 n\wrapa{E_k} = \frac 2 3 n \frac 3 2 k T = nkT = P$

---------------------------------------------------------------------------------

Распределение Максвелла по модулю скоростей: $\dst\wrapb{\frac m {2\pi k T}}^{3/2}3\pi v^2 \exp\wrapb{-\frac{mv^2}{2kT}}dv, \\
E = \frac {mv^2}2 \implies v = \sqrt{\frac{2E}m} \implies dv = \sqrt{\frac{1}{2mE}}dE$, по энергии: $\dst\wrapb{\frac m {2\pi kT}}^{3/2}4\pi \frac {2E} m\exp\wrapb{-\frac E {kT}}\frac 1{\sqrt{2me}}dE = \\
= \frac2{\sqrt \pi}\wrapb{\frac 1 {kT}}^{3/2}\sqrt{E}\exp\wrapb{-\frac E {kT}}dE
\implies \wrapa{E_k} = \int_0^\infty Ef(E)dE = \\ = \wraps{y^2 := \frac E {kT} \to \int_0^\infty y^4e^{-y^2}dy \to \int_0^\infty e^{-y^2}dy \to \frac {\sqrt \pi} 2} = \frac 3 2 k T\\
\wrapa{E^2} = \frac {15}4(kT)^2 \implies \sigma_E^2 = \wrapa{E^2} - \wrapa E^2 = \frac 3 2 (kT)^2$

\subsection{Беброметрическая формула}
Рассмотрим цилиндрический сосуд со слоем $dz$; рассмотрим силу на 1 молекулк: 
$\dst F_{z1}dN + F(z) - F(z+dz) = 0 \implies F_{z1}ndz = S(p(z + dz) - p(z)) \implies F_{1z}n = \frac {\d P}{\d z}, F = -\nabla \Pi \\
n = \frac P {kT} \implies \frac {-1}{kT}\frac {\d \Pi}{\d z} = \frac{\d P}{P \d z} \implies P = P_0\exp\wrapb{-\frac \Pi {kt}} = P_0 \exp\wrapb{-\frac{mgz}{kT} = -\frac{\mu g z}{RT}}$

\section{Boltzmann distribution}
Это, собственно, распределение, основанное на барометрической формуле: $\dst n=n_{0}e^{-\frac{\mu gh}{RT}}$

\end{document}
