\input ../common.inc
\begin{document}
Thu Mar 27 09:04:29 MSK 2025
\subsection{Распределение больцмана}
Описывает веростность того, что молекула с потенциальной энергией $U$ имеет
координаты $xyz + dxdydz: dP_B(x, y, z) =
\dst A\exp\wrapb{-\frac{U(x,y,z)}{k_BT}}dxdydz$.

Вывод: по барометрической формуле $\dst n(z) = n_0\exp\wrapb{-\frac{mgz}{kT}}
\implies N = \int_0^Hn_0\exp\wrapb{-\frac{mgz}{kT}}\cdot Sdz =
n_0S\frac{kT}{mg}\wrapb{1 - \exp\wrapb{-\frac{mgH}{kT}}};\quad n_0 =
\frac N{HS}\cdot\frac\dots\dots = \wrapa{n} \cdot \frac{mgH}{kT}\frac 1{1 -
\exp\wrapb{-\frac{mgH}{kT}}}$

Пример: Допустим, у нас есть цилиндрический сосуд, вращается со скоростью $\dst
\v \omega, F_\text{цб.} = m\omega^2r, \\A = \frac{m\omega^2r^2}2 \implies n(r) =
n_0\exp\wrapb{\frac{m\omega^2r^2}{2kT}}, N = \wrapa{n}V =
\int_0^H\int_0^{2\pi}\int_0^Rn_0r\exp\wrapb{\frac{m\omega^2r^2}{2kT}}drd\ph dz
= 2\pi H\int_0^Rn_0r\exp\wrapb{\frac{m\omega^2r^2}{2kT}}dr$ - простой интеграл,
берётся заменой $r^2 \to t$ :)

UPD: взяли интеграл на летучке...

\subsection{потанцевальные ямы}
\image{mol-03-27-1}
Попробуем найти низ потенциальной ямы; разложим энергию в ряд тейлора и
попробуем посчитать самые ёбнутые интегралы за эту лекцию:

$\dst U(X) = U_0 + \at{\frac{\d U}{\d x}}{x_0}(x-x_0) + \frac 1 2
\at{\frac{\d^2u}{\d x^2}}{x_0}(x-x_0)^2 + \dots; u_0 := 0, x_0 := 0 \implies
u(x) = cx^2 -gx^3 + fx^4; (c, g, f = \frac 1 {2!, 3!, 4!} \at{\frac {\d ^{2, 3,
4}u}{\d x^{2, 3, 4}}}{x_0})\\ \bar x = \frac { \int_{-\infty}^\infty x
A\exp\wrapb{-\frac{cx^2-gx^3+fx^4}{kT}}dx } { \int_{-\infty}^\infty
A\exp\wrapb{-\frac{cx^2-gx^3+fx^4}{kT}}dx}. \\ \int_{-\infty}^\infty x
\exp\wrapb{-\frac{cx^2}{kT}}\exp\wrapb{\frac{-gx^3+fx^4}{kT}}dx \approx\\\approx
\int_{-\infty}^\infty \exp\wrapb{-\frac{cx^2}{kT}}(\underbrace x_{=0} +
\frac{gx^4}{kT} - \underbrace{\frac{fx^5}{kT}}_{=0})dx =\\=
\frac{g}{c^2}\int_{-\infty}^\infty
\exp\wrapb{-\frac{cx^2}{kT}}\frac{x^4c^2}{(kT)^2}dx\sqrt{\frac{c}{kT}}\sqrt{\frac{kT}c}
= \\ =\frac{g(kT)^{3/2}}{c^{5/2}}\underbrace{\int_{-\infty}^\infty
e^{-t^2}t^4dt}_{=\frac 3 4 \sqrt \pi} = \frac{3g(kT)^{3/2}\sqrt \pi}{4c^{5/2}}
\\ \sqrt{\frac{kT}c}\int_{-\infty}^\infty
\exp\wrapb{-\frac{cx^2}{kT}}dx\sqrt{\frac{c}{kT}} = \sqrt\pi\sqrt{\frac{kT}c}
\implies \system{&\bar x = \frac{3gkT}{4c^2}\\ &\alpha_L = \frac 1{x_0}
\frac{dx}{dT} = \frac{3gk}{4x_0c^2}\\} $


\subsection{микросостояние статичтической системы, фазовое пр-во}
$\dst \Gamma_1 = dxdydzdP_xdP_ydP_z = h^3; \Gamma = \frac{\frac 4 3 \pi\rho^3
V}{h^3} = AE^{3/2}V$

\end{document}
