\input ../common.inc
\begin{document}
Mon Mar 31 09:03:15 MSK 2025
Разделим сосуд на 2 части. Посчитаем вероятность того, что в левой части энергия $E_1$: 

$\dst P(E_1) = \frac{\Gamma(E_1)\Gamma(E_2)}{\Gamma_0}, \frac{\d P(E_1)}{\d E_1}
= 0 = \frac{\d \ln P(E_1)}{\d E_1} = 0 = \frac{\d \ln \Gamma(E_1)}{\d E_1} +
\frac{\d \ln \Gamma(E_2)}{\d E_2}\underbrace{\wrapb{\frac{\d E_2}{\d E_1}}}_{=
-1} = 0\\
\frac{\d \ln \Gamma(E_1)}{\d E_1} = \frac{\d \ln \Gamma(E_2)}{\d E_2} \implies T_1
= T_2 \implies \frac{\d \ln \Gamma(E)}{\d E} = \frac 1 {kT}$ - статистическое
определение температуры.

\subsection{Распределение Гиббса}
$\dst P(\eps) = \frac{\Gamma(\eps)\Gamma(E_0 = \eps)}{\Gamma_0} \implies P(\eps) =
A\exp\wrapb{-\frac{\eps}{kT}}$

$E \to g(E) = \frac{dP_xdP_ydP_zdxdydz}{h^2} \implies dP =
A\exp\wrapb{-\frac{E}{kT}}dP_xdP_ydP_zdxdydz; E = \frac{mv^2}2 + \Pi(x, y, z)
\implies dP(E) = dP_\text{М} \cdot dP_\text{Б}, dP_\text{М} = A\exp\wrapb
{-\frac{mv^2}{2kT}}\cdot 3\pi v^2dv$

\subsection{Определение энтропии}
$S = f(P)$: энтропия - это функция от вероятности..? $P =
\frac{\Gamma}{\Gamma_0}$. Пример: есть 2 объёма с $S_1, P_1; S_2, P_2$. При
объединении систем: $S_{12} = S_1 + S_2; P_{12} = P_1 \cdot P_2. S_{12} = f(P_1)
+ f(P_2) = f(P_1P_2) \implies f(P) = C \ln(P) = A \ln (\Gamma)$

Найдём $A$: $S(V, T) = C_V\ln\frac{T}{T_0} + R\ln\frac{V}{V_0}$. возьмём 2
сосуда с равными объёмами и объединим их: $\D S = R \ln 2 = A \ln
\frac{\Gamma_\text{Стало}}{\Gamma_\text{Было}} = A\ln\frac{2^{N_A}}1;\quad R =
AN_0 \implies A = k_\text Б$

\[S = k_\text Б \ln\Gamma\]

\subsection{Теорема о равнораспределении $E$ по степеням свободы}

$\dst \wrapa{\eps} = \frac{m \wrapa{v_x^2}}2 + \frac{m \wrapa{v_y^2}}2 + \frac{m
\wrapa{v_z^2}}2 = \frac{kT}2 + \frac{kT}2 + \frac{kT}2 \\
\wrapa{\frac{m{v_x^2}}2} = \int_{-\infty}^\infty \sqrt{\frac{m}{2\pi k
T}}\exp\wrapb{-\frac{mv_x^2}{2kT}}\cdot \frac{mv^2_x}2dv_x = \frac{kT}2\\
\wrapa{\frac{\c J_x \omega_x^2}2} = \frac{\dst \int_{-\infty}^\infty A\exp\wrapb{-\frac{\c
J\omega^2_x}{2kT}} \frac{\c J \omega_x^2}2d\omega_x } {\dst \int_{-\infty}^\infty A
\exp\wrapb{-\frac{\c J\omega^2_x}{2kT}}d\omega_x } = \frac{kT}2\\
\wrapa{E} = \wrapa{\frac{mv_x^2}2} + \wrapa{\frac{kx^2}2} =
\wrapa{\frac{mv^2_x}2} + \wrapa{\frac{m\omega^2x^2}2} = \frac{kT}2 + \frac{\dst
\int_{-\infty}^\infty\frac{m\omega^2x^2}2A\exp\wrapb{-\frac{m\omega^2x^2}{2kT}}dx} 
{\dst  \int_{-\infty}^{\infty}A\exp\wrapb{-\frac{m\omega^2x^2}{2kT}}dx} =
\frac{kT}2 + \frac{kT}2 = kT\\
\wrapa{\eps} = \frac{\wrapb{i_\text{пост} + i_\text{вращ} + 2i_\text{кол}}}2kT$

\subsection{Броуновское движение}
Блуждание частицы: одно перемещение под поздействием ударов

$\dst \vec r_n = \sum_i\vec q_i \implies \wrapa{r^2} = 
\wrapa{\sum_{i \neq j}\vec q_i \cdot \vec q_j} + \wrapa{\sum_i q_i^2}
= \wrapa{\sum_iq_i^2}$

\end{document}
